Đs9 chuyên đề 2 hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai (94 trang)

Khoảng cách từ a Tìm điểm cố định mà đường thẳng  d luôn đi qua.. b Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d là lớn nhất... e Tìm các điểm trên parabol khác gốc tọa độ

CHỦ ĐỀ 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

a) Hàm số bậc nhất, xác định với mọi giá trị x  

b) Trên tập số thực, hàm số y ax b  đồng biến khi a 0 và nghịch biến khi a 0

3 Đồ thị hàm số y ax b  với a 0:

- Đồ thị hàm số y ax b  là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và cắt trục

hoành tại điểm có hoành độ bằng b

a



- a gọi là hệ số góc của đường thẳng y ax b 

4 Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b  :

- Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm

- Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm của đồ thị với các trục tọa độ là A b;0 ,B0;b

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A x y 1; 1,B x y 2; 2 thì AB x2 x12y2 y12

6 Điều kiện để hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc:

Cho hai đường thẳng  d1 :y ax b  và đường thẳng  d2 :y a x b '  ' với , ' 0.

  d1 / / d2  a a ' và b b '

    d1  d2  a a ' và b b '

  d1 cắt  d2  a a '

  d1  d2  a a '1

Chú ý: Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng y ax b  và trục Ox, nếu a 0 thì tan a.

II MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

b) Gọi A là điểm thuộc đường thẳng  d1 có hoành độ x 2 Viết phương trình đường thẳng  d3

đi qua A vuông góc với  d1 .

c) Khi  d1 / / d2 Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng    d1 , d2 .

d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng  d1 và tính diện tích tam giác OMN với,

M N lần lượt là giao điểm của  d1 với các trục tọa độ Ox Oy, .

Lời giải:

2 2

c) Khi  d1 / / d2 thì khoảng cách giữa hai đường thẳng  d1 và

 d2 cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm A B, lần lượt thuộc  d1

và  d2 sao cho AB d1 ,AB d2

Hình vẽ: Gọi B là giao điểm của đường thẳng  d3 và  d2 Phương

Vậy độ dài đoạn thẳng AB là:

d) Gọi M N, lần lượt là giao điểm của đường thẳng  d1 với các trục tọa độ Ox Oy, Ta có:

Chú ý: Nếu tam giác OMN không vuông cân tại O ta có thể tính OH theo cách:

đó để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  d ta làm theo

cách:

- Tìm các giao điểm M N, của  d với các trục tọa độ.

tam giác vuông OMN (công thức (*)) để tính đoạn OH

Bằng cách làm tương tự ta có thể chứng minh được công thức sau:

Cho M x y 0; 0 và đường thẳng ax by c  0 Khoảng cách từ

a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng  d luôn đi qua.

b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d là lớn nhất.

c) Tìm m để đường thẳng  d cắt các trục tọa độ Ox Oy, lần lượt tại A B, sao cho tam giác OAB

Đường thẳng  d cắt trục Ox tại điểm A có tung độ bằng 0 nên

Giá trị m 1 không thỏa mãn,

do đường thẳng  d đi qua gốc tọa độ.

2

Ví dụ 3.

Cho hai đường thẳng  d1 :mxm1y 2m 1 0,  d2 : 1 m x my   4m 1 0

a) Tìm các điểm cố định mà    d1 , d2 luôn đi qua.

b) Tìm m để khoảng cách từ điểm P0;4 đến đường thẳng  d1 là lớn nhất.

c) Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm I Tìm quỹ tích điểm I khi m thayđổi

d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAB với A B, lần lượt là các điểm cố định mà

b) Để ý rằng đường thẳng  d1 luôn đi qua điểm cố định: A1;1 Gọi H là hình chiếu vuông góc

của P lên  d1 thì khoảng cách từ A đến  d1 là PH PA Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi

Xét đường thẳng  d1 :mxm1 y 2m 1 0 Nếu m 1 thì  d1 :x  1 0 không thỏa mãn điều

kiện Khi m 1 thì  1

2 1:

c) Nếu m 0 thì  d1 :y  1 0 và  d2 :x  1 0 suy ra hai đường thẳng này luôn vuông góc với

nhau và cắt nhau tại I  1;1 Nếu m 1 thì  d1 :x  1 0 và  d2 :y  3 0 suy ra hai đường thẳng

này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại I1;3 Nếu m 0;1 thì ta viết lại:

 1

2 1:

Do đó hai đường thẳng này luôn cắt nhau tại 1 điểm I

Tóm lại với mọi giá trị của m thì hai đường thẳng    d1 , d2 luôn

vuông góc và cắt nhau tại điểm I Mặt khác theo câu a) ta có

   d1 , d2 lần lượt đi qua hai điểm cố định A B, suy ra tam giác

IAB vuông tại A Nên I nằm trên đường tròn đường kính AB

khi và chỉ khi IH IK Hay tam giác vuông IAB vuông cân tại I

Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

Ta có các kết quả quan trọng sau:

- Xét hàm số yf x  ax b với m x n  khi đó GTLN, GTNN của hàm số sẽ đạt được tại

x m hoặc x n Nói cách khác: min  min  ;   

Không mất tính tổng quát giả sử: amin , ,a b c suy ra 1

- Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0, nghịch biến khi x 0

- Nếu a 0 thì hàm đồng biến khi x 0, nghịch biến khi x 0

Đồ thị hàm số là một đường Parabol nhận gốc tọa độ O làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng Khi a 0 thì parabol có bề lõm quay lên trên, khi a 0 thì parabol có bề lõm quay xuống dưới

Ví dụ 1.

a) Hãy xác định hàm số yf x  ax2 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A2;4.

c) Tìm các điểm trên Parabol có tung độ bằng 16.

d) Tìm m sao cho B m m ; 3 thuộc parabol.

e) Tìm các điểm trên parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ

Lời giải:

a) Ta có: A P  4a.22  a1

b) Đồ thị parabol có đỉnh là gốc tọa độ O0;0 bề lõm quay lên

Một xe tải có chiều rộng là 2,4m chiều cao là 2,5m muốn đi qua một cái cổng hình parabol Biết

khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5m (Bỏqua độ dày của cổng)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol  P y ax:  2 với a 0 là hình biểu diễn cổng mà xetải muốn đi qua Chứng minh a 1

b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?

(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà

Nội 2015-2016)

Lời giải:

tính theo đơn vị mét Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m nên

2

MA NA  m Theo giả thiết ta có OM ON 2 5, áp dụng

định lý Pitago ta tính được: OA 4 vậy M2; 4 ,  N2; 4  Do

Ví dụ 3.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d y : 1 và điểm F0;1 Tìm tất cả những điểm I

sao cho khoảng cách từ I đến d bằng IF

a) Giả sử điểm M thuộc đường parabol  P y x:  2 suy ra M m m ; 2 Khi đó

2

22

A B O và OA OB Giả sử I là trung điểm của đoạn AB

a) Tìm quỹ tích điểm trung điểm I của đoạn AB

b) Đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định

c) Xác định tọa độ điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Vậy tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình: y2x21

Ta cũng có thể tìm điều kiện để OA OB theo cách sử dụng hệ số góc: Đường thẳng OA có hệ số góc

b) Phương trình đường thẳng đi qua A và B là  

2

2 2: x a y a

AB:ya b x ab   a b x  1 Từ đây ta dễ dàng suy ra đường thẳng AB y: a b x  1

luôn luôn đi qua điểm cố định 0;1 .

c) Vì OA OB nên a b  1 Độ dài đoạn AB a b 2 a2  b22 hay

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  P y x:  2, trên  P lấy hai điểm A1;1 , B3;9

b) Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của  P sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.

