He thong ly thuyet va bai tap ve lien he giua thu tu va phep cong lien he giua thu tu va phep nhan chon loc

LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN A Lý thuyết 1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng 1 1 Nhắc lại về thứ tự trên tập hợp số Trên tập hợp số thực, khi thực hiện so sánh hai[.]

LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP

NHÂN

A Lý thuyết

1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

1.1 Nhắc lại về thứ tự trên tập hợp số

Trên tập hợp số thực, khi thực hiện so sánh hai số a và b, xảy ra một trong ba trường hợp sau: +) Số a bằng số b, ký hiệu ab

+) Số a nhỏ hơn số b, ký hiệu ab

+) Số a lớn hơn số b, ký hiệu ab

Khi biểu diễn số thực trên trục số (theo phương ngang) điểm biểu diễn số nhỏ hơn ở bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn

1.2 Bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng ab (hay ab, ab,ab) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức

Ví dụ: Bất đẳng thức 6    2 3 Vế trái là 6   2 , vế phải là 3

1.3 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Với ba số a, b và c, ta có:

+) Nếu abthì a  c b c; Nếu abthì a  c b c

+) Nếu abthì a  c b c; Nếu abthì a  c b c

Ví dụ: 2018  2019  2018   2017 2019   2017

Vậy: Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho

2 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

2.1 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương

Với ba số a, b và c 0, ta có:

+) Nếu abthì acbc; Nếu abthì acbc

+) Nếu abthì acbc; Nếu abthì acbc

Ví dụ: 2   3 2 3    3 3

Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho

2.2 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân số âm

Với ba số a, b và c 0, ta có:

+) Nếu abthì acbc; Nếu abthì acbc

+) Nếu abthì acbc; Nếu abthì acbc

Ví dụ: 2   3 2      3 3 3

Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho

2.3 Tính chất bắc cầu thứ tự

Với ba số a, b và c ta thấy:

+) Nếu abvà bcthì ac(tính chất bắc cầu)

+) Nếu abvà bcthì ac(tính chất bắc cầu)

Tương tự đối với dấu  hoÆc 

B Các dạng bài tập:

Dạng 1: So sánh

Phương pháp:

Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng; liên hệ giữa thứ tự và phép nhân để thực hiện so sánh

Bài 1: Cho ab Hãy so sánh

a)   4a 7và   4b 7 b)   5b 2 và   5a 2

c) 3b 1 và 3a 1 d) 2a 3 và 2b 3

Giải

a) Theo bài ra ta có ab, nhân hai vế của bất đẳng thức với  4 ta được:

ab   4 a  4 b  4a  4b  1

Cộng vào hai vế của bất đẳng thức  1 với 7, ta được:

 4a  4b       4a 7 4b 7

Vậy      4a 7 4b 7

b) Theo bài ra ta có ab nhân hai vế của bất đẳng thức với  5 ta được:

ab   5 a  5 b    5a 5b  1

Cộng vào hai vế của bất đẳng thức  1 với 2, ta được:

   5a 5b      5a 2 5b 2

Vậy      5a 2 5b 2

c) Theo bài ra ta có ab nhân hai vế của bất đẳng thức với 3 ta được:

 a b 3a 3b  1

Cộng vào hai vế của bất đẳng thức  1 với  1, ta được:

3a 3b 3a  1 3b 1

Vậy: 3a  1 3b 1

d) Theo bài ra ta có ab nhân hai vế của bất đẳng thức với 2 ta được:

 a b 2a 2b  1

Cộng vào hai vế của bất đẳng thức  1 với  3, ta được:

2a 2b 2a  3 2b 3

Vậy: 2a  3 2b 3

Bài 2: Cho mn Chứng minh rằng:

a) 2m  1 2n 1 b) 4m  2 4n 1

c) m   1 n 1 d) 1 2  m  2 2n

Giải

a) Theo bài ra ta có mn, nhân hai vế của bất đẳng thức với 2 ta được:

m n 2m 2n  1

Cộng vào hai vế của bất đẳng thức  1 với 1, ta được:

2m 2n 2m  1 2n  1 ®pcm

b) Theo bài ra ta có mn, nhân hai vế của bất đẳng thức với 4 ta được:

m n 4m 4n  1

Cộng vào hai vế của bất đẳng thức  1 với 2, ta được:

4m 4n 4m  2 4n 2  2

Ta có bất đẳng thức2  1 ,cộng hai vế với 4n ta được:

4n  2 4n 1  3

Từ  2 và  3 theo tính chất bắc cầu ta suy ra:

4m  2 4n 1  ®pcm

c) Theo bài ra ta có mn, cộng hai vế của bất đẳng thức với 1 ta được:

m    n m 1 n 1  1

Ta có bất đẳng thức 1   1, cộng hai vế với n ta được

n   1 n 1  2

Từ  1 và  2 theo tính chất bắc cầu ta suy ra:

m   1 n 1  ®pcm

d) Theo bài ra ta có mn, nhân hai vế của bất đẳng thức với -2 ta được:

m  n 2m  2n  1

Cộng vào hai vế của bất đẳng thức  1 với 2, ta được:

 2m  2n  2m      2 2n 2 2 2m  2 2n  2

Ta có bất đẳng thức 1  2, cộng hai vế với 2m ta được:

1 2  m  2 2m  3

Từ  2 và  3 theo tính chất bắc cầu ta suy ra: 1 2  m  2 2n ®pcm

Bài 3: Cho 0  n m Chứng minh rằng:

a) 2

3mn 3m

   c) 2 2

3n  3m

Giải

a) Theo bài ra ta có 0  n m, nhân hai vế của bất đẳng thức với 2n ta được:

n m n n n m n  mn ®pcm

b) Theo bài ra ta có 0  n m, nhân hai vế của bất đẳng thức với -3n ta được:

n  m m n  m m  mn  m  ®pcm

c) Theo bài ra ta có 0  n m, nhân hai vế của bất đẳng thức với m ta được:

n m m nm mmnm  1

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức nmvới n ta được:

2

n m n nm nn mn  2

Từ  1 và  2 theo tính chất bắc cầu ta suy ra: 2 2

n m  ®pcm

d) Theo bài ra ta có 0  n m, nhân hai vế của bất đẳng thức với 2

3m ta được:

n m m n m m m n m  1

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức nmvới 3n ta được

2

n m n n n m n  mn  

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức   với m ta được

3n  3mn 3mn  3m n  2

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức nmvới 2

3n ta được:

n m n n n m n  n m  3

Từ  1 ,  2 và  3 theo tính chất bắc cầu suy ra:

3 3

3n  3m  ®pcm