Chuyên đề 25 nguyên hàm câu hỏi

Khẳng định nào sau đây đúng?. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. Mệnh đề nào dưới đây đúngA. Đổi biến số với hàm ẩn.?. Mệnh đề nào sau đây đúng? A... Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1 Nguyên hàm cơ bản có điều kiện

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)



1

1

n

n

+

+

1

n

+

+

+

ò



1dx lnx C.

ò

x

ò

(ax b+ ) x= - a ax b× + +C

ò

 òsin dx x= - cosx C+

¾¾®

1 sin(ax b x)d cos(ax b) C

a

ò

 òcos dx x=sinx C+

¾¾®

1 cos(ax b x)d sin(ax b) C

a

ò

sin x x= - x C+

ò

sin ( )

x

a

ò

1

cos x x= x C+

ò

cos ( )

x

a

ò

 òe x xd =e x +C

¾¾®

1

a

ò

ln

x

a

ln

x

a

a b

a b

a

+

ò

♦ Nhận xét Khi thay x bằng ( ax b + thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm )

1

a×

Một số nguyên tắc tính cơ bản

g Tích của đa thức hoặc lũy thừa ¾¾ ¾PP ® khai triễn.

g Tích các hàm mũ ¾¾ ¾PP ® khai triển theo công thức mũ.

g Bậc chẵn của sin và cosin Þ Hạ bậc:

g Chứa tích các căn thức của x ¾¾ ¾PP ® chuyển về lũy thừa.

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f x( ) xác định trên

1

\ 2

 

 

 



thỏa mãn

  2 ,  0 1,  1 2

2 1

x

 Giá trị của biểu thức f 1 f  3 bằng

A 2 ln15 B 3 ln15 C ln15 D 4 ln15

NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 2 (Sở Phú Thọ 2019) Cho F x 

là một nguyên hàm của   1

1





f x

x trên khoảng 1; 

thỏa mãn F e 1 4

Tìm F x 

A 2lnx12

B lnx13

C 4lnx1

D lnx1 3

Câu 3 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số   1 ,

2

f x

x



 biết F 1 2

Giá trị của F 0 bằng

A 2 ln 2. B ln 2. C 2 ln 2 

D ln 2  

Câu 4 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho F x 

là một nguyên hàm của hàm

f x

x



 ; biết F 0  Tính 2 F 1

A ( )1 1 3 2

2

- B F( )1 =ln3 2+

C F( )1 =2 3 2ln

- D- ( )1 1 3 2

2

Câu 5 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F x  là một nguyên hàm của hàm số

1

y x



trên  ;0 thỏa mãn F  20 Khẳng định nào sau đây đúng?

A

2

x

F x       x

 

B F x ln x C    x  ;0 với C là một số thực bất kì

C F x  ln x ln 2   x  ;0

D F x lnxC    x  ;0

với C là một số thực bất kì

Câu 6 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số f x  xác định trên R\ 1  thỏa mãn

  1

1

f x

x

 , f  0 2017

, f  2 2018

Tính Sf  3  f 1

A S ln 4035. B S  4 C S ln 2. D S  1

Câu 7 (Mã 105 2017) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số   f x( )e x2x thỏa mãn   

3 0 2

F

Tìm F x  

A     

2 1 2

x

B     

2 5 2

x

C     

2 3 2

x

D     

2 1 2

2

x

Câu 8 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F x  là một nguyên hàm của hàm số f x e 2 x

và F 0 0

Giá trị của Fln 3

bằng

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 9 (Sở Bình Phước 2019) Biết F x 

là một nguyên hàm của hàm số e 2x và  0 201

2

Giá trị 1

2

F 

  là

A

1 200

1 50

1 100

2e 

Câu 10 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số f x 

có đạo hàm liên tục trên  và:

  2e2x 1,

f x   x f,  0  Hàm 2 f x 

là

A y2ex2x B y 2ex 2 C ye2x  x 2 D ye2x  x 1

Câu 11 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x  2x e x

Tìm một nguyên hàm F x 

của hàm số f x 

thỏa mãn F 0 2019

A F x  x2e x2018

B F x x2e x 2018

C F x x2e x2017

Câu 12 Gọi F x 

là một nguyên hàm của hàm số f x   2x

, thỏa mãn  0 1

ln 2

Tính giá trị biểu thức T F 0 F 1  F2018F2019

A

2019

1009

ln 2

B T 22019.2020

C

2019

ln 2

2020

ln 2

Câu 13 (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F x 

của hàm số f x sinxcosx

thoả mãn

2 2

F 

A F x  cosxsinx3 B F x  cosxsinx1

C F x  cosxsinx1

D F x cosx sinx3

Câu 14 (Mã 123 2017) Cho hàm số f x 

thỏa mãn f x'  3 5 sinx

và f 0 10

Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

A f x 3x 5 cosx15

B f x  3x 5 cosx2

C f x  3x5 cosx5

D f x 3x5 cosx2

Câu 15 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số f x 

thỏa mãn f x   2 5sinx

và f  0 10

Mệnh đề

nào dưới đây đúng?

A f x  2x5cosx3

B f x 2x 5cosx15

C f x  2x5cosx5

D f x 2x 5cosx10

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 16 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết F x 

là một nguyên hàm của hàm

  cos3

và

2

F 

  Tính 9

F 

 

A

3 2

F  

3 2

F  

3 6

F  

3 6

F  

 

Câu 17 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho F x 

là một nguyên hàm của hàm số

  12

cos

f x

x



Biết 4

F kk

  với mọi k   Tính F 0 F  F F10

Câu 18 (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F x 

là một nguyên hàm của hàm số f x   2x

, thỏa mãn

 0 1

ln 2

Tính giá trị biểu thức T F 0 F 1 F 2  F2019

A

2020

ln 2

2019

1009

2

C T 22019.2020 D

2019

ln 2

Dạng 2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

“ Nếu f x dx F x    C thì f u x u x dx F u x    '      C”.

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I f x dx  , trong đó ta có thể phân tích

      ' 

f x g u x u x dx

thì ta thức hiện phép đổi biến số t u x  

  '

dt u x dx

Khi đó: I g t dt G t    C G u x    C

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x  

1 Đổi biến số với một số hàm thường gặp

f ax b x x(  ) d n   PP t ax b

b

PP

a

f x f x x   t f x



 1

b

PP a



b

PP

a

f e e x  t e





b

PP a



b

PP a





2

1

cos

b

PP a



b

a





f( a x x) ndx PP x asin t















a x











d

x

ax b cx d









1







PP n

x

x t









2 Đổi biến số với hàm ẩn

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 Nhận dạng tương đối: Đề cho ( ), f x yêu cầu tính ( ) f x hoặc đề cho ( f x), yêu cầu tính ( ) f x

 Phương pháp: Đặt t ( x).

 Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số,

mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là

f u u f t t  f x x

Câu 19 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết F x e xx2

là một nguyên hàm của hàm số f x 

trên  Khi

đó f2x dx bằng

A 2e x2x2C. B

1

2

x

e x C

C

1

2

x

e  x C

D e2x4x2C.

Câu 20 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết F x  e x 2x2

là một nguyên hàm của hàm số f x 

trên  Khi

đó f2x dx bằng

A 2e x  4x2C B

1

2

x

e  x C

C e2x 8x2C D

1

2

x

e  x C

Câu 21 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F x e x x2

là một nguyên hàm của hàm số f x  trên  Khi

đó f 2 dx x bằng

A

1 2 2

x

e  x C

B e2x 4x2C C 2e x 2x2C D

1 2

x

e  x C

Câu 22 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết F x  ex2x2 là một nguyên hàm của hàm số f x 

trên  Khi

đó f 2 dx x bằng

A e2x8x2C B 2ex4x2C C

1

2

x x C

D

1

2

x x C

Câu 28 [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết

2 d sin2 ln

f x x x x C

A  d sin2 ln

2

x

C  d 2sin2 2ln

2

x

Câu 46 [DS12.C3.1.D09.b] Cho

2

f x x x  x c

A

2

4

x

f x x  x C

C

2

4

x

f x x  x C

2

2

x

f x x  x C

Câu 5 [DS12.C3.1.D09.b] Cho f x x d 4x32x C 0 Tính I xf x 2 dx.

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A I 2x6x2C B

10 6

.

C I 4x62x2C D I 12x22

Câu 23 (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số   2.e 3 1

3 1

3



C  d e 3 1

3 1 1

3



f x x x C.

Câu 24 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của  

2

sin sin 2 x

f x  x e

là

A sin 2x esin2x1 C

2

sin 1 2

x e

C x





 C e sin x2 C D

2

sin 1 2

x e

C x





Câu 25 Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số   9 1 5

3x

f x

x





A

 

4

x

x





B

 

4

x

x





C

 

4

x

x





D

 

4

x

x





Câu 26 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm hàm số F x  biết  

3

1

x

x





 0 1

A F x lnx41 1

B   1ln 4 1 3

C   1  4 

4

D F x  4lnx41 1

Câu 27 Biết

 

 

2017 2019

1 1

b

x







với ,a b¥ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a2b B b2a C a2018b D b2018a

Câu 28 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Biết rằng F x  là một nguyên hàm trên  của hàm số

 

 2 2018

2017 1

x

f x

x





thỏa mãn F 1 0

Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x 

A

1 2

m 

2017 2018

1 2 2

m 

2017 2018

1 2 2

m 

1 2

m 

Câu 29 Cho F x  là nguyên hàm của hàm số   1

1

x

f x

e



 và F 0  ln 2e Tập nghiệm S của phương trình F x lne x1 2

là:

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A S  3 B S 2;3 C S   2;3 D S   3;3

Câu 30 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x  x x3 212019

là

A

 2 12021  2 12020 1

 2 12021  2 12020



C

 2 12021  2 12020

C

 2 12021  2 12020 1

C

Câu 31 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của   1 ln

.ln

x

f x





là:

A

1 ln

d ln ln ln

x



C

1 ln

.ln

x



 . D 1 lnx.lnx xdxln lnx x C .

Câu 32 (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  x e2 x3 1



A f x x e d x3 1 C

 B f x x d 3e x31C.

C   1 3 1

d 3

x

3 1

d 3

x x

Câu 33 (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số f x 33x là1

A f x x d 3x1 33 x 1 C. B f x x d 33x 1 C.

C   13

3

Câu 34 Nguyên hàm của hàm số f x  3x là2

A

2 (3 2) 3 2

3 x x CB

1 (3 2) 3 2

3 x x C

C

2 (3 2) 3 2

9 x x CD

2 3x2 C

Câu 35 (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x   2x là1

A 12 1 2 1

1

2 x C.

C 22 1 2 1

3 x x C.

Câu 36 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số f x  2 x ln 2

x



Hàm số nào dưới đây không là

nguyên hàm của hàm số f x 

?

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A F x 2 x C B F x 2 2 x 1C

C F x 2 2 x 1C

D F x  2 x 1 C

Câu 37 (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Khi tính nguyên hàm

3 d 1

x

x x







, bằng cách đặt 1

u x ta được nguyên hàm nào?

A 2u2 4 d u. B  u2 4 d u. C  u2 3 d u. D 2u u 2 4 d u.

Câu 38 (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số   1

f x

x





A  d 1 2 1

2

1 d



Câu 39 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Nguyên hàm của hàm số f x lnx x21

là

F x x x x   x  C

F x x x x   x  C

C F x xlnx x21C

D F x  x2lnx x2 1C

Câu 40 (Chuyên Hạ Long - 2018) Biết rằng trên khoảng

3

; 2

 

  , hàm số  

2

f x

x



một nguyên hàm F x  ax2bx c  2x 3

( , ,a b c là các số nguyên) Tổng S a b c  

bằng

Câu 41 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

sin ( )

1 3cos

x

f x

x



A

1 ( ) d ln 1 3cos

3

C f x x( ) d 3ln 1 3cos x C . D

1 ( ) d ln 1 3cos

3

Câu 42 (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số f x( ) biết

'

2

cos ( )

(2 sin )

x

f x

x



sin ( )

(2 sin )

x

x

1 ( )

(2 cos )

x

C

1 ( )

2 sin

x

sin ( )

2 sin

x

x

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 43 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Biết F x 

là một nguyên hàm của hàm số sin

( )

1 3cos

x

f x

x



2

F 

  Tính F 0

A

1 (0) ln 2 2

3

B

2 (0) ln 2 2

3

C

2 (0) ln 2 2

3

D

1

3

Câu 44 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết f x x d 3 cos 2x  x 5C Tìm khẳng

định đúng trong các khẳng định sau

A f 3 dx x 3 cos 6x  x 5C B f3 dx x 9 cos 6x  x 5C

C f 3 dx x 9 cos 2x  x 5C D f 3 dx x 3 cos 2x  x 5C

Câu 45 (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x tan5x

.

C  d 1tan4 1tan2 ln cos

Câu 46 (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Biết F x  là một nguyên hàm của hàm số

  sin cos3

và F 0 

Tính 2

F 

 

A 2

F

F

1

F 

1

F  

Câu 47 Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số   1

ln

f x

x x



thỏa mãn

1 2 e

F    

  và F e ln 2

Giá trị của biểu thức  2

2

1

e e

F F

A 3ln 2 2 B ln 2 2 C ln 2 1 D 2ln 2 1

Câu 48 (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019) Gọi F x 

( )

8





x

f x

x thỏa

mãn F 2 0

Khi đó phương trình F x x

có nghiệm là:

Câu 49 Gọi F x 

là nguyên hàm của hàm số   2 12

1

x

f x

x x

 Biết F 3  , giá trị của 6 F 8 là

A

217

215

215

8 .

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 50 Họ nguyên hàm của hàm số  

2

f x

x



 trên khoảng

3

; 2



  là

A 4x22x1 2 x 3C

B 4x2 2x1 2 x 3

C 3x2 2x1 2 x 3

D 4x2 2x1 2 x 3C

Dạng 3 Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

1 Công thức thường áp dụng

ò

(ax b+ ) x= - a ax b× + +C

ò

g

lna+lnb=ln( ).ab

g g lna- lnb=lna b×

lna n =n aln

2 Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ

( )

d ( )

P x

Q x

g Nếu bậc của tử số ( ) P x ³ bậc của mẫu số ( ) Q x ¾¾ ¾PP ® Chia đa thức.

g Nếu bậc của tử số ( ) P x < bậc của mẫu số ( ) Q x ¾¾ ¾PP ® phân tích mẫu ( ) Q x thành tích số, rồi sử dụng

phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.

g Nếu mẫu không phân tích được thành tích số ¾¾ ¾PP ® thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng

cách đặt X =atan ,t nếu mẫu đưa được về dạng X2+a2

Câu 51 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

2 ( )

1

x

f x

x





 trên khoảng

1; 

là

A x3lnx 1C

B x 3lnx1C

C  2

3

1

x



D  2

3

1

x



Câu 52 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

 

 2

2

x

f x

x





 trên khoảng

2; 

là

A 3ln 2 2

2

x

2

x



C 3ln 2 4

2

x

2

x

Câu 53 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

 

 2

1







x

f x

x

trên khoảng

1;  là

A 2 ln 1 2

1



1



TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

C 2ln 1 2

1



1



Câu 54 (Chuyên Lê Quý Dôn Diện Biên 2019) Tìm một nguyên hàm F x 

của hàm số

  b2 0 ,

x

biết rằng F 1 1,F 1 4, f  1 0

A.

  3 2 3 7

x

x

C   3 2 3 7

x

x

Câu 55 Cho biết    

2 13

x





Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a2b8 B a b 8 C 2a b 8 D a b 8

Câu 56 Cho biết 31 dx alnx 1 x 1 bln x C



Tính giá trị biểu thức: P2a b

1

Câu 57 Cho biết 2

4 11

x





Tính giá trị biểu thức: P a 2ab b 2

Câu 58 Cho hàm số f x( )

thỏa mãn ( ) 2

3

b

f x ax

x

, f ¢( )1 =3

, f ( )1 =2

,

fæö÷

ç =-÷

ç ÷

çè ø Khi đó 2a b+

bằng

A

3 2

3

2 .

Câu 59 (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2

( ) ( 1)

x

f x

x





 trên khoảng (1;) là

A

1 3ln( 1)

1

x

 B

2 3ln( 1)

1

x

C

2 3ln( 1)

1

x

1 3ln( 1)

1

x

Câu 60 (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

 

 2

2 1 2

x

f x

x







trên khoảng 2;  là

A 2ln 2 3

2

x

2

x

C 2ln 2 1

2

x

2

x

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 61 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số

  4 2 31 2

2

x

f x





  trên khoảng 0; thỏa mãn  1 1

2

Giá trị của biểu thức

 1  2  3 2019

S F F F  F

bằng

A

2019

2019.2021

1 2018

2019 2020



Câu 62 Giả sử



(C là hằng số)

Tính tổng các nghiệm của phương trình g x  0

Câu 63 (Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho  

1 1





a

x



Khi

đó S a b c   bằng

A

1 4



3

7

Câu 64 (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho hàm số f x 

xác định trên R \ 1;1

thỏa mãn

  21

'

1

f x

x



 Biết f  3  f3  và 4

2

f    f  

    Giá trị của biểu thức

 5  0  2

bằng

A

1

5 ln 2

2



1

6 ln 2 2



1

5 ln 2 2



1

6 ln 2 2



Câu 65 (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số f x 

xác định trên \2;1 thỏa mãn

  2 1

2

f x

  , f 3 f  3  và 0  

1 0 3

Giá trị của biểu thức f 4 f  1  f  4 bằng

A

ln 2

3 3. B ln 80 1 C

ln ln 2 1

3 5 .

Câu 66 (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Dồng Tháp - 2018) Cho hàm số f x  xác định trên \ 1 

thỏa mãn   1

1

f x

x

 , f  0 2017

,, f  2 2018

Tính S  f  3  2018  f  1  2017

A S 1 B S  1 ln 22 C S 2 ln 2 D S ln 22

Câu 67 (Sở Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f x  xác định trên \1;1

thỏa mãn   22

1

f x

x

 ,

 2  2 0

f   f  và

2

f   f  

    Tính f 3 f  0  f  4 được kết quả