Nhóm 2 chương 3 bài 4 các ví dụ bài tập và 3 đề test đã pb

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ... Giải bất phương trình bậc hai một ẩn 1 Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách xét dấu tam thức bậc hai CÁC VÍ DỤ Câu 1... Ứng dụng

Bài 4 Bất phương trình bậc hai một ẩn

(trong đó trong đó a, b, c là những số thực đã cho và a 0)

Vậy những bất phương trình bậc hai ẩn x là: a) 2x2 mx m 0

b) 2x214x20 0 d) x  2 1 0

Ví dụ 2: Cho bất phương trình bậc hai ẩn một ẩn x22x 5 0 Trong các giá trị sau đây của x, giá trị nào

là nghiệm của bất phương trình?

Hướng dẫn:

Thay x  vào bất phương trình ta 3 322.3 5 0  (thỏa mãn) Vậy x  là nghiệm của bất phương trình 3

Ví dụ 3: Tìm tập nghiệm của bất phương trình x2   ?x 1 0

Hướng dẫn:

Do x2   với mọi x 1 0 x   nên bất phương trình vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 

Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau là bất phương trình bậc hai ẩn x?

2(m1)x  2(m1)x m  3 0

Hướng dẫn:

Bất phương trình bậc hai ẩn x có dạng ax2bx c 0 ( ax2bx c 0, ax2bx c 0, ax2bx c 0)(a 0)

Vậy để bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc hai ẩn x thì m1 0  m1

Ví dụ 5: Tìm hai bất phương trình bậc hai một ẩn xcó tập nghiệm là  ?

Hướng dẫn:

Chẳng hạn chọn 2 bất phương trình: x2   ; x 1 0 2x2 x 5 0

II Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

1) Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách xét dấu tam thức bậc hai

CÁC VÍ DỤ Câu 1 Giải bất phương trình: x2  4x 3 0

Câu 2 Giải bất phương trình

2 2

7 2

01

Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là : T 1;3

Câu 2 Giải bất phương trình

2 2

7 2

01

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

Câu 3 Giải bất phương trình x2 x 1 6  x2 5x10

Ta có  x2  x 1 0,x ;

2

12

13

Từ bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình (1) là: T    1  ; 1  3; , tậpnghiệm của bất phương trình (2) là: T   2  ;4  7;

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: T T 1 T2    ; 1  3;4  7;

2) Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng đồ thị

Ví dụ 1 [ Mức độ 2] Cho hàm số bậc hai yf x  có đồ thị như hình vẽ

Dựa vào đồ thị hàm số, hãy tìm tập nghiệm của bất phương trình:

a) f x   0

b) f x   0.

Lời giải

FB tác giả: Thanh Mai Nguyễn

a) Căn cứ đồ thị hàm số ta thấy f x    0 1 x3 Vậy bất phương trình f x   0 có tập

Ví dụ 3 [ Mức độ 3] Cho hàm số bậc hai yf x  có đồ thị như hình vẽ

Dựa vào đồ thị hàm số hãy tìm tập nghiệm của bất phương trình:

a) Căn cứ đồ thị hàm số ta thấy f x   0 , x   Vậy bất phương trình f x   0 có tập nghiệm

là S 

b) Căn cứ đồ thị hàm số ta thấy không có giá trị nào của x để f x   0. Vậy bất phương trình

  0

f x  vô nghiệm hay có tập nghiệm là S 

Ví dụ 4 [ Mức độ 3] Cho hàm số bậc hai yf x  có bảng biến thiên sau

Căn cứ bảng biến thiên hãy tìm tập nghiệm của bất phương trình f x  4.

Lời giải

FB tác giả: Thanh Mai Nguyễn

Căn cứ bảng biến thiên ta thấy f x 4 x2 Vậy bất phương trình f x 4 có tập nghiệm

III Ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn

Ví dụ 1 Bác Tuân có một tấm lưới dài 20m Bác muốn dùng tấm lưới này rào chắn ba mặt áp bên bờ tường

của khu vườn nhà mình thành một mảnh đất hình chữ nhật để trồng rau Hỏi hai cột góc của hàng rào cầnphải cắm cách bờ tường bao xa để diện tích mảnh đất được rào chắn của bác không nhỏ hơn 48m2?

Vậy hai cột góc của hàng rào cần cắm cách bờ tường một khoảng cách là x 4;6(m).

Ví dụ 2 Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình sau 2x2 3x0 (1) và x2 4x 3 0 (2)?

Vậy tập nghiệm của (1) là 1  

(2) 1 x3 Vậy tập nghiệm của (2) là S2 1;3.

Giao của hai tập nghiệm của hai bất phương trình trên là: 1 2

3

;32

S S S  



Ví dụ 3 Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm

số bậc hai h t( )4,9t220t1, ở đó độ cao h t( ) được tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây Hỏi

trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất?

Ví dụ 4 Lợi nhuận  I thu được trong một ngày từ việc kinh doanh một loại gạo của cửa hàng phụ thuộc

vào giá bán  x của một kilôgam loại gạo đó theo công thức I 3x2200x 2325, với I và x được

tính bằng nghìn đồng Giá trị của x như thế nào thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó?

Vậy khi

15515;

3

x   

  nghìn đồng thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó

Câu hỏi bổ sung: Em hãy cho biết giá bán loại gạo đó là bao nhiêu thì lợi nhuận từ nó sẽ lớn nhất? Đáp số

100

3

x 

Ví dụ 5 Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol Biết khoảng cách giữa hai

chân cổng bằng 162m Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây

chạm đất Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10m Giả sử các số liệu trên làchính xác

Hãy tính chiều cao h của cổng.

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ sao cho A O AB Ox ,  Ta có: A O 0;0 , B162;0 , M 10; 43

.Gọi phương trình parabol là: y ax 2bx c

Vì A B M, , thuộc parabol nên ta có:

2

431520

Do đó chiều cao của cổng Arch là h185,6m

IV Bài tập rèn luyện

Bài 1: Xét dấu các tam thức sau

a) f x( )2x2 3x b) 1

21

a) Tam thức ( )f x có a   , có hai nghiệm 2 0 1

12

a  

, có  0  g x( ) 0 (cùng dấu với a)  x 2 và g 2  0c) Tam thức ( )h x có a  2 0, có  7 0  g x( ) 0 (cùng dấu với a)  x R

Bài 2: Xét dấu các biểu thức sau

Nếu m  , khi đó ( )1 g x là tam thức bậc hai có a m  và ' 2(1   m1), do đó ta có các trường hợp sau:

* m 1, ( )g x có hai nghiệm phân biệt 1

1 2( 1)1

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì

a) Phương trình x2 2m2x m3  luôn có nghiệm0

Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

thì biểu thức f x  luôn âm.

b) Với m 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m 0 thì g x  4mx2 4m1x m  3 là tam thức bậc hai dó đó

Vậy với m   thì biểu thức 1 g x  luôn âm

Bài 7: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là  với mọi giá trị của m

a) y m x2 2 4mx m 2 2m b) 5 2   2

2 3

x m y

Với m  thì điều kiện (*) đúng với mọi 0 x

Với m  xét tam thức bậc hai 0 f x  m x2 2 4mx m 2 2m5

Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Hàm số có nghĩa với mọi x  (m1)x2 2(m1)x3m 3 0,    (1)x

* m  không thỏa mãn1

* m  khi đó1

1 0(1)

1 0

4x  x  c) 2x2   x 1 0d) 7x2x2 6 e) x2 22x51 0 f) x25x  6 0

HDG:

  thì phương trình vô nghiệm

b) Với m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m  phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ' 01  

Với m 0, bất phương trình trở thành:   1 0 bất phương trình vô nghiệm

Với m 0 f x( )mx2 2mx m  là tam thức bậc hai có 1 a m , ' m

*

' 00

TH1: Nếu m  không thỏa mãn ycbt; 1 m  thỏa mãn ycbt1

TH2: Nếu 1 m khi đó BPT (1) không thể có tập nghiệm chứa 1 0;  (vì khi đó tập nghiệm của (1) chỉ là 1 đoạn hoặc tập )

TH3: Nếu

11

5 102

Đặt t x  1 x t  , thay vào pt (1) ta được phương trình: 1 t22 1  m t m  2 3m 2 0 2 

a) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 1 x2  phương trình (2) có 2 nghiệm:

2

t  t  m  m   m

Kết luận: với 1m thì phương trình (1) có hai nghiệm 2 x1 1 x2

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1x2   phương trình (2) có 2 nghiệm: 1

1 2

1 0' 0

Kết luận: không tồn tại m để phương trình (1) có nghiệm x1x2  1

Bài 18: Giải các bất phương trình sau

Đẳng thức xảy ra  x   hoặc ( ; ; ) (2;2;0)y z 1 x y z  và các hoán vị.

Bài 20: Cho các số thực không âm , ,x y z thỏa mãn: x y z   Tìm giá trị lớn nhất 1

a

1

P 

ĐỀ TEST 1 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Câu 1 Tam thức y x 212x13 nhận giá trị âm khi và chỉ khi

x    x  hoặc x  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : 1   ; 1  1; 

Câu 4 Tập nghiệm của bất phương trình x2  x 6 0 là:

- + = Û - - = Û

ê = ê

Vậy tập nghiệm của bpt là S ( – ;1 ] [ 4;)

Câu 8 Số nghiệm nguyên dương của của bất phương trình

2 2

24

 Xét

2 2

24

2 04

 Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên dương

Câu 9 Tập nghiệm của hệ bất phương trình

2 2

x x x x

x x

m 

32

Câu 12 Bất phương trình x2(2m2 1)x m  1 0 có nghiệm x  khi:1

A m  2 B m  1 C

1

12

 m

D m2.

Lời giải

Bất phương trình x2(2m2 1)x m  1 0 có nghiệm x  khi 1 2m2 m1 0   12 m1

Câu 13 Tất cả giá trị m để tam thức f x( )x2 (m2)x8m1 đổi dấu 2 lần là

m 

40

21; m

m m m m

m m m m

nên loại m  1

Ta thấy : Bất phương trình (1) vô nghiệm khi

12

ĐỀ TEST 2 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Câu 1 (NB). Cho tam thức x2 8x16 0 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Bất phương trình vô nghiệm

B x4 là nghiệm của bất phương trình.

C Bất phương trình nghiệm đúngvới mọi x  

D x4 là nghiệm của bất phương trình.

Câu 2 (NB). Tập nghiệm của bất phương trình 2x214x20 0 là

A S    ;2  5;  B S    ;2  5; 

C S 2;5

Câu 3 (NB). Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x2 8x 7 0 Trong các tập hợp sau, tập nào

không là tập con của S?

12

Câu 8 (TH) Tìm m để bất phương trình 2x2 mx m 0 có tập nghiệm là ?

2 5

01

m 

D m 4.

Câu 15 (VD). Một chiếc cổng hình parabol có chiều rộng 12 m và chiều cao 8 m như hình vẽ Giả sử một

chiếc xe tải có chiều ngang 6 m đi vào vị trí chính giữa cổng Hỏi chiều cao h của xe tải thỏa mãnđiều kiện gì để có thể đi vào cổng mà không chạm tường?

Hướng dẫn câu vận dụng

Câu 13 (VD) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

2 2

2 5

01

2 5

0,1

1 0,

4 02; 2

m m

Vậy để bất phương trình t2 t 4m có nghiệm t  thì 0 m  4

Câu 15 (VD) Một chiếc cổng hình parabol có chiều rộng 12 m và chiều cao 8 m như hình vẽ Giả sử một

chiếc xe tải có chiều ngang 6 m đi vào vị trí chính giữa cổng Hỏi chiều cao h của xe tải thỏa mãnđiều kiện gì để có thể đi vào cổng mà không chạm tường?

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Parabol có phương trình dạng y ax 2 bx

Vì chiếc cổng hình parabol có chiều rộng 12 m và chiều cao, theo hình vẽ ta có parabol đi qua các

Do đó xe sẽ chạm tường tại điểm A3; 6 và B9 6; 

Khi đó chiều cao của xe là 6m

Vậy điều kiện để xe tải có thể đi vào cổng mà không chạm tường là 0h6

ĐỀ TEST 3 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Câu 1 Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x2 8x  Trong các tập hợp sau, tập nào không là7 0

m m

m 

Hướng dẫn giải Chọn D

m m

m m m m m

Câu 14 Để bất phương trình (x5)(3 x)x22x a nghiệm đúng   x  5;3

, tham số a phải thỏa

điều kiện:

A a  3 B a  4 C a  5 D a  6

Hướng dẫn giải Chọn C

4

a   

 D

434

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

434

4

a