Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P... Vậy xảy ra trường hợp 2 trong ba số âm, tức là có đúng 1 trong ba số dương... CD AB 1 AD AD AD DM AM Chứng minh tương tự ON.
Trang 1PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2016 - 2017
Mụn: Toỏn
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 12 thỏng 4 năm 2017
2
2
.
x
P
−
a Rỳt gọn P.
b Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P.
c Chứng minh Q x 1
P
= < với x thoả món ĐKXĐ
Cõu 2 : (4.0 điểm)
a Tìm số d trong phép chia đa thức (x 1 x 2 x 3 x 4 101+ ) ( + ) ( + ) ( + ) +
cho đa thức x2 +5x 15+
b Cho M = 2x2 + 2y2 + 3xy - x - y + 2017 Tính giá trị của M biết
xy = 1 và x y+ đạt giá trị nhỏ nhất
Cõu 3: (4.0 điểm)
a Giải phương trỡnh sau: (x + 1) 2 (x + 2) + (x – 1) 2 (x – 2) = 12
b Cho ba số thực khỏc khụng x, y, z thỏa món:
+ +
<
+ +
=
z y x z y x
z y x
1 1 1
1
Chứng minh rằng: cú đỳng một trong ba số x,y, z lớn hơn 1
Cõu 4: (2.0 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Xỏc định điểm M trong tam giỏc
sao cho tổng cỏc bỡnh phương cỏc khoảng cỏch từ M đến ba cạnh của tam giỏc đạt giỏ trị nhỏ nhất
Cõu 5: (4.0 điểm) Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai đường chộo cắt nhau tại O
Đường thẳng qua O và song song với đỏy AB cắt cỏc cạnh bờn AD, BC theo thứ tự ở M
và N
a Chứng minh rằng
MN CD
AB
2 1
b Biết SAOB= 20162 (đơn vị diện tớch); SCOD= 20172 (đơn vị diện tớch) Tớnh SABCD
Cõu 6: (2.0 điểm) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
abc abc a
c abc c
b abc b
a
1 1
1 1
3 3 3
3 3
+ +
+ + +
+ + +
Hết
Họ tờn học sinh : ; Số bỏo danh:
Đề chớnh thức
(Đề gồm 01 trang )
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán
Câu1
4đ
a DKXD : x≠ 0, x≠ 1
( 2 )
2
2
.
x
P
−
2
.
P
+ + − ⇒ P x x= ( − − 1) (2x+ + 1) (2 x+ 1)
⇒ P x= 2 − +x 1 Vậy P x= 2 − +x 1 với x≠ 0, x≠ 1
1,5
b Do
2
1
với mọi x≠ 0,x≠ 1
Dấu “=” xảy ra khi x = 1
2 thoả mãn ĐKXĐ Tại x = 1
2 thì P = 3
4
Vậy P đạt GTNN bằng 3
4khi x = 1
2
1,25
c.Ta có 2
2
1
Q
2
1
x
x x
−
2
với mọi x)
Do x≠ 1 nên không xẩy ra dấu “ =” Vậy 2Q< ⇔ < 2 Q 1
1,25
Câu2
4đ
a) Ta có: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +101 = (x2+5x+4)
( x2+5x+6)+101
= (x2+5x+15-11)( x2+5x+15-9)+101
= (x2+5x+15)2-20(x2+5x+15)+101+99
= (x2+5x+15)2-20(x2+5x+15)+ 200
Do đó đa thức (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 101 chia cho đa thức
x2+5x+15
dư 200
0.5 0.5 0.5 0.5
b) Biến đổi M = 2x2 + 2y2 + 3xy – x – y +2017 = 2(x + y)2 -(x + y) - xy +2017
Ta có (x - y)2 ≥ 0 ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy
Mà xy = 1 nên (x + y)2 ≥ 4 ⇒ x y+ ≥ 2 nên Min x y+ = 2.
