88 đề đáp án hsg toán 8 như xuân 2021

Rút gọn biểu thức A b Tìm các giá trị nguyên của xđể Anhận giá trị nguyên.. Đường thẳng qua Mvà song song với ABcắt ADvà BC lần lượt tại Evà F.. Đường thẳng qua Mvà song song với ADcắt A

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NHƯ XUÂN

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN TOÁN 8 Thời gian làm bài:120 phút Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

1

A

a) Tìm xđể gia trị của Ađược xác định Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị nguyên của xđể Anhận giá trị nguyên.

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x x3 2 72 36x

b) x42021x22020x2021

2 Tìm đa thức f x 

biết rằng f x 

chia cho x 2dư 10, f x 

chia cho x  2dư 24,

 

f x

chia cho x 2 4được thương là 5x và còn dư

Bài 3:(4,0 điểm)

1 Chứng minh rằng: A n 36n28n chia hết cho 48với nchẵn

2 Tìm các nghiệm nguyên dương x y; 

của phương trình 7x xy  3y0

Bài 4:(6,0 điểm)Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M trên BD sao cho MB MD Đường

thẳng qua Mvà song song với ABcắt ADvà BC lần lượt tại Evà F Đường thẳng qua

Mvà song song với ADcắt ABvà CDlần lượt tại Kvà H

3 Chứng minh: S MKAE S MHCF

Bài 5:(2,0 điểm)Cho a b c, , là ba số dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

2

a b c b c a c a b 

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

ĐÁP ÁN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

1

A

a) Tìm xđể gia trị của Ađược xác định Rút gọn biểu thức A

b)Tìm các giá trị nguyên của xđể Anhận giá trị nguyên.

Lời giải

a)ĐKXĐ: x2;x0

Ta có:

1

A

2

x

2 2

x



2 2

x



2

2 2

2

b) *)

1

1 2 2 2 2 2

x

x



      

, mà 2 2x x

2 2x 1 x x 1

*) Ta thấy x 1hoặc x 1 (TM ĐKXĐ)

Vậy

1

1 2

x

x



hoặc x 1

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x x3 2 72 36x

b)x42021x22020x2021

2 Tìm đa thức f x 

biết rằng f x 

chia cho x 2dư 10, f x 

chia cho x  2dư 24,

 

f x

chia cho x 2 4được thương là 5x và còn dư

Lời giải

1 a) Ta có: x x3 2 72 36x x x  3 7x 6 x3 7x6

 1  3  2  1  2  3

b) Ta có:x42021x22020x2021

x2 x 1 x2 2020 x 1

x2 x 1 x2 x 2021

2 Giả sử f x  2

4

x  được thương là 5x và còn dư là ax b Khi đó

   2 4  5 

f x  x   x ax b

Theo đề bài ta có:

 

 

2 24

2 10

f f







 



a b

a b

 



 

  



7 2 17

a b







 

 



2

f x  x  x

Bài 3:(4,0 điểm)

1 Chứng minh rằng: A n 36n28n chia hết cho 48với nchẵn

2 Tìm các nghiệm nguyên dương x y; 

của phương trình 7x xy  3y0

Lời giải

1. Ta có: A n 36n28n n n  26n8 n n 2 n4

Vì n là số chẵn nên đặt n2k k  ,

khi đó:

A k k k  k k k

Vì k k 1 k2 là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên:

- Tồn tại một số là bội của 2 nên k k 1 k2 2 nên A16

- Tồn tại một số là bội cuẩ 3 nên k k 1 k2 3

Vậy A chia hết cho 3, 16 mà 3,16 1 nên A3.16 48.

2. Ta có: 7x xy  3y 0 x3 7   y 21 * 

Vì x  * nên x  3 4

Từ  * suy ra



Hoặc



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là: x y;   4;4 ; x y;  18;6 

Bài 4:(6,0 điểm)Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm Mtrên BD sao cho MB MD Đường

thẳng qua M và song song với ABcắt ADvà BC lần lượt tại Evà F Đường thẳng qua

M và song song với ADcắt ABvà CDlần lượt tại Kvà H

1 Chứng minh KF EH//

2 Chứng minh: các đường thẳng EK HF BD, , đồng quy

3. Chứng minh: S MKAE S MHCF

Lời giải

P'

I

G

P

N Q

O

H

K F E

D

C M

1.

Chứng minh được:

MF BF BF

ME DE FC (hệ quả định lí Ta – lét )

Chứng minh được:

BK MB MF

AK MD ME (định lí Ta – lét )

BK BF

KF AC

Chứng minh tương tự ta có: EH AC//

Kết luận KF EH//

2. Gọi giao điểm của BD với KF và HE lần lượt là O và Q N. là giao điểm của AC

và BD.

OK QE

OF QH 

Gọi giao điểm của đường thẳng EK và HF là P, giao điểm của đường thẳng EK và

DB là P'

Chứng minh được P và P' trùng nhau.

Kết luận các đường thẳng EK HF BD, , đồng quy tại P.

3. Kẻ EG và FI vuông góc với HK I, và G thuộc HK

Chỉ ra được: S MKAE MK EG S. ; MHCF MH FI.

Chứng minh được:

MK KB

MH HD

Suy ra

MK MF

MH ME

Chứng minh được:

MF FI

ME EG

MK FI

MH EG suy ra MK EG MH FI 

Suy ra S MKAE S MHCF (đpcm)

Bài 5: (2,0 điểm)Cho a b c, , là ba số dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

2

a b c b c a c a b 

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: với a b c, ,   và x y z , , 0 ta có:

 

2

2 2 2

*

a b c

 

 

Dấu “=” xảy ra

a b c

x y z

Thật vậy, với a b  , và x y , 0 ta có:

 

2

2 2

**

a b

a b





a y b x x y2 2    xy a b 2

bx ay2 0

Dấu “=” xảy ra

a b

x y

Áp dụng BĐT **

ta có:

Dấu “=” xảy ra

a b c

x y z

a b c b c a c a b ab ac bc ab ac bc    

Áp dụng BĐT  *

ta có:

 

1 1 1

ab ac bc ab ac bc ab bc ca

a b c

 

  (vì abc 1)

Hay

1 1 1 1 2

ab ac bc ab ac bc a b c

Mà

1 1 1

3

a b c   (vì a b c , , 0) nên

3 2

ab ac bc ab ac bc     

2

a b c b c a c a b  (đpcm)

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =