de dap an HSG toan 8

b Tìm x để A = -1 c Tìm các giá trị của x để A < 0 Bài 4: 1,5 điểm Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kề hai cạnh kề và đường [r]

Trường THCS P Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VÒNG 2 NĂM HỌC 2013 – 2014

Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1

Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b 4 + c 4 + d 4 = 4abcd

Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm nằm giữa B và C Từ M kẻ

MD song song AB (D  AC), kẻ ME song song AC ((E  AB)

Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1

Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b 4 + c 4 + d 4 = 4abcd

Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm nằm giữa B và C Từ M kẻ

MD song song AB (D  AC), kẻ ME song song AC ((E  AB)

= x 2 (x 3 + 1) – (x 2 – x + 1) (0,5 đ)

= x 2 (x + 1) (x 2 – x + 1) – (x 2 – x + 1) (0,25 đ)

= (x 2 – x + 1) [x 2 (x + 1) – 1] (0,5 đ)

= (x 2 – x + 1) (x 3 + x 2 – 1) (0,25 đ)

Bài 2: (2,0điểm) a4 + b 4 + c 4 + d 4 = 4abcd

 a 4 – 2a 2 b 2 + b 4 + c 4 – 2c 2 d 2 + d 4 + 2a 2 b 2 – 4abcd +2c 2 d 2 = 0 (0,5 đ)

 (a 2 – b 2 ) 2 + (c 2 – d 2 ) 2 +2(ab – cd) 2 = 0 (0,5 đ)

Bài 3: (1,5điểm)

Ta có: M = b+c a +c +a

b +

a+b c

Đặt x 2 + xy + xz = a (0,5 đ)

M = 4a(a + yz) + y 2 z 2 (0,5 đ)

M = 4a 2 + 4ayz + (yz) 2 (0,25 đ)

M = (2a + yz) 2 là số chính phương (0,25 đ)

Bài 5: (2,5điểm)

a) Tứ giác ADME có:

AE // DM ( AB //DM) ; AD // EM ( AC // EM) và A = 900 (gt)

⇒ tứ giác ADME là hình chữ nhật (0,5 đ)

⇒ DE = AM (t/c hình chữ nhật) (0,25 đ)

⇒ ∆ ABM là nửa tam giác đều có cạnh AB (0,25 đ)

⇒ AM = √12 cm Vậy AM ngắn nhất bằng √12 cm ⇒ DE ngắn nhất bằng √12 cm (0,5 đ)

Hết

-Ghi chú: Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của bài.

Điểm toàn bài là tổng điểm của các bài.

ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút Bài 1:( 4 điểm)

= 32

Với x = - 12 ta cĩ : M =

1 2+12

=

1 5 2

= x 9 (x 2 +x+1) –x 8 (x 2 +x+1) +x 6 (x 2 +x+1)-x 4 (x 2 +x+1) +x 3 (x 2 +x+1) +(x 2 +x+1)

=(x 2 +x+1)(x 9 -x 8 +x 6 -x 4 +x 3 +1) (1 điểm) c) Ta cĩ : A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - (2bc) 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 -2bc)( b 2 + c 2 -

a 2 +2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) (1 điểm)

d) đặt y= x 2 +x +1 suy ra x 2 + x+ 2= y+1

=> y6 6x y2 49x y4 2 900Suy ra: x63x y4 23x y2 4y6 1000 => x2 y23  1000  x2 y2  10

( 2 điểm )

N E

A

B F

2

ND FD

Cộng theo vế tương ứng của các BĐT trên ta có đpcm

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 NĂM HỌC 2012 – 2013

b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Câu 2 Cho biểu thức B = 2 3

2 3

1

1 : 1

1

x x x

x x





c) Tìm giá trị của x để B < 0.

a) Tứ giác AMDB là hình gì? Tại sao?

b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB và AD Chứng minh EF//AC và

-Lưu ý: Thí sinh thi môn Toán không được sử dụng máy tính cầm tay

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU 8 NĂM HỌC 2012 – 2013

Vì a + b chia hết cho 3 nên (a + b) 2 - 3ab chia hết cho 3;

Do vậy (a + b)(a b) 2 3ab



0,25 0,5 0,25 0,5 0,5

Câu 2 ( 4,0 điểm )

a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì:

) 1 )(

1 ( :

1

1

2

2 3

x x x x x

x x x

x x x

1 ( : 1

) 1

x x x

x x x x

1 : ) 1

0,5

1,0 0,5

b, (1 điểm) Tại x = 3

2 1

 = 3

3

5 (

5 1 )(

272 3

8 9

34





c, (1 điểm) Với x khác -1 và 1 thì B < 0 khi và chỉ khi (1x2)(1 x)0 (1) 0,25

Vì 1x2 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 x0  x 1

KL: B < 0 khi và chỉ khi x > 1

0,5 0,25

Câu 4 (6,0 điểm):

Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,25

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD

 PO là đường trung bình của tam giác CAM ( )

b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)

Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở

I nên góc IAE = góc IEA.

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1)

Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)

Nhân 2 vế của (1) với 8 rồi trừ vế-vế của (2) cho (1), được: y + 2z = 4 (3)

Từ (3) suy ra z = 1 (vì nếu z ≥ 2 thì do y ≥ 1 => y + 2z ≥ 4, mâu thuẫn)

Với z = 1, tìm được y = 2 và x = 9

0,5

0,5 0,25 0,25 0,25

C D

O M

P

I E

F

Thử lại, thấy đúng Vậy có duy nhất bộ x = 9, y = 2 và z = 1 thoả mãn 0,25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ UÔNG BÍ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2012-2013

MÔN: TOÁN

Ngày thi: 24/4/2013 Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Cho h×nh vu«ng ABCD, c¹nh a, ®iÓm N thuéc c¹nh AB Tia CN c¾t tia DA t¹i E Tia

Cx vu«ng gãc víi tia CE c¾t tia AB t¹i F Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng EF.

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

2013

Thay abc = 2013 vµo P ta cã:

P = abc (abcaab+abca+abc+

b Vì M là trung điểm của EF nên

ME = MF = MC = MA=

1

2EF  MA = MC

1,0 điểm

 M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AC

Mà ABCD là hình vuông nên BD là đờng trung trực của đoạn

a

Tính đợc S ACFE =

2 2

2

a a b b

0 0

x y

3 Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm.

SO GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS

TINH YEN BAI NĂM HỌC 2013-2014

MÔN THI: TOÁN - LỚP 8

Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

Bài 5: (2,0 điểm)

Gọi M là điểm nằm trong xOy = m0 (0< m < 90) Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của

M trên Ox , Oy Gọi H, K lần lượt là trung điểm của OM, PQ

a) Chứng minh: HKPQ

b) Tính số đo góc HPQ theo m

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS

QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC 2011-2012

MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 HƯỚNG DẪN CHẤM

n(n – 1)(n +1)(n – 2) là tích 4 số nguyên liên tiếp trong đó phải có một

số chia hết cho 2; một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4 0,25đnên n(n – 1)(n +1)(n – 2)  2.3.4 = 24

K N

H M

y

- Học sinh có cách giải khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa phần ấy.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

Năm học : 2009 – 2010

Môn : Tóan

Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề )

Câu 1 : ( 2 điểm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số

b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 34c) Với giá trị nào của x thì p = 7

d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên

Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b 2 + c 2 = 1

Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0

Câu 5 : ( 3điểm)

Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại

M và N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm)

Câu 6 : ( 4 điểm ) Cho tam giác đều ABC M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai

cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất

- Hết

-ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN

Năm học : 2008 – 2009

Môn : Tóan

Câu 1 : ( 2 điểm ) Ta có M = 3 xyz + x ( y2 + z 2 ) + y ( x 2 + z 2 ) + z ( x 2 + y 2 )

= ( xyz + xy 2 + yx 2 ) + ( xyz + xz 2 + zx 2 ) + ( xyz + yz 2 + y 2Z ) ( ½ đ )

= xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) ( ½ đ )

= ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ đ ) Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ đ )

= 4

11 ( ½ đ )

c) Với p = 7 thì 2 − x1 =7  x = 13

7 ( thỏa mãn điều kiện của x ) ( ½ đ )

d) Để p có giá trị nguyên thì 2 - x phải là ước của 1 ( ½ đ )

Gọi p và Q là chân đường vuông góc kẻ từ M và N xuống AB

Ta có tam giác ANQ vuông ở Q có góc A = 60 0

 ANQ = 30 0 ( 1/2 đ )

 AQ = 1

2 AN ( 1/2 đ )Tương tự đối với tam giác MpB ta có pB = 1

Khi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AC ( 1/2 đ )

Đề thi hsg lớp 8 SỐ 1

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1

đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm

a) Tính tổng HA ' AA '+HB'

BB' +

HC ' CC'

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM

c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức

a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )

b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )

c) 4x – 12.2x +32 = 0 ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) ⇔ (2x – 23)(2x –22) = 0 ⇔ 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) ⇔ 2x = 23 hoặc 2x = 22 ⇔ x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )

xyz =0⇒ xy+yz+xz=0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm )

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó: A=yz

(x − y )(x − z)+

xz (y − x)( y − z )+

xy (z − x )(z− y) ( 0,25điểm )Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )

2 AA ' BC

=HA '

AA ' ; (0,25điểm)

HA ' AA '+HB'

BB' +

HC ' CC' =

⇔

Chứng minh rằng a=b=c

Bài 3 (3 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó

a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh

b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Bài 6 (5 điểm)

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường thẳng qua

O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N

0,5đ

c, (1điểm)

Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1+x 2 )(1 − x)<0 (1) 0,25đ

Vì 1+x2> 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1− x<0 ⇔ x >1

KL

0,5đ0,25đ

Bài 2 (3 điểm)

¿ ; b − c¿2=0

¿ và a − c¿2= 0

0,5đ0,5đ

Từ đó tìm được phân số −5

6KL

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đb,(2điểm)

⇒ SAOB SDOC=SBOC SAOD 0,5đ

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x - 1

Bài 2: Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4+ d4 = 4abcd

M

B A

CÂU 4: (2điểm)

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số lẻ thì n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: x2 - 3x + 5

Bài 2: Xác định số hữu tỉ k để đa thức

A = x3 + y3 + z3 +kxyz chia hết cho x + y + z

CÂU 8: (2điểm)

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: – 3x(x + 3) – 7

Bài 2: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích, mỗi tích là tích của hai

Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm nằm giữa B và C Từ M kẻ

MD song song AB (D AC), kẻ ME song song AC ((E AB)

Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC Gọi M là trung điểm của

AH, K là trung điểm của CD, N là trung điểm của BH

a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành.

b) Tính BMK

Bài 1: Ta có: A = (ab+ bc+ ca) (1a+

A = abc2 abc ( a+b+c)

A = (2k – 2).2k.(2k + 2).(2k +4)

= 16(k – 1).k.( k +1).(k + 2)

Mà trong 4 số tự nhiên liên tiếp có một bội số của 3, hai bội của 2, trong đó có một bội số của 4 Nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 ( với 3; 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau)

CÂU 5: (2điểm)

Bài 1: Ta có: 3 x2+x❑−2❑

x2− 1❑ = 0

Để phép chia không còn dư thì

– yz(x +z) (k +3) = 0 (với mọi x, y, z)

Xét P = 3k + 1 ( k z) ⇒ p2 + 8 = 9k2 + 6 k + 9 ⋮ 3 là hợp sốXét P = 3k + 2 ( k z) ⇒ p2 + 8 = 9k2 + 12 k + 12 ⋮ 3 là hợp sốXét P = 3k mà P là số nguyên tố ⇒ p2 + 8 = 17 là số nguyên tố Khi đó p2 + 2 = 11 là số nguyên tố

(3x – 1)4 = 54

⇔ 3x – 1 = 5 hoặc 3x – 1 = –5

x = 2 x = − 43Vậy x = 2 ; x = − 43

CÂU 16: (2điểm)

A D

Mà AM ngắn nhất khi AM BC tức là AM là đường cao ∆ ABC

Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC của ∆ ABC

b) Xét ∆ ABM vuông tại M có ABM = 600

⇒ ∆ ABM là nữa tam giác đều có cạnh AB

a) Gọi I, J lần lượt là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật DMFN và ABCD

⇒ các tam giác IND và JDC là các tam giác cân (t/c hai đường chéo hình chữ nhật)

⇒ EJ = IF và EJ // IF

⇒ Tứ giác EJIF là hình bình hành

Mặt khác ∆FBD có IJ là đường trung bình

Từ (1) và (2) ⇒ 3 điểm F, E, B thẳng hàng

Do EF = IJ ; IJ = EB = FB2 ⇒ EF = EB

⇒ E là trung điểm của BF

CÂU 18: (2điểm)

G

D C

+ Vì  AOB là tam giác đều (gt) ⇒ tam giác COD cũng là tam giác đều (có các góc tương ứng bằng nhau)

⇒ AC = BD ⇒ hình thang ABCD là hình thang cân

Nên AD = BC (t/c hình thang cân)

+ Trong  COD có: EF là đường trung bình

⇒ EF = AD2 = BC

2 (t/c đường trung bình) (1) + Vì  AOB là tam giác đều có BE là trung tuyến

⇒ BE cũng là đường cao ⇒ BE AC

Trong  BEC vuông tại E có EG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

⇒ EG = BC2 (t/c đường trung tuyến tam giác vuông) (2)

+ vì  COD là tam giác đều có CF là đường trung tuyến

⇒ CF cũng là đường cao ⇒ CF BD

Trong  CFB vuông tại F có FG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

⇒ FG = BC2 (t/c đường trung tuyến tam giác vuông) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ E F = EG = FG = BC2

Vậy  EFG là tam giác đều

CÂU 19: (2điểm)

C D

H

E O F

a) Ta có : MN là đường trung bình cùa  AHB

⇒ MN là đường cao thứ hai và có N là trực tâm

⇒ CN cũng là đường cao thứ ba của  BMC

I 1

H

N M 1

2 1

⇒  BIC vuụng tại I

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM KHấ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 CẤP HUYỆN

2 Gọi M là giao điểm của AH và BD Kẻ MP  DC, MQ  BC (P CD, Q 

BC) Xác định vị trí điểm M để tam giác APQ có diện tích nhỏ nhất.

Câu 5: (2 điểm)

Cho x, y, z > 0 thoả món x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

Đề chính thức

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM KHấ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 CẤP HUYỆN

- Thí sinh làm bài cách khác với Hớng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho

điểm tơng ứng với biểu điểm của Hớng dẫn chấm

- Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần làm tròn đến 0, 25 điểm.

II Đáp án và biểu điểm:

hơn phải bằng 1 Hay 3n - 5 = 1  n = 2. 1

Với n = 2 suy ra: A = 15n 2 - 16n - 15 = 15.2 2 - 16.2 -15 = 13 là số nguyờn tố 0.5

Do x = 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh nờn chia cả tử và mẫu của

mỗi phõn thức ở vế trỏi của phương trỡnh cho x ta được:

Cho hình vuông ABCD có cạnh a, điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh

BC sao cho EAF 45  0 Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ A đến EF Gọi G, I theo thứ tự là giao điểm của BD với AF, AE

1 Chứng minh rằng:

a ED = EH, FB = FH.

b BG 2 + DI 2 = GI 2

2 Gọi M là giao điểm của AH và BD Kẻ MP  DC, MQ  BC (P CD, Q 

BC) Xác định vị trí điểm M để tam giác APQ có diện tích nhỏ nhất.

2 1 1

2 1

1 1

2 3 4 5

b EA là tia phõn giỏc của gúc DEH nờn AD = AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của HD, tức là H đối xứng với D

qua AE Suy ra HI = DI và H = D = 45 1  1 0 (3)

- Theo giả thiết MQC C  PCM 900  Tứ giỏc MPCQ là hỡnh chữ nhật

- MBQ cú MQB 90 ,0 MBQ 450  MBQ vuụng cõn tại Q  MQ = QB

 PC + CQ = BQ + QC = BC = a

0.5

Vỡ MQ //AB; MP//AD nờn S AQM S MBQ; SAMP S DMP

APQ S AMQ S AMP S MPQ S MQB S DMP S MPQ S DPQB S BDC S PCQ