Khi x y+ = 2 ta có x + y = 2 hoặc x + y = -2
+ Thay x + y = 2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M = 2022
+ Thay x + y = -2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M = 2026
Vậy M = 2022 hoặc M = 2026
0.25 0.5
0.5 0.5 0.25
Trang 34đ
a) Ta có: (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12
⇔2x3 + 10x = 12 ⇔x3 + 5x – 6 = 0 ⇔(x3 – 1) + (5x – 5) = 0
⇔(x – 1)(x2 + x + 6) = 0
2
x = 1
x - 1 = 0
x 1
1 23
x + x + 6 = 0 x + 0
(Vì
2
1 23
Vậy x = 1
0.5 0.25
1.0
0.25đ b) Xét (x-1)(y-1)(z-1) = xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - 1
= (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz(1x+ 1y +1z) = (x + y + z) - (1 +1 +1) > 0
z y
x.y.z = 1 và x + y + z > 1 1 1x+ +y z )
Vì (x-1)(y-1)(z-1) > 0 nên 2 trong 3 số x -1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba số x-1 ,
y-1, z-1 là dương
Nếu trường hợp cả ba số đều dương xảy ra thì x, y, z >1 Suy ra x.y.z >1 Mâu
thuẫn GT x.y.z =1 Vậy xảy ra trường hợp 2 trong ba số âm, tức là có đúng 1
trong ba số dương
Do đó có đúng 1 trong ba số x, y , z là số lớn hơn 1
1.0
1.0
Câu4
2đ
M
C G
H B
E
F A
I
Kẻ đường cao AH, giả sử tìm được vị trí điểm M như hình vẽ
Từ M hạ ME, MF, MG, MI lần lượt vuông góc với AB, AC, BC, AH
Ta có: ME2 + MF2 + MG2 = AM2 + MG2
= AI2 + IM2 + MG2 ≥ AI2 + IH2 Dấu “=” xảy ra khi M thuộc AH (1)
Lại do AI2 + IH2 = (AH-IH)2 + IH2 = AH2 – 2HA.IH + 2IH2
= AH2 - (2HA.IH - 2IH2 ) = AH2 - 2IH.(HA - IH ) = AH2 – 2AI IH
Do AH không đổi nên ME2 + MF2 + MG2 nhỏ nhất khi AI IH lớn nhất
Mà AI + IH = AH không đổi nên AI IH lớn nhất khi AI = IH =
2
AH
(2)
Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của AH
0.5 0.5
0.5 0.5
Trang 44đ
N M
O
B A
a) Xét ∆ABDcó
AD
DM AB
OM = (1), xét ∆ADCcó
AD
AM DC
OM = (2)
Từ (1) và (2) ⇒ OM.(
CD AB
1
AD
AD AD
DM AM
Chứng minh tương tự ON.( 1 + 1 ) = 1
CD AB
Từ đó có (OM + ON).( 1 + 1 ) = 2
CD
MN CD AB
2 1
0.5 0.5 0.5 0.5 b) S S OD OB
AOD
AOB = ,
OD
OB S
S DOC
AOD
AOB S
S
DOC
BOC S
S
⇒ S AOB.S DOC =S BOC.S AOD
Dễ có SABD = SABC vì có chung cạnh đáy AB và chiều cao tương ứng
Chứng minh được S AOD =S BOC ⇒ S AOB.S DOC = (S AOD) 2
Thay số để có 20162.20172 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2016.2017
Do đó SABCD = SAOB +S AOD+S BOC+SCOD
= 20162 + 2016.2017 +2016.2017 + 20172
= 20162 + 2.2016.2017 + 20172 = (2016 + 2017)2 = 40332 (đơn vị diện tích)
0.5 0.5
1.0
Câu6
2đ
2
) )(
(
2
2 b ab a b a b ab a b a b ab a b
⇔a3 + +b3 abc ab a b≥ ( + + ) abc
a b abc ab a b abc a b c
Tương tự:
c b a
a abc
c b
abc
+ +
≤ +
c b a
b abc
a c
abc
+ +
≤ +
Cộng vế với vế các BĐT (1); (2); (3) suy ra
3 abc3 3 abc3 3 abc3 a b c 1
a b abc b c abc c a abc a b c
+ +
Suy ra
abc abc a
c abc c
b abc b
a
1 1
1 1
3 3 3
3 3
+ +
+ + +
+ + + (Điều phải chứng minh)
0.5
0.5
1.0
Chú ý: Nếu HS làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa