13 gt 12 chương 3 bài 1 đề bài

KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I.. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1.. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lý 3: Mọi hàm số f liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K... PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 1 NGUYÊN HÀM

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f x  xác định trên K (K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của ). Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x  trên K nếu F x' f x  với mọi x K

Định lý 1: Nếu F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số

   

G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x  trên K

Định lý 2: Nếu F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K thì mọi nguyên hàm của f x  đều có dạng F x C,với C là một hằng số

Hai định lý trên cho thấy:

Nếu F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K thì F x C, C là họ tất cả các nguyên hàm của f x  trênK. Kí hiệu

f x dx F x C



Chú ý: Biểu thức f x dx  chính là vi phân của nguyên hàm F x  của f x , vì

  '   

dF x F x dxf x dx

2 Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1

    '

f x dxf x C



Tính chất 2

kf x dx k f x dx

  , k là hằng số khác 0

Tính chất 3

f x g x dx f x dx g x dx

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lý 3: Mọi hàm số f liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4 Bảng nguyên hàm

0dx C

1

1

x













1

1 ( )

1

ax b

a















1

ln





x x

e dx e C

a

 cosxdxsinx C

a

 sinxdx cosx C

a

 ln

x

x a

a

x

x a

a a

 

 







2

1

tan

cos x dx x C

tan cos ax b dxa ax b C



2

1

cot sin x dx x C

cot sin ax b dx a x C



1

2

C a



1

2

C a





2

3

3

a

 1

2

dx x C





II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số

Định lý 1: Nếu f u du F u( )  ( )C và u u x ( ) có đạo hàm liên tục thì:

 ( ) '( )  ( )



Hệ quả: Với u ax b a   0 ta có

a



2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:

Định lý 2: Nếu hai hàm số u u x   và v v x   có đạo hàm liên tục trên K thì:

   '     '   

u x v x dx u x v x  u x v x dx

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai?

A 0dx C  B

5

4d 5

x

x x C

 . C 1xdxlnx C D.

e dx ex

Câu 2: Tìm nguyên hàm F x  2dx

A F x  2x C B F x  2x C C  

3

3

F x  C D.

 

2 2

2

x

F x  C

Câu 3: Cho f x x F x d   C Khi đó với a 0, a, b là hằng số ta có f ax b x  d bằng

A f ax b x d 1F ax b  C

a

a b



C f ax b x F ax b  d    C D f ax b x aF ax b  d    C

Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x21 là

A x3C B

3

3

x

x C

  C 6x C D x3 x C

Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x22x5là

A F x  x3x25 B F x x3 x C

C F x x3x25x C D F x  x3x2C

Câu 6: Họ nguyên hàm của hàm số   2

2

3

x

   là

A

3 3

x x

C x

  

 B 22 2x C

x



3 3

x x

C x

 

C x



  

Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số f x  e.xe4 là

A 101376 B e x2 e 1  C

e 1

4

e 1

x

x C



 

e 1

e

4

e 1

x

x C



 

Câu 8: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f x( )3x15?

A    

6

3 1

8 18

x

6

3 1

2 18

x

C    

6

3 1 18

x

6

3 1 6

x

Câu 9: Họ các nguyên hàm của hàm số f x  5x4 6x21 là

A 20x312x C B x5 2x3 x C C 20x512x3 x C.D.

4

2

4

x

Câu 10: Nguyên hàm của hàm số f x  x2018, (x   là hàm số nào trong các hàm số dưới)

đây?

A F x 2017.x2018C, (C   ) B  

2019

2019

x

C F x x2019C, (C   ) D F x  2018.x2017C, (C   )

Câu 11: Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số f x x2 2x3 thỏa mãn F 0 2, giá trị

của F 1 bằng

11

3 .

Câu 12: Xét I x34x4 3 d5 x Bằng cách đặt: u4x4 3, khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 5d

16

12

4

Câu 13: Cho 2 3x x  2 d6 xA x3  28B x3  27C với A, B  và C   Giá trị của

biểu thức 12A7B bằng

A 23

241

52

7

9.

Dạng 2: Nguyên Hàm Phân Thức Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số   6

2

1 1

x

x

x

x

Câu 2: Nguyên hàm của hàm số   1

2

f x

x



 là:

A ln x2C B 1ln 2

2 x C. C lnx2C D.

1

2 x C.

Câu 3: Nguyên hàm của hàm số   1

1 2

f x

x



 là

A f x x d 2ln 1 2 x C B f x x d 2ln 1 2 x C

C  d 1ln 1 2

2

Câu 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 2

1 1

y

x



C

 2

d

1

 2  3

d



Câu 5: Một nguyên hàm của hàm số  

1

x

f x

x





A f x x x d   ln x 1 1 B f x x d ln x  1 x 1

C f x x x d   lnx1 D xlnx1

Vậy f x x x d   ln x 1 1 là một nguyên hàm của f x 

Câu 6: Biết F x  là một nguyên hàm của   1

1

f x

x



 và F 0 2 thì F 1 bằng

A ln 2 B 2 ln 2 C 3 D 4

Câu 7: Nguyên hàm F x  của hàm số   1

f x

x



 , biết e 1 3

F  

  là:

A   2ln 2 1 1

2

F x  x  B F x  2 ln 2x 1 1

C   1ln 2 1 1

2

2

Câu 8: Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số   1

2 1

f x

x



 ; biết F 1 2 Tính F 2 .

A  2 1ln 3 2

2

F   B  2 1ln 3 2

2

F   C F 2 ln 3 2 D.

 2 2 ln 3 2

Câu 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số  

1

x x

f x

x

 





1

x

 2

1 1

x

2

ln 1 2

x

   D.

x  x C

Câu 10: Tính nguyên hàm

2

d 3

x

 





A I x2 x2ln x 3 C B I x2 x 2ln x 3C

C I 2x2 x2ln x 3C. D I 2x2 x 2 ln x 3C

( 1)( 2)

x



 

A a2b8 B a b 8 C 2a b 8 D a b 8

Câu 12: F x  là một nguyên hàm của hàm số   3 2 1

x

 Biết F 0 0,

 1 bln 3

c

  trong đó a, b, c là các số nguyên dương và b

c là phân số tối giản Khi

đó giá trị biểu thức a b c  bằng

Câu 13: Cho hàm số f x  xác định trên \ 1

2

 

 

 

 thỏa mãn   2

2 1

f x

x

 và f  0 1 Giá trị của biểu thức f 1 f  3 bằng

A 4 ln15 B 3 ln15 C 2 ln15 D ln15

Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức Câu 1: Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f x  x1 trên 0; .

A   23 2

1 3

2 3

C   1

2

F x

x

2

x

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f x 3 x x 2018là

A

2019

673

x

2019 3

2

2019

x

x  C

C

2019

1 673

x C

2017

1 6054

2 x  x C.

Câu 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x   2x3

A  d 2 2 3

3

C  d 22 3 2 3

3

Câu 4: Một nguyên hàm của hàm số f x  1 2 x là:

A 32 1 1 2

2 x  x. B 31 2  1 2

   C 32 1 1 2

4 x  x D.

1

Câu 5: Hàm số F x  nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y3 x1?

A   3 43

1 8

1 3

C   3  3

4

1 4

A   2

3

2

2 2

F x

x

Câu 7: Tìm hàm số f x , biết rằng f x 4 x x và f  4 0

A  

2

x x x

x

 

C  

2

x x x

2

2

1 2

x

f x

x

Câu 8: Tìm một nguyên hàm của hàm số   2

1

f x

x





A   1

1

F x

x



 B F x  4 x1 C F x  2 x1 D.

Câu 9: Biết F x  là nguyên hàm của hàm số   1 1

x

 thỏa mãn F 0 0 và

 3 7

F  Khi đó, giá trị của tham số m bằng

Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số f x x2 4x3 là

A 2  33

4

9 x C. B 2 4 x 3 C. C 1  33

4

9 x C. D.

 33

2 4 x C

Câu 11: Tìm họ nguyên hàm của hàm số   1

2 2 1

f x

x





A  d 1 2 1

2

1 d

Câu 12: Với cách đổi biến u 1 3ln x thì tích phân

1

ln

d

1 3ln

e

x x

2 2 1

2

1 d

2 2 1

2

1 d

9u  u C  

2 2 1

2u 1 du D

2 2

1

d 9

u u u



Câu 13: Khi tính nguyên hàm 3 d

1

x x x





 , bằng cách đặt u x ta được nguyên hàm nào?1

A 2u u 2 4 d u B  u2 4 d u C 2u2 4 d u D  u2 3 d u

Câu 14: Tìm nguyên hàm F x của hàm số   2

2 1

f x

x



 thỏa mãnF 5 7

A F x  2 2x1 B F x  2 2x1 1

C F x  2x1 4 D F x   2x1 10

Dạng 4 Nguyên hàm của hàm số lượng giác Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng.

A tanxdx ln cosx C B sin 2 cos 

C cotxdx ln sinx C D cos 2 sin 

Câu 2: Tính tích phân 4 2

0

os





8

4

3

3

I 

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số

3 2

1 sin x

f (x)

sin x



A f (x)dx  cot x cos x C  B f (x)dx  tan x cos x C 

C f (x)dx cot x cos x C  D f (x)dx  tan x cos x C 

Câu 4: Cho hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số   f x  sin3xcosx Tính

 0 2

I F  F

 

2

4

2

4

I 

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (sin x c os )x 2

A ( ) 1cos 2

2

f x dx x  x C

 B f x dx( ) 12cos 2x C .

C ( ) 1cos 2

2

f x dx x C

 D f x dx x( )   12cos 2x C .

Câu 6: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

A f x  sin 2x và g x  cos2 x B f x  tan2 x và   2 2

1 cos

g x

x

C f x  e x và g x  ex D f x  sin 2x và g x  sin2 x

Dạng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f x  e2x

e dx e C

2

C e dx 2e2x 2x C D e dx2x 2e2x C

A 12 dx 122x 12 4x ln12 C

C 2x 1212x

ln12

12x 1

ln12





Câu 3: Cho F x( ) là nguyên hàm của hàm số f x( ) lnx

x

 Tính F e( ) F(1)

e

2

I  D I 1

Câu 4: Biết F làm một nguyên hàm của hàm số f x 2016e2016x và F 0 2018 Giá trị của

F là

A F 1  2016 B F 1 2016e2016

C F 1  2016e20162 D F 1 e20162017

Câu 5: Tìm nguyên hàm  2 

2

1







x x

x

A I  lnx2  1C B 1 2 2 

4

C 1  2 

2

Câu 6: Kí hiệu F x là một nguyên hàm của hàm số     1

1

x

f x

e



 , biết F 0  ln 2 Tìm tập

nghiệm S của phương trình   ln x 1 3

F x  e  

Dạng 6: Nguyên Hàm Từng Phần Câu 1: Biết F x   ax b e . x là nguyên hàm của hàm số y2x 3 e x Khi đó a b là

Câu 2: Cho tích phân 4 

0

1 sin 2 d

 



I x x x Tìm đẳng thức đúng

0

1 cos 2 cos 2 d





0

1 cos 2 cos 2 d



0

1 cos 2 cos 2 d





0

1 cos 2 cos 2 d





Câu 3: Biết rằng e cos xdx e acos x bsin x 2x 3  2x 3  3  c, trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó

tổng

a + b có giá trị là

A 1

13

13

13

Câu 4: Tính nguyên hàm I  x 2 sin3xdx  x 2 cos3a xbsin3x C Tính M  a 27b

Chọn đáp án đúng:

Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số f x( )xsin 2x là

A ( ) 1 cos 2 1sin 2

F x  x x x C B ( ) 1 cos 2 1sin 2

F x  x x x C

C F x( )xcos 2xsin 2x C D F x( )xcos 2x sin 2x C

Câu 6: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số   f x   5x1e x và F 0 3 Tính F 1

A F 1 11e 3 B F 1  e 3 C F 1  e 7 D F 1  e 2

Câu 7: Tìm x cos 2xdx

A 1x.sin 2x 1cos2x C

C 1x.sin 2x 1cos2x C

x.sin 2x cos2x C

Câu 8: x 2 sin 3 xdx x mcos3x 1sin 3x C

