Đs9 cđ4 hàm số bậc nhất 1

- Giao điểm A b 0; của đồ thị với Oy cho x= ⇒ = 0 y b * Chú ý: Nếu điểm A và B có tọa độ không nguyên, thì ta nên chọn điểm khác có tọa độ nguyên sẽ dễ xác định hơn và việc vẽ đồ thị sẽ

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ BẬC NHẤT

A Lý thuyết

1) Định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y ax b= +

Trong đó a b, là các số cho trước và a ≠0

*) Chú ý: Hệ số b có thể bằng 0 hoặc có thể khác 0

2) Tính chất

+) Tập xác định: R

+) Chiều biến thiên

- Với a >0 hàm số đồng biến trên R

- Với a <0 hàm số nghịch biến trên R

3) Đồ thị của hàm số y ax b a= + ( ≠ 0)

+ Đồ thị của hàm số y ax b a= + ( ≠ 0) là một đường thẳng

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

- Song song với đường thẳng y ax= nếu b ≠0, trùng với đường thẳng y ax= nếu b =0

- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị hàm số y ax b= +

4) Hệ số góc, tung độ gốc của đường thẳng y ax b a= + ( ≠ 0)

+ Góc α tạo bởi đường thẳng y ax b= + và trục hoành Ox

là góc tạo bởi tia Ax và tia AT. Trong đó A là giao điểm

của đường thẳng y ax b= + với trục hoành, T là điểm

thuộc đường thẳng y ax b= + và có tung độ dương

+ Hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng

y ax b= + và a tan= α , với α là góc tạo bởi đường thẳng y ax b= + với trục hoành Ox

x x

(d') (d)

+ Với hàm số y ax b= +

- Nếu a= ⇒ = 0 y b b( ≠ 0) là hàm hằng có đồ thị là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung

độ bằng b và song song với trục hoành

- Nếu a≠ 0,b≠ 0 thì ta có hàm số bậc nhất y ax= , có đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ 6) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ( ) :d1 y a x b d= 1 + 1 ;( ) : 2 y a x b a a= 2 + 2 ( , 1 2 ≠ 0) Khi đó

- Khi d1 cắt d2, tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình a x b a x b1 + = 2 +

+) d1 cắt d2 tại một điểm trên trục tung 1 2

+ Đường thẳng đi qua điểm M x y( 0 ; 0) có hệ số góc k là y k x x= ( − 0)+y0

+ Đường thẳng đi qua điểm A x( 0 ;0) và điểm B(0;y0) là ( 0 0 )

−

= +

Lời giải

- Giao điểm A b( )0; của đồ thị với Oy (cho x= ⇒ = 0 y b)

*) Chú ý: Nếu điểm A và B có tọa độ không nguyên, thì ta nên chọn điểm khác có tọa độ nguyên sẽ dễ xác định hơn và việc vẽ đồ thị sẽ chính xác hơn

Đối với hàm số có chưa dấu giá trị tuyệt đối, ta xét dấu giá trị tuyệt đối rồi đưa hàm số về dạng

Lời giải

1, 1 1 1

3 , 2 2

C

B A

⇔ >

− 2

b) Hàm số là hàm số bậc nhất khi 2 1 0 11

1 0

m m

*) Hệ số góc cũng tính được khi biết vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng y a x b d y a x b d= 1 + ( )1 ; = 2 + ( )2

+ d1 ⊥d2 thì a a = −1 2 1

+ d1 / /d2 hoặc d1 ≡d2 thì a a1 = 2

Cho hàm số y ax= + 1. Biết đồ thị hàm số hợp với trục Ox một góc 45 0 Tìm a và cho biết hàm

số này đồng biến hay nghịch biến

Cho hàm số y ax= − 1. Tính hệ số góc của hàm số biết

a) Đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y= 2x+ 3

b) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y= − + 5x 7

c) Đồ thị hàm số trùng với đường thẳng y= 5 1x−

Lời giải

a) Đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng 2 3 2 1 1

Với m =2, thay vào (*) ta được (4 +n)(10 −n)> ⇔ − < < 0 4 n 10

Với m = −2, thay vào (*) ta được (− + 4 n)(− − 10 n)> ⇔ − < < 0 10 n 4

c) Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B với ∆AOB vuông cân

Trường hợp 1: Đường thẳng tạo vưới trục Ox một góc 45 0 ⇔ 2m− = 1 tan45 0 ⇔ 2m− = ⇔ = 1 1 m 1

Hàm số đi qua điểm (x y0 ; 0)⇔ y0 =ax b0 + ⇒ tham số cần tìm

Bài 1:

Cho hàm số y=(m− 1)x m+ có đồ thị là đường thẳng ( )d

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A −( 1;1)

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 3

Vậy đường thẳng ( )d đi qua điểm A −( 1;1) với mọi m

Cho hàm số y=(m− 2)x n d+ ( ) trong đó m n, là tham số

a) Tìm m n, để ( )d đi qua hai điểm A(− 2;1 ; 3; 4) (B − )

b) Tìm m n, để ( )d cắt trục tung tại điểm M có tung độ y = −1 2 và cắt trục hoành tại điểm N

có hoành độ x = +2 2

Lời giải

a) Đường thẳng ( )d đi qua điểm A(− 2;1) (⇔ m− 2 2) ( )− + = ⇔ −n 1 2m n+ = − ⇔ = 3 n 2m− 3 1( )b) Đường thẳng ( )d đi qua điểm B(3; 4 − ⇔) (m− 2 3) + = − ⇔n 4 3m n+ = 2 2( )

Thay m =1 trở lại (1) ta được n = −1

a) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm A( )1;5

b) Tìm m để đường thẳng đi qua trung điểm của PQ, với P(2; 1 − ) và Q( )4;5

b) Gọi I là trung điểm của PQ ; ( )3;2

Cho hàm số y mx= + 1 1 ,( ) trong đó m là tham số

a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A( )1;4 Với m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên R

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng ( )d y m x m: = 2 + + 1

Lời giải

a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A( )1;4 nên: 4 = + ⇔m 1 m= 3

+ ≠



Dạng 7: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

tung độ giao điểm

Bài 1:

Cho đường thẳng ( )d1 : 2x y− = 3 và ( )d2 : 4x+ 2y= 5. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

m ≠ , thì ( )d và ( )d' cắt nhau tại điểm (− 2;5) cố định

Dạng 8: Tìm tham số m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc

Cho hàm số y=(m− 1)x m d+ ( ) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng có phương trình x− 2y= 1

Cho hàm số y=(m− 2)x n d+ ( ) trong đó m n, là tham số

a) Tìm m n, để ( )d vuông góc với đường thẳng x− 2y= 3

b) Tìm m n, để ( )d song song với đường thẳng 3x+ 2y= 1

a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A( )1;4 Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên R

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng ( )d y m x m: = 2 + + 1

Lời giải

m

m m

b) ( )d1 và ( )d2 cắt nhau ⇔m m≠ − ⇔ ≠ − 1 0 1 (đúng với mọi m)

Vậy với mọi m thì ( )d1 và ( )d2 cắt nhau

Dạng 9: Tìm tham số m để hai đường thẳng cắt nhau thỏa mãn một điều kiện K

Dạng 9.1: Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm thuộc góc phần tư của hệ tọa độ Oxy

Cách giải:

Xét hai đường thẳng y a x b d y1= 1 + ( )1 ; 2 =a x b d2 + ( )2

+ Điểm M x y( 0 ; 0) thuộc góc phần tư thứ nhất 0

0

0 0

x y

x y

x y

x y

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d1 và ( )d2 là:

Cho hai đường thẳng ( )d mx1 : + 2y= 5 và ( )d2 : 2x y+ = 1

a) Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất

b) Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ hai

Lời giải

Dạng 9.2: Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm bên trái (bên phải) trục tung, phía trên

