Đs9 cđ8 tam thức bậc hai 2

Bài 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và ParabolA... Bài 3: Điều kiện tọa độ giao điểm của đường thẳng và Parabol... Lời giải a Phương trình hoành độ giao điểm của  P và d là:... b C

Hàm số y ax a 2 0Bài 1: Vẽ đồ thị và tính chất đồ thị

+ Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 và đồng biến khi x 0

+ Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 và đồng biến khi x 0

Bài 1:

Cho hàm số ym2  3m 2 x2 Tìm giá trị của m để:

c) Đồ thị hàm số đi qua điểm A  1; 2

Bài 2:

Cho hàm số y x 2 có đồ thị  P

a) Vẽ đồ thị  P

b) Cho các hàm số y x 2 và y x m (với m là tham số) lần lượt có đồ thị là  d và

d m Tìm tất cả các giá trị của m để trên một mặt phẳng tọa độ các đồ thị của  P ,  d và

d m cùng đi qua một điểm

Lời giải

b) Gọi A x y ;  là điểm mà cả ba đồ thị đi qua

Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của phương trình

2 2

1 2

x y

y x

và đường thẳng y x 4 là:

2 2 2

1

4 2

2

Vậy M2;2 , N4;8

Bài 4: Chuyên SPHN năm học 2015

a) Trong mặt phẳng Oxy, gọi Parabol  P y ax a:  2 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải

b) Hỏi xe tải có qua cổng không?

Bài 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và Parabol

A Kiến thức

Cho Parabol y ax P 2  và đường thẳng y bx c 

Hoành độ giao điểm của d và  P là nghiệm của phương trình ax2 bx c 0 * 

+  P và d không có điểm chung khi và chi khi phương trình (*) vô nghiệm

+  P và d không có đúng 2 điểm chung (cắt nhau) khi và chi khi phương trình (*) có hainghiệm phân biệt

+  P và d tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép

b) Gọi  d là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hoành độ m m  1 Viết

phương trình đường thẳng  d và tìm m để  d và  P có một điểm chung

Lời giải

a) Để đồ thị hàm số đi qua A1;1 thì 1 a.12  a 1

Với a 1 y x 2

Hàm số đồng biến trên khoảng 0;, nghịch biến trên khoảng  ;0

b) Đường thẳng  d đi qua điểm A1;1 với hệ số góc k có dạng y k x  1 1

2

2 1

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y2x P2 , biết rằng

a) Tiếp tuyến đó đi qua điểm A1; 2 

b) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng

1 2 3

y x

Lời giải

a) Gọi tiếp tuyến đó có dạng y ax b d   

phương trình hoành độ giao điểm của  P và  d là 2x2ax b 0,  a2 8b

để đường thẳng  d là tiếp tuyến của  P thì  a2 8b0 1 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d y:  y mx1 và  P y: 2x2

a) Tìm m để đường thẳng d đi qua điểm A1;3

b) Chứng minh đường thẳng d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt A x y 1 ; 1,B x y 2 ; 2 Hãytính giá trị của biểu thức T x x1 2 y y1 2

Lời giải

a) Đường thẳng d đi qua điểm A1;3 khi 3 m.1 1   m 2

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P : 2x2 mx 1 0 1 

Bài 6:

Trên  P y x:  2 lấy hai điểm A1;1 , B3;9 và M là điểm thuộc cung AB

c) Xác định vị trí của M để diện tích ABM đạt giá trị lớn nhất

đường thẳng  tiếp xúc với  P khi và chỉ

khi phương trình hoành độ giao

 là tiếp điểm của  P và đường thẳng song song với AB

Theo câu b) suy ra tọa độ của M là tọa độ giao điểm của  và  P

Hoành độ M là nghiệm của phương trình x2 2x1 x 1 y 1 M1;1

Bài 3: Điều kiện tọa độ giao điểm của đường thẳng và Parabol

Từ giả thiết  m 1 9   m 10 (thỏa mãn)

Cho Parabol y x 2 và đường thẳng d y: 4x2m Tìm m để

a) Đường thẳng d tiếp xúc với  P

b) Giả sử d cắt  P tại hai điểm phân biệt A B, Tìm m để A B, nằm bên phải trục tungc) Giả sử d cắt  P tại hai điểm phân biệt A B, Tìm m để AB 2

Cho Parabol  P y x:  2 và đường thẳng d y : 4 cắt  P tại hai điểm A và B x A x B

a) Đường thẳng  qua điểm A có hệ số góc m Định m để  cắt  P tại I, cắt Ox tại J

AB của  P , xác định tọa độ các điểm M N E F, , , để chu vi MNEF lớn nhất

Lời giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của  P và d là:

m m

Cho hàm số y x 2 có đồ thị  P và đường thẳng d y:  x m1 Tìm m để đường thẳng d

cắt  P tại hai điểm phân biệt ở bên phải trục tung

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt A B, Gọi

1 , 2

y y là tung độ của A B, Tìm m sao cho y12 y22  3 5

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và  P :  x22mx1 0 *  

a) Thay m 1 vào phương trình ta có x2 2x 1 0 

Đây là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt là x  1 2

Cho hàm số y x 2 có đồ thị là  P và đường thẳng d y mx:  Tìm m để đường thẳng d

cắt  P tại hai điểm A B, phân biệt AB  10

Để đường thẳng d cắt  P tại hai điểm A B, phân biệt khi m 0

Vì A x y A; A,B x y B; B thuộc đường thẳng d nên y A mx y A, B mx B

2

x

P y

và đường thẳng d đi qua I0; 2  có hệ số góc k

điểm phân biệt A B, khi k thay đổi

tam giác IHK vuông tại I

Lời giải

a) Phương trình đường thẳng d đi qua I0; 2  có hệ số góc k là y k x   0 2kx 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và  

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi k 0

Vậy S IHK nhỏ nhất bằng 64 khi k 0

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì   ' 0   1 a3  0  a 1

Kết hợp với điều kiện a 0 suy ra 0  a 1 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1 , 2

Khi đó, theo định lí Viét ta có

1 2 2

1 2

2 0 0

a a

Suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm dương với 0 a 1

 đường thẳng d cắt  P tại hai điểm phân biệt A B, nằm bên phải trục tung

a 

Bài 9:

Cho các hàm số y x y 2;  x2

Lời giải

a)    

1 5 1;1 , 2; 4 ;

3 0

1 13 2

Cho Parabol  P y x;  2, và đường thẳng d y mx:  1

a) Chứng minh rằng với mọi m thì đường thẳng d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệtb) Gọi A x y 1 ; 1,B x y 2 ; 2 là tọa độ các giao điểm của d và  P Tìm GTLN của biểu thức

 phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

 đường thẳng  d và  p luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 0

Vậy giá trị lớn nhất của M là 0 khi m 0

Bài 11:

Cho Parabol

2 2

x

y 

và đường thẳng d y mx m:   2a) Tìm m để d và  P cùng đi qua điểm có hoành độ x 4

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt

c) Giả sử x y1 ; 1 , x y2 ; 2 là tọa độ các giao điểm của d và  P Chứng minh rằng

x

y 

ta được

2 4 8 2

Đường thẳng y mx m  2 đi qua điểm 4;8 nên ta có 8 m.4  m  2 m 2

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và  P là:

Phương trình hoành độ giao điểm x2 2m1x m 22m0 * , ' 1 0    

 phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

a) Tìm m để đồ thị  P và đường thẳng d có hai giao điểm phân biệt A B,

b) Xác định m để A B, nằm về hai phía của trục tung và AB  3

Để đồ thị d cắt  P tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm

b) Gọi tọa độ hai điểm A x y A; A, B x y B; B

Để A B, nằm hai phía trục tung x x  A. B 0

Vì x x A, B là hai nghiệm của phương trình (*) nên theo Viét ta có

1

yx b

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  và  P : x2  x b  x2 x b0,   1 4b

Để đường thẳng  tiếp xúc với  P thì

A B khi m thay đổi

b) Gọi x x A, B lần lượt là hoành độ của A B, Xác định m để x x A B2 x x2B A đạt giá trị nhỏ nhất

c) Gọi A B', ' lần lượt là hình chiếu của A B, trên trục hoành và S là diện tích hình thang

Dấu “=” xảy ra khi 4m   4 0 m 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là  16 khi m 1

a) M là điểm thuộc  P có hoành độ x M a Xác định a để AM nhỏ nhất

k 

+ Viết phương trình tiếp tuyến của  P tại M

Phương trình đường thẳng đi qua M có hệ số góc k có dạng y k x  1 1 kx k 1  dXét phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P

Vậy phương trình tiếp tuyến  d của  P tại M là y2x1, với hệ số góc k 2 2

Ta có 1 2

1 2 1 2

đường thẳng AM và đường thẳng  d vuông góc với nhau