Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân

LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG, PHÉP NHÂNTÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC A.. Chứng minh rằng ac bd Lời giải.

LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG, PHÉP NHÂN

TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

A Lý thuyết

1 Định nghĩa bất đẳng thức

- Ta gọi hệ thức dạng a b (a b a b a b ,  ,  ) là một bất đẳng thức, trong đó: a và b lầm lần lượt được gọi là vế trái và vế phải.

- Để chứng minh bất đẳng thức a b , ta xét hiệu a b và chứng minh rằng hiệu đó là số dương.

2 Các tính chất

a a b  a c b c   (cộng hai vế bất đẳng thức với cùng một số)

b Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số

+) Nếu a b  a c b c c.  ( 0)

+) Nếu a b  a c b c c.  ( 0)

3 Tính chất bắc cầu

Nếu a b và b c thì suy ra được: a c

*) Chú ý: Các tính chất trên còn đúng trong trường hợp các dấu  ;

B Bài tập

Bài 1:

Cho a b , c d Chứng minh rằng: a c b d  

Lời giải

Ta có:

a b a c b c

a c b d

c d b c b d



Bài 2:

Cho a b 0 và c d 0 Chứng minh rằng ac bd

Lời giải

( 0) ( 0)

a b a c b c c

ac bd

c d b c b d b



Bài 3:

Cho a 2 và b 2 Chứng minh rằng ab a b 

Lời giải

Ta có:

2 2 ( 0)

2 2 ( 0)

a a b b b

ab ab b a ab a b ab a b

b a b a a



Bài 4:

Cho 0 a b  Hãy so sánh

Lời giải

a) Ta có: a b  a a a b.  .  a2 ab(1)

b) Ta có : a b  a b b b.  .  ab b 2(2)

c) Từ (1)(2)  a2 b2

Bài 5:

Chứng minh bất đẳng thức sau:

2

2 2

x y

x y    xy

Lời giải

Xét hiệu:

x y       x y  

Xét hiệu:

Từ (1)(2)

2

2 2

x y

(đpcm)

Bài 6:

Cho số thực x 0 Chứng minh rằng:

a

1

2

x

x

nếu x 0 b

1 2

x x

 

nếu x 0

Lời giải

a) Ta có :

2



b) Ta có

2



Bài 7:

Cho x y, là hai số khác nhau và khác 0 Chứng minh rằng:

x y

yx  nếu x y, cùng dấu b 2

x y

y x   nếu x y, khác dấu

Lời giải

a Xét

2



b Xét

2



Bài 8:

Cho các số dương x y z, , Chứng minh: 6

x y y z z x

Lời giải

Xét:

Bài 9:

Chứng minh các bất đẳng thức sau: 3(a2b2c2) ( a b c  )2 3(ab bc ca  )

Lời giải

Xét hiệu: 3(a2b2c2) ( a b c  )2 (a b )2(b c )2(c a )2 0(1)

Xét hiệu: (a b c  )2 3(ab bc ca  ) ( a b )2(b c )2(c a )2 0(2)

Từ (1)(2)  3(a2b2c2) ( a b c  )2 3(ab bc ca  )

Bài 10:

Chứng minh rằng: (a1)(a 2)(a 3)(a 4) 1 0 

Ta có:

(a1)(a 2)(a 3)(a 4) 1 0   (a1)(a 4)(a 2)(a 3) 1 0   (a  5a4)(a  5a6) 1 0 

(a 5a 4) 2(a 5a 4) 1 0 (a 5a 5) 0(dpcm)

Bài 11:

Cho x y Chứng minh rằng: x5 y5 xy4 x y4 (1)

Lời giải

(1) x  y  xy x y 0 (x x y) ( y xy ) 0  x x y(  ) y x y(  ) 0  (x y x )(  y ) 0

(x y x)( y )(x y ) 0 (x y) (x y x)( y ) 0

Bài 12:

Cho a b 2 Chứng minh rằng: a4b4 2

Lời giải

Ta có:

a b   a b   a  ab b 

Mà: (a b )2 0 a2  2ab b 2  0 (a22ab b 2) ( a2 2ab b 2) 4  2a22b2  4 a2b2 2

(a b ) 4 a b 2a b 4

Lại có: (a2 b2 2)  0 a4b4 2a b2 2  0 (a4b42a b2 2) ( a4b4 2a b2 2) 4  2a42b4 4

4 4 2

a b

Bài 13:

Với mọi x y z, , chứng minh rằng:

a x2y2z2 xy yz zx  b x2y2z2 2xy 2xz2yz

c x2y2z2 3 2(x y z  )

Lời giải

a

2

x y z  xy yz zx    x  xy y  y  yz z  z  xz x 

1

2 x y y z z x  x y z

b x2y22z2 2xy2xz 2yz(x y )2 2 (z x y )z2(x y z  )20

c x2y2z2 3 2(x y z  ) ( x1)2(y1)2(z1)2 0

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1:

Chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 2

1,

A

n

với n N n , 2

Lời giải

2 1.2  2 3  2.3 2 3 n (n1).nn1 n A  n dpcm

Bài 2:

Chứng minh bất đẳng thức sau với a b c, , là các số dương

(a b c) (b c a) (c a b) 6abc

Lời giải

Ta có: (a b )2  0 a2b2 2ab (a2b c2) 2abc c( 0)

Tương tự: (b2c a2) 2abc c;( 2a b2) 2abc đpcm.