(phía dưới) trục hoành

Cách giải:

Xét hai đường thẳng y a x b d y1= 1 + ( )1 ; 2 =a x b d2 + ( )2

- Giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm tọa độ giao điểm (x y0; 0) theo m

+ Để d1 và d2 cắt nhau tại điểm bên trái trục tung ⇔x0 < 0

+ Để d1 và d2 cắt nhau tại điểm bên phải trục tung ⇔x0 > 0

+ Để d1 và d2 cắt nhau tại điểm bên trên trục hoành ⇔ y0 > 0

+ Để d1 và d2 cắt nhau tại điểm bên dưới trục hoành ⇔ y0 < 0

Bài 1:

Cho hai đường thẳng ( )d y: =(m2 + 2m− 1)x+ 3m+ 1 và ( )d1 :y= − +x 1

Tìm m để đường thẳng d và d1 cắt nhau tại 1 điểm bên trái trục tung

2 2

Cho hai đường thẳng ( )d y: =(2m+ 1)x m+ − 1 và ( )d2 :y= 2x+ 3

Tìm m để đường thẳng d và d1 cắt nhau tại 1 điểm bên trên trục hoành

Lời giải

2

d ⇔ m+ ≠ ⇔ ≠m

Phương trình hoành độ giao điểm của d và d1 là: (2m+ 1)x m+ − = 1 2x+ ⇔ 3 (2m− 1)x= − 4 m

m x

Dạng 9.3: Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm trên trục hoành Ox

Cách giải:

Xét hai đường thẳng y a x b d y1 = 1 + ( )1 ; 2 =a x b d2 + ( )2

- Tìm giao điểm (x01;0) của d1 với trục hoành, tìm giao điểm (x02;0) của d2 với trục hoành

Bài 1:

Cho hai đường thẳng ( )d1 :y= 2x m+ − 1 và ( ) 2

d y= x m+ − Tìm m để đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại 1 điểm bên trên trục hoành

Cho hai đường thẳng ( )d1 :y=(m+ 1)x− 3 và ( )d2 :y= 2x m−

Tìm m để đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại 1 điểm nằm trên trục hoành

- Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là a a1 ≠ 2

Bài 1:

Cho hai đường thẳng ( )d1 :y x m= + − 4 và ( )d2 :y= 2x+ 2m− 1

Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Oy

Lời giải

Bài 2:

Cho hai đường thẳng ( ) 2

d y m x m= + + và ( )d2 :y= 4x+ 2m− 1 Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Oy

Lời giải

điều kiện *)

Bài 3:

Cho hai đường thẳng ( )d1 :y= 3(x+ + 5 2) m và ( )d2 :y= 2(x m− )+ 3 Tìm m để giao điểm của d1

và d2 thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Nằm trên trục tung b) Nằm trên trục hoành

c) Nằm bên trái trục tung d) Nằm phía trên trục hoành

e) Nằm trong góc phần tư thứ hai

f) Nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Lời giải

Ta có ( )d1 :y= 3(x+ + 5 2) m⇔( )d1 :y= 3 15 2x+ + m

( )d2 :y= 2(x m− )+ ⇔ 3 ( )d2 :y= 2x+ − 3 2m

a) d1 và d2 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung ⇔ 15 2 + m= − 3 2m⇔m= − 3

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d2 là: 3 15 2x+ + m= 2x+ − 3 2m⇔ = − −x 12 4m

10 21

Tọa độ giao điểm của d1 và d2 là A(− − 12 2 ; 10m − m− 21)

10

A A

c) Giao điểm A nằm bên trái trục tung ⇒x A < ⇔ − − 0 12 4m< ⇔ > − 0 m 3

Xét hai đường thẳng y a x b d y1= 1 + ( )1 ; 2 =a x b d2 + ( )2

*) Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có tung độ bằng h

Bài 1:

Tìm m để y= 2x+ 3m− 1 và y=(m− 1)x m+ cắt nhau tại điểm có hoành độ x =1

Lời giải

Thay x =1 vào y= 2x+ 3m− 1, ta được y= 3m+ 1

Thay x =1;y= 3m+ 1 vào y=(m− 1)x m+ , ta được (m− 1 1) + =m 3m+ ⇔ = − 1 m 2

Vậy m = −2 thì hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1

Bài 2:

Tìm m để y x= + 2m+ 2 và y=(m− 1)x+ 3 cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 3

Lời giải

Thay y =3 vào y x= + 2m+ 2 ta được: x+ 2m+ = ⇔ = − 2 3 x 1 2m

- Nếu m =0, ta có ( )d1 :x =2 và ( )d2 :y =1 cắt nhau tại điểm A( )2;1 , thay tọa độ điểm A( )2;1 vào

+ Nhân cả hai vế của (1) với x0, ta được: 2 ( ) ( )

Vì 1 2

−

Dạng 10: Tìm tham số m để tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là các số nguyên Xác

định điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn điều kiện bài cho

Cách giải:

Bước 1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm x y, theo m

Bước 3: Dùng tính chất chai hết để tìm m, đối chiếu với điều kiện và kết luận

Cho đường thẳng ( )d y: =(m+ 1)x m+ − 3 Tìm tất cả các giá trị m nguyên để ( )d cắt hai trục tọa

độ Ox Oy, lần lượt tại A và B sao cho A B, có tọa độ nguyên

Điểm C x y( C; C) thuộc đoạn AB nên 0 52

C C

x y

Cách giải:

*) Khái niệm: Ta có ba đường thẳng phân biệt được gọi là đồng quy nếu chúng cùng đi qua 1 điểm

vào m) bằng việc giải phương trình hoành độ giao điểm

( )d1 :y a x b= 1 + 1 và ( )d2 :y a x b= 2 + 2 thì phương trình hoành độ giao điểm là: a x b a x b1 + = 1 2 + 2

Khi đó có được tọa độ giao điểm là I x y( 0 ; 0)

Bài 1:

Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy: ( )d1 :y x= − 4, ( )d2 :y= − − 2 1x và

( )d3 :y mx= + 2

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d1 và ( )d2 là: x− = − − ⇔ = ⇒ = − 4 2 1x x 1 y 3

⇒ tọa độ giao điểm của ( )d1 và ( )d2 là A −(1; 3)

Để ba đường thẳng đồng quy thì ( )d3 phải đi qua điểm A(1; 3 − ⇔ + = − ⇔ = −) m 2 3 m 5

x+ = − x+ ⇔ x= − ⇔ = − ⇒ = ⇒x y d và ( )d2 cắt nhau tại điểm (− 2;3)

I y

a Tìm điều kiện của tham số m để hàm số luôn nghịch biến

b Tìm m để ( )d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3

c Tìm m để đồ thị hàm số y= − +x 2;y= 2 1x− và ( )d đồng quy tại 1 điểm

Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Đắc Lắc, năm học 2018 - 2019

Tìm k để ba đường thẳng sau đồng quy trong mặt phẳng tọa độ ( )d1 :y x= + 2, ( )d2 :y = −2 và

Do đó, giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là A − −( 4; 2)

Đường thẳng d3 đi qua A − −( 4; 2) khi − = 2 (k+ 1 4) ( )− +k suy ra 2 2( )

Bài 6:

Cho các đường thẳng sau: d y1 : = 2 1, :x+ d y x2 = + 2 và ( 2 )

d y= m + x+ m−

a) Xác định tọa độ giao điểm của (d1) và (d2)

b) Tìm m để d1 song song với d3

c) Tìm m để ba đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm

2 3

Dạng 12: Tìm điểm cố định thuộc đồ thị hàm số

Cách giải:

a) Khái niệm điểm cố định: Điểm M x y( 0 ; 0) là điểm cố định của d y ax b a: = + ( ≠ 0), a và b

b) Cách giải: Gọi M x y( 0 ; 0) là điểm cố định của đồ thị hàm số Thay điểm M vào hàm số