Lời giải:

a) Gọi y ax b  là phương trình đường thẳng AB

3.3 9

b) Giả sử C c c ; 2 thuộc cung nhỏ  P với   1 c 3

Diện tích tam giác: S ABC S ABB A' '  S ACC A' ' S BCC B' '

Các tứ giác ABB A AA C C CBB C' ', ' ' , ' ' đều là hình thang vuông nên

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất bằng 8 (đvdt) khi C1;1

IV MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Công thức nghiệm phương trình bậc hai:

Kiến thức cần nhớ:

ax bx c  a có biệt thức:  b2 4ac

- Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép

2

b x a

Công thức nghiệm thu gọn: Khi b2 'b , ta xét  ' b'2 ac Khi đó:

- Nếu  ' 0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu  ' 0 thì phương trình có nghiệm kép:  b'

2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai:

Để chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm Thông thường ta chứng minh:  0 dựa trên các

kỹ thuật như biến đổi tương đương để đưa về dạng Ax B 2 0, kiến thức về bất đẳng thức, bấtphương trình, trong một số bài toán khó ta cần nắm bắt được những tính chất đặc biệt của tam thức bậchai để vận dụng

Ngoài các kiến thức cơ sở trong SGK ta cần nắm thêm một số kết quả, bổ đề quan trọng sau:

- Mọi tam thức bậc hai: f x  ax2bx c với a 0 đều có thể phân tích thành dạng:

- Xét a f    a f    a f2     f   0 trong hai số af   và af   có một số không

dương, tức là af    0 hoặc af     0 phương trình có nghiệm.

Nếu a b c  0 thì từ giả thiết ta suy ra a b c  0 Do vậy phương trình có vô số nghiệm.

Dưới đây ta xét trường hợp: a b c  0

b) Cho các số a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c  6 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba

a) Hai phương trình trên lần lượt có:  '1 16 1 48a  bc, ' 2 16 1 24b  ac

Vì a b, là các số dương nên ' , '1 2 lần lượt cùng dấu với 1 48bc và 1 24ac Mặt khác ta lại có:

1 48 bc 1 24ac 2 24c a2b  2 24 1 3c  c 2 6c1 0

Dẫn đến   '1 '2 0 Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Vậy có ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm

c) Nếu trong ba số a b c, , có một số bằng 0, chẳng hạn a  2  2 có nghiệm x 0

Ta xét a b c, , là các số thực khác 0, khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậc hai lần lượt có:

a) Cho tam thức bậc hai f x  x2 bx c trong đó b c, là các số nguyên Chứng minh rằng, tồn

tại số nguyên k để được f k  f 2015  f 2016

b) Cho tam thức bậc hai f x  x2bx c Giả sử phương trình f x x có hai nghiệm phânbiệt Chứng minh rằng phương trình f f x    x có 4 nghiệm nếu: b12 4b c 1

Lời giải:

a) Để chứng minh sự tồn tại của số k ta cần chỉ ra tính chất:

Với mọi đa thức bậc hai dạng: f x  x2 px q

Ta luôn có f f x  x f x f x   1 với mọi x Thật vậy, ta có:

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Cách 2: Gọi f x  là vế trái của phương trình (1) Ta có:

 Trong bốn số f 0 ,f a f b f c ,  ,   luôn tồn tại hai số có tích không dương.

Dẫn đến phương trình đã cho luôn có nghiệm

dương hay phương trình vô nghiệm.

Cách 4: Tại sao ta chỉ ra được 3

- Nếu a 0 b 0 f x  là đa thức không, do đó f x  sẽ có nghiệm trong 0;1

    và f x  x ax b  0 x b 0;1

a

Xét c 0 ta có:      

2 2

Vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai trong các bài toán GTLN, GTNN

Bài toán 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

2 2

Gọi y0 là một giá trị của biểu thức Khi đó:

nghiệm là:  0 Từ đó ta suy ra điều kiện của y0 Trên cơ sở đó ta tìm được GTLN, GTNN (nếu có)

một giá trị của biểu thức khi đó ta có: (*)

+ Nếu 0

7

5

y    x   x điều đó có nghĩa là y 0 1 là một giá trị của biểu thức nhận được.

+ Nếu y 0 1 thì (*) là một phương trình bậc hai có nghiệm Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

5

0

y x

285

t  suy ra A 0 2 là một giá trị của biểu thức nhận được.

+ Nếu A 0 2 thì (*) là một phương trình bậc hai có:

có: 6 A 3 Suy ra GTNN của A là 6 đạt được khi và chỉ khi 3 ; 2

Để phương trình có nghiệm điều kiện là   0 12y112 4.11 10 y210y P  0 hay

4 12

Nhận xét p 1 là một giá trị của biểu thức.

Khi p 1 *  là phương trình bậc hai của x nên điều kiện để phương trình có nghiệm là:

a c

Một số ứng dụng cơ bản của định lý Vi-ét:

+ Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai:

Nếu a b c  0 thì phương trình có hai nghiệm là: x1 1;x2 c

của phương trình (*):

Bước 1: Kiểm tra điều kiện  0, sau đó áp dụng định lý Vi-ét

Bước 2: Biểu diễn biểu thức g x x 1, 2 theo Sx1x P x x2,  1 2 từ đó tính được g x x 1, 2.

Bước 2: Phương trình bậc hai nhận hai nghiệm x x1, 2 là X2 S X P0

 Tìm điều kiện để phương trình bậc hai (*) (a b c, , phụ thuộc vào tham số m), có hai nghiệm

1, 2

x x thỏa mãn một điều kiện cho trước h x x  1, 2 0 1 .

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình (*) có nghiệm, nghĩa là  0 Sau đó áp dụng định lý Vi-ét để

 Dấu của nghiệm phương trình bậc hai: ax2 bx c 0,a0

Bài toán 1: Phương trình có hai nghiệm trái dấu  ac0

Bài toán 2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương có giá trị tuyệt đối bé hơn (hoặc

0

ac S

Bài toán 3: Phương trình có hai nghiệm trái dấu trong đó có nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

0

ac S

Bài toán 6: Phương trình có hai nghiệm âm

000

Bài toán 7: Phương trình có một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương 0

0

P S

Bài toán 8: Phương trình có một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm  1 2 

00

Bài toán 9: Phương trình có đúng một nghiệm dương:

2

    b 

Bài toán 10: Phương trình có đúng một nghiệm âm  Giải tương tự như bài toán 9

Chú ý: Nếu chỉ là phương trình có nghiệm âm mà không nói phân biệt thì thay  0 bằng  0

VI MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Ví dụ 1.

Cho phương trình: x2 2m1x m 2 3 0 (x là ẩn, m là tham số) Tìm m để phương trình có hai

nghiệm x x1, 2 sao cho: 2

1 4 1 2 2 2 1 1

Lời giải:

Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi    ' 0 2m  4 0 m2

Vì x1 là nghiệm của phương trình nên x12  2m 1x1m2 3 0  x12 2m1x1 m23 thay vào

Cho phương trình: x2  2mxm 13 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m 1

Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình, theo hệ thức Vi-ét ta có:  

Cho phương trình bậc hai: x2  2m 1x m 2  2m 3 0 với m là tham số.

+ Chứng minh rằng: Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

+ Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x1 4 x2

  m  m  m   nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2.

+ Ta tính được hai nghiệm của phương trình là: x m  3 và x m 1

Trường hợp 1: x1m 3;x2 m1 điều kiện bài toán trở thành: m 1 m1

thỏa mãn điều kiện

Trường hợp 2: x1m1;x2 m 3 điều kiện bài toán trở thành: m 4 m 3

Phương trình tương đương với

Theo hệ thức Vi-ét: x1x2 2m1 thay vào ta có: 4m12 4m2  20 0  8m 16 0  m2.

1 3

21

TH2: 1

2

24

Ngoài cách làm trên, ta có thể xử lý giả thiết: x1 2x2 1 theo cách: Do vai trò bình đẳng của x x1, 2 nên

điều kiện x1 2x2 1 tương đương với x1 2x21 x2 2x11 0 hay

Cho phương trình ẩn m10x22m 10x 2 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

x x m

a) Giải phương trình khi m 1.

  m  m  m  m   m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt Để

phương trình có 2 nghiệm x x1, 2 sao cho  1 2

2

2 nghiệm của phương trình khác 0 Tức là 2

4 1 1

1

13

m m

Cho phương trình x2  m 2x 3 0 (m là tham số) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm

phân biệt x x1, 2 với mọi m Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: x1x2 1 2 x x1 2 1 Để chứng minh (*) ta quy về chứng minh:

1x 1x 1 x x với x x 1, 2 1 Quy đồng và rút gọn bất đẳng thức trên tương đương với

 x x1 2 1  x1  x22 0 (Điều này là hiển nhiên đúng) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vì phương trình bậc hai có 2 nghiệm nên a 0 Biểu thức Q có dạng đẳng cấp bậc hai ta chia cả tử và

mẫu của Q cho a2 thì

2

18 99

Đẳng thức xảy ra 1 2

1 2

30; 3

Cho phương trình f x  ax2bx c 0, trong đó a b c, , là các số nguyên và a 0, có hai nghiệm

phân biệt trong khoảng 0;1 Tìm giá trị nhỏ nhất của a.

Lời giải:

Gọi x x 1, 2 0;1 là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho  f x  a x x  1 x x 2

Vì a b c, , là các số nguyên và a 0 f  0  c ax x f1 2,  1    a b c a1 x1 1 x2 là các sốnguyên dương

thức f x  5x x 11, ta thấy f x  thỏa mãn điều kiện bài toán Vậy giá trị nhỏ nhất của a bằng

Ta có: S11,S2 x1x22 2x x1 2 3,S3 S2  S12 Từ đó bằng phép quy nạp ta dễ dàng chứngminh được S n là số nguyên Suy ra a n  S n 2 là số chính phương.

Khi cần biện luận số giao điểm của một đường thẳng  d và Parabol  P y ax:  2 ta cần chú ý:

a) Nếu đường thẳng  d là y m (song song với trục Ox) ta có thể dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào ax2 m

b) Nếu đường thẳng  d :y mx n  ta thường xét phương trình hoành độ giao điểm của  P và

 d là: ax2 mx n  ax2  mx n 0, từ đó ta xét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình

đến nghiệm x x1, 2 ta đều quy về định lý Vi-ét.

Chú ý: Đường thẳng  d có hệ số góc a đi qua điểm M x y 0; 0 thì có dạng: y a x x   0 y0

Ví dụ 1.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  

2:2

m  tìm tọa độ các giao điểm của  P và  d .

b) Chứng minh đường thẳng  d luôn cắt  P tại 2 điểm M N, nằm ở 2 phía trục tung Gọi I là

điểm cố định mà  d luôn đi qua Tìm m để diện tích tam giác CID bằng 4 5 với C D, lần lượt là

hình chiếu vuông góc của M N, lên trục Ox.

    với mọi m 0 nên

phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt tức là

 d cắt  P tại 2 điểm phân biệt Hơn nữa

hai phía trục tung Giả sử M x y 1; 1,N x y 2; 2 với

1 0 2

x  x khi đó ta có: C x 1;0 , D x 2;0 Dễ thấy

parabol luôn đi qua điểm cố định là I0;2 nên

1 2 2 12,

S m

Trong mặt phẳng cho Parabol  P y x:  2 và đường thẳng  d :ym 2x3.

a) Chứng minh rằng khi m thay đổi  P luôn cắt  d tại 2 điểm phân biệt nằm về 2 phía trục tung.

b) Gọi x x1, 2 là các hoành độ giao điểm A B, của  d với  P và x1 0 x2 Xét các điểm

ra phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 hay đường

thẳng  d luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệt A B, Theo hệ thức

Vi-ét ta cũng có x x  1 2 3 0 suy ra 2 giao điểm A B, nằm về 2

phía trục tung

b) Vì các điểm A C, có cùng hoành độ và C Ox nên ACCO, tương tự BDOD

Tam giác ACO vuông tại C BDO, vuông tại D nên ta có:

