108 đề đáp án hsg toan 8 kien xuong

Tìm các số nguyên không âm x để A có giá trị là số nguyên.. I là giao điểm của CM và DN.. Chứng minh rằng: a DEI vuông.. Tính tỉ số diện tích của tam giác CNI và diện tích hình vuông A

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIẾN XƯƠNG

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNGHỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2015 – 2016 Thời gian làm bài:120 phút

Bài 1: (4,0 điểm)Cho đa thức: P x  x3 6x2 11x 6

1 Phân tích đa thức P x 

thành nhân tử

2 Chứng minh rằng P x 

chia hết cho 6 với mọi x nguyên

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Cho 3 số dương x y z, , Chứng minh rằng x y z 1 1 1 9

     

2 Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Xác định dạng của tam giác để:

P

b c c a a b

   đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: (5,0 điểm) Cho biểu thức

2 2

2 : 1

A

1 Rút gọn biểu thức A

2 Tính giá trị biểu thức A biết x là số nguyên lớn nhất thỏa mãn 2

2 1

1 1

x x





3 Tìm các số nguyên không âm x để A có giá trị là số nguyên

Bài 4: (6,0 điểm)Cho hình vuông ABCD, gọi M N, lần lượt là trung điểm của cạnh AB BC, Hai

đường thẳng AD và MC cắt nhau tại E I là giao điểm của CM và DN.

1 Chứng minh rằng:

a) DEI vuông

b) AIM ACM 45

2 Tính tỉ số diện tích của tam giác CNI và diện tích hình vuông ABCD.

Bài 5: (1,0 điểm)Cho a b, là 2 số dương thỏa mãn

4 5

a b 

Chứng minh

29 5

a b

a b

ab



= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIẾN XƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8

KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2015 – 2016

Bài 1: (4,0 điểm) Cho đa thức: P x  x3 6x211x 6

1 Phân tích đa thức P x 

thành nhân tử

2 Chứng minh rằng P x 

chia hết cho 6 với mọi x nguyên

Câu 1 (2,5 đ)

Ta có P x  x3 6x211x 6

3 2 5 2 5 6 6

x 1 x2 5x 6

Vậy P x   x1 x 2 x 3 0,25

Câu 2 (1,5 đ)

+ Chứng minh được P x 

chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên x 1 + Lập luận 2, 3  1 P x 6

với mọi x là số nguyên 0,5

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Cho 3 số dương x y z, , Chứng minh rằng x y z 1 1 1 9

x y z

     

2 Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Xác định dạng của tam giác để:

P

b c c a a b

   đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 1

(2,0 đ)

Biến đổi:

            

0,75

Do x y z , , 0, nên áp dụng bất đẳng thức Cô si với 2 số dương ta được:

y x  y x  (dấu “=” xảy ra khi xy)

2

x z

 

0,75

y z

z y  .(dấu “=” xảy ra khi y z )

x y z 1 1 1 3 2 2 2 9

          

Dấu “=” xảy ra khi x y z Vậy x y z 1 1 1 9

x y z

     

0,5

Câu 2 (2,0 đ)

Ta có:

P

b c c a a b

P

b c c a a b

2

b c c a a b

0,5

0,5

Áp dụng câu 1, ta có:

b c c a a b

.9 3

P

0,5

Dấu “=” xảy ra khi b c c a a b      a b c  Vậy

P

b c c a a b

   đạt giá trị nhỏ nhất là

3

2 khi tam giác

là tam giác đều

0,5

Bài 3: (5,0 điểm) Cho biểu thức

2 2

2 : 1

A

1 Rút gọn biểu thức A

2 Tính giá trị biểu thức A biết x là số nguyên lớn nhất thỏa mãn 2

2 1

1 1

x x





3 Tìm các số nguyên không âm x để A có giá trị là số nguyên

Câu 1 (2,0 đ)

2 2

2 : 1

A

:

A



0,5

 

A

1,25

Vậy 2

2 1

x A x





0,25

Câu 2

(2,0 đ)

+ Giải bất phương trình 2

2 1

1 1

x x





 2

2x 1 x 1 (do x2 1 0x) 0,5

2 2 0

0 x 2

  

0,5 + Do x là số nguyên lớn nhất nên x 2 0,5 Thay x 2 vào biểu thức A ta được: 2

2.2 4

2 1 5



0,25

Vậy với x là số nguyên lớn nhất thỏa mãn 2

2 1

1 1

x x





 thì

4 5

A 

0,25

Câu 3

(1,0 đ)

Ta có 2

2 1

x A x



 + Do x0; x2 1 0 nên A 0 (1) + Ta có

2

x A

(2)

Từ (1) và (2)  0 A 1

Do A là số nguyên nên A0; 1

0,5

+ Với A 0; từ (1) ta được x 0 (tmđk) + Với A 1; từ (2) ta được x 1 (tmđk) Vậy với x 0; 1

thì A có giá trị là số nguyên

0,5

Bài 4: (6,0 điểm)Cho hình vuông ABCD, gọi M N, lần lượt là trung điểm của cạnh AB BC, Hai

đường thẳng AD và MC cắt nhau tại E I là giao điểm của CM và DN.

1 Chứng minh rằng:

a) DEI vuông

b) AIM ACM 45

2 Tính tỉ số diện tích của tam giác CNI và diện tích hình vuông ABCD.

E

N M D

A

Câu 1(a) (2,5 đ)

- Chứng minh MBCNCD (c.g.c) 0,5

Mà BMC MCN 90  INC ICN  90 1 + Từ đó suy ra được CM DN và DEI vuông 0,5

Câu 2 (2,0 đ)

- Chứng minh được AI là trung tuyến của DEI vuông tại I 0,5

- Chứng minh AEI cân  E MIA 0,5 + MIA MCA E MCA DAC      (tính chất góc ngoài tam giác) 0,5 + DAC  45 (tính chất hình vuông) Từ đó suy ra đpcm. 0,5

Câu 3 (1,5 đ)

- Chứng minh INC đồng dạng BMC 0,5

+ Tính được

2 1 5

CNI BMC

 

  

 

0,5

+ Chứng minh

1 4

Từ đó suy ra

1 20

CNI ABCD

S

0,5

Bài 5: (1,0 điểm)Cho a b, là 2 số dương thỏa mãn

4 5

a b 

Chứng minh

29 5

a b

a b

ab



Với a b , 0, ta có

1 1 4

a b a b

Mà

4 5

a b 

nên

1 1

5

0,25

Ta có

0,25

Áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số dương ta có:

2

2

(2)

0,25

Từ (1) và (2) ta có:

4 4 21 29

.5

5 5 25 5

Dấu “=” xảy ra khi

2 5

a b 

Vậy

29 5

a b

a b

ab



(Dấu “=” xảy ra khi

2 5

a b 

)

0,25

Lưu ý:

- Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Nếu học sinh không vẽ hình hoặc sai hình thì không chấm điểm bài hình

- Bài làm không chặt chẽ, không đủ cơ sở ở phần nào thì trừ nửa số điểm ở phần đó

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =