Đề + Đáp án HSG Toán 8 hay

Phân tích A thành tích các thừa số.. Điểm M di động sao cho VMAB có 3 góc nhọn.. Gọi H là trực tâm của VMAB, K là chân đờng cao vẽ từ M xuống cạnh AB của VMAB Tìm vị trí của M để giá tr

Sở Giáo dục - đào tạo

Thái Bình

****

Đề chính thức

Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 8

Môn thi: Toán

(thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 ( 5điểm)

Cho biểu thức A = a4 + b4 + c4 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)

1 Phân tích A thành tích các thừa số

2 Xét dấu của A khi a,b , c là số đo 3 cạnh một tam giác

Bài 2 ( 4điểm)

Chứng minh không thể tìm đợc số nguyên x , y , z thoả mãn:

x y   3 y z   5 z x   2003

Bài 3 (3điểm)

Cho x + y = 2

Chứng minh rằng x2003 + y2003  x2004 + y2004

Bài 4 ( 5điểm)

Đờng thẳng d đi qua trọng tâm G của VAbc lần lợt cắt các cạnh AB, AC và tia

CB tại M, N, và P Chứng minh:

1) AB AC 3

AMAN 

2)

9 AM.BMAN.CN  BP.CP

Bài 5: (3điểm)

Cho hai điểm A và B cố định Điểm M di động sao cho VMAB có 3 góc nhọn Gọi

H là trực tâm của VMAB, K là chân đờng cao vẽ từ M xuống cạnh AB của VMAB

Tìm vị trí của M để giá trị KM.KH lớn nhất

Hớng dẫn giải và biểu điểm

Bài

1 1 A = a

4 + b4 + c4 + 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2 – 4a2b2 = (a2 + b2 - c2)2 – (2a2b2)2

= (a2 + b2 - c2 - 2a2b2) (a2 + b2 - c2 + 2a2b2)

= [(a- b)2 – c2)] [(a + b)2 – c2)]

= (a - b – c)(a – b + c)(a + b- c)(a + b + c)

0,5 1 1 1

2 Do a – b – c < 0

a – b + c > 0 ; a + b – c > 0; a + b + c > 0

=> A > 0

1.5

Bài

0 x y



   

 



Vậy x y    x y luôn chẵn

+ Tơng tự y z    y z; z x    z x luôn chẵn

+.x y   3 y z   5 z x    x y  y z    z x  (x y    y z   z x) 2 y z    4 z x 

luôn chẵn, không thể bằng 2003 là số lẻ (đpcm)

1 1 2

Bài

3 Xét ( x

2004 + y2004) – (x2003 + y2003) = x2003(x – 1) + y2003 ( y – 1) = x2003(1 – y) + y2003 ( y – 1)

(do x – 1 = 1 – y)

Vậy ( x2004 + y2004) – (x2003 + y2003) = (1 – y) ( x2003 – y2003)

+.Giả sử x y => x 2003  y 2003 và x 1  y

do đó (1 – y) ( x2003 – y2003) 0 (đpcm)

+ Tơng tự nếu y x => y 2003  x 2003 và y 1x

do đó (1 – y) ( x2003 – y2003) 0 (đpcm)

(dấu bằng xảy ra khi x = y = 1)

0,5 1 1 0,5 Bài

+.Vẽ thêm CC2, AA1; BB1 nh hình vẽ

+.Chứng minh VBB1D = VCC1D

=> AB AC AB 1 AC 1 2AD 2.3AG

3

AMAN AG  AG  AG  2AG 

2

2

+ Chứng minh tơng tự đợc : CA CB 3

CNCP 

+.Ta tính :

 1 2 2  2 2 2

BA BC

3



=> AB AC CA CB BA BC 9

AMANCN CPBM BP 

AB AM BM AC AN CN BC BP CP

9

9 AM.BMAN.CN CP.BP

Bài

5 +)VAKH ~ VMKB

+) KM.KH = KB.KA

A2

M A

C

B

P

C2 D

G N

B1 C1

H

M

K

2

KA.KB



+) Vậy KM.KH lớn nhất bằng

2

AB

4 khi

K là trung điểm của BC

+.M nằm trên đờng trung trực của AB cách K ( K là TĐ của AB) một khoảng lớn hơn AB

2 để VMAB nhọn