M  d Chứng minh rằng đường thẳng  d cắt  P tại 2 điểm phân biệt A x y 1; 1,B x y 2; 2

nằm về hai phía điểm M Giả sử x1x2, tìm m để MA2MB

luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2, hay  d luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệt A x y 1; 1,B x y 2; 2 Vì

x11 x2 1 x x1 2 x1x21

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  d :y2m1x m2m và parabol  P y x:  2.

a) Khi m 1 tìm tọa độ giao điểm của  P và  d .

b) Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng  d cắt  P tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là x x1, 2

Với x 1 thì y 1, với x 2 thì y 4 Vậy  d cắt  P tại 2 điểm A1;1 , B2;4.

Vậy m 0;2;2 5 là tất cả các giá trị cần tìm

Ví dụ 5.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  P y: 2x2 và đường thẳng  d :y2mx m 1

Tìm m để đường thẳng  d cắt parabol  P tại 2 điểm phân biệt x x1, 2 sao cho

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  P y x:  2 và đường thẳng  d :ym 1x1 (m là tham

số)

a) Chứng minh Khi m thay đổi thì  d luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệt.

b) Gọi x x1, 2 là hoành độ các giao điểm của  d và  P Tìm m sao cho 2 2 3 3

Do  m12 4 4 với mọi m nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Suy ra đường thẳng  d luôn cắt parabol  P tại 2 điểm phân biệt.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  d :y2m1x2m 4 và parabol  P y x:  2

a) Tìm tọa độ giao điểm của  P và  d khi m 3.

b) Gọi x x1, 2 là hoành độ các giao điểm của  P và  d Tìm m để 2 2

Khi x 2 2 y2 22  6 4 2

Vậy các giao điểm của  d và  P là: A2 2;6 4 2 ,  B 2 2;6 4 2 

b) Để đường thẳng  d cắt  P tại 2 điểm phân biệt điều kiện là phương trình (*) có 2 nghiệm

phân biệt Hay  ' m122m 4 0  m2 3 0  m  3

1 2 4 1 2 2 1 2 4 0 3

kiện bài toán ta thấy m 2 thỏa mãn.

Ví dụ 8.

:

P y x và đường thẳng  d :y mx 4.Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng  d cắt đồ thị  P tại 2 điểm phân biệt A B, sao cho diện

tích tam giác OAB bằng 8

Ta có  m216 0 với mọi m nên phương trình luôn

có 2 nghiệm phân biệt A B, , suy ra đường thẳng  d luôn

cắt  P tại 2 điểm phân biệtA B, .

Để ý rằng đường thẳng  d luôn đi qua điểm cố định

S S S  AH OI BK OI với H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A B, trên

Thay vào ta có: S OAB2 4m216 64 m0

Điểm mấu chốt của bài toán là phát hiện A B, nằm về 2 phía trục tung thông qua x x 1 2 0 để phân chia

tam giác OAB thành 2 tam giác OAI OBI, .

Ngoài cách làm trên ta cũng có thể tính diện tích tam giác OAB theo cách khác là: Giả sử

 1; 1,  2; 2

A x y B x y với (x1 0 x2) Gọi D C, là hình chiếu vuông góc của A B, lên trục Ox ta tính

được: CD x 2 x OD1; x1 x OC1; x2 x AD2; y1x BC12; y2 x22

Ta có ABCD là hình thang vuông tại C D, , tam giác ADO vuông tại D, tam giác BCO vuông tại C

và S OAB S ABCD  S ADO S BCO từ đó ta tính được: S OAB S ABCD  S ADO S BCO

Trên hệ trục tọa độ Oxy cho parabol  P y:  x2 và đường thẳng  d :y2x m 21

a) Khi m  3, chứng tỏ rằng  d luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệt A B, Từ đó tính diện tích

tam giác OAB

b) Với giá trị nào của m thì  d cắt  P tại 2 điểm phân biệt D E, sao cho khoảng cách từ D đến