De dap an HSG toan 8(cuc hay)

Trờng THCS Xuân lậpđề kiểm tra đội tuyển lớp 8 Bài kiểm tra số 1.. MN cắt CD tại Q.. Đờng thẳng qua N vuông góc với AD và đờng thẳng qua P vuông góc với BC cắt nhau tại E... MN cắt CD t

Trờng THCS Xuân lập

đề kiểm tra đội tuyển lớp 8

(Bài kiểm tra số 1.)

Câu 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a/ x3 – 9x2 +15x +25

b/ 3x3 +5x2 - 14x +4

Câu 2: a/ Cho a + b = 1 Tính giá trị của biểu thức M = 2(a3 + b3) - 3(a2 + b2) b/ Chứng minh rằng 24 2009 + 14 2009 chia het cho 19

c/ Tìm d trong phép chia sau : 2007 2008 cho 7

Câu 3:

a/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca

Chứng minh rằng a = b = c

b/ Tìm a & b biết : 2a2 - 2a + 2ab + b2 + 1 =0

Câu 4 : Cho hình thang ABCD ( AB//CD) Gọi M, N, P lần lợt là trung

điểm của AB, BD, AC MN cắt CD tại Q Đờng thẳng qua N

vuông góc với AD và đờng thẳng qua P vuông góc với BC cắt nhau tại E Chứng minh rằng :

a/ MN = NQ

b/ EC = ED

Câu 5 : a/ Tìm GTNN của A = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)

b/ Cho 4 số a,b,x,y thoả mãn ab = 1 & ax + by = 2

Chứng minh rằng : xy  1

Đáp án :

Câu 1(2đ): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a/ x3 – 9x2 +15x +25 = x3 +x2- 10x2 -10x +25x +25

= x2(x+1)- 10x(x+1) +25(x +1)

= (x+1)( x2 -10x +25) = (x+1)(x-5)2 1đ b/ 3x3 +5x2 - 14x +4 = 3x3 –x2 + 6x2 -2x - 12x + 4

= x2(3x-1) + 2x(3x-1) - 4(3x-1)

Câu 2: (2,5đ)

a/ Cho a + b = 1 Tính giá trị của biểu thức M = 2(a3 + b3) - 3(a2 + b2)

Ta có M = 2(a3 + b3) - 3(a2 + b2)

= 2[(a+b)3 -3ab(a+b)] – 3[(a+b)2 -2ab]

= 2(a+b)3 - 6ab(a+b) – 3(a+b)2 + 6ab

= 2 – 3 – 6ab(a+b -1) = - 1

1,0đ

b/ Chứng minh rằng 24 2009 + 14 2009

 19

Ta có 24 2009 + 14 2009 = (24 2009 – 52009) + (14 2009 + 52009)

= (24 – 5 )A + (14 + 5)B

= 19A + 19B  19

0,5đ

c/ Tìm d trong phép chia sau : 2007 2008 cho 7

Ta có 2007 2008 = (2007 2008 – 52008) + 52008 = 2002M + 52008

= BS7 + 52008

Mà 5  2(mod 7) ; 5 2  4(mod 7);

5 3  6(mod 7); 5 4  2(mod 7);

5 5  3(mod 7); 5 6  1(mod 7)

 5 2008  (5 ) 5 6 334 4  1.2(mod 7) Vậy số d là 2

1đ

Câu 3(1,5đ): a/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca Chứng minh rằng a = b =

c

Ta có 2( a2 + b2 + c2 ) = 2(ab + bc + ca)

(a – b)2 + ( b - c )2 + ( c – a )2 = 0 nên a = b = c

0,5đ

b/ Tìm a & b biết : 2a2 - 2a + 2ab + b2 + 1 =0

Ta có 2a2 - 2a + 2ab + b2 + 1 =0

(a2 +2ab + b2) + (a2 -2a + 1) = 0

(a + b)2 + (a – 1 )2 = 0 nên a = 1 và b = -1

1đ

Câu 4(2đ): Cho hình thanh ABCD ( AB CD) Gọi M, N, P lần lợt là trung

điểm của AB, BD, AC MN cắt CD tại Q Đờng thẳng qua N vuông góc

với AD và đờng thẳng qua P vuông góc với BC cắt nhau tại E Chứng

minh rằng : a/ MN = NQ

b/ EC = ED

N

1

a/ Xét tam giác BMN & NDQ có NB = ND (GT), Góc B1 = Góc D1 (sltr)

Góc N1 = Góc N2 (đđ)

 MBN QDN g c g(   )  MN = NQ

1đ

b/ - Cmtt  MAPSCP g c g(   )  MP = PS

- Gọi I là trung điểm của CD

 NP, PI , IN là đờng Tb của tam gíac MSQ, ACD , BCD

 NP CD PI AD NI BC ;  ; 

Mà NEAD PE; BC

 E là trực tâm của tam giác PIN

 EI vuông góc với CD

 EI là đờng trung trực của CD

 EC = ED

1đ

Câu 5(1đ) a/ Tìm GTNN của A = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)

= [(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)]

=(x2+5x-6)(x2+5x+6)

=(x2+5x)2 – 36  -36

Vậy GTNN của A = -36  x= 0 và x = -5

1đ

b/ Cho 4 số a,b,x,y thoả mãn ab = 1 & ax + by = 2

Chứng minh rằng : xy  1

Ta có ax + by = 2  ax + by -1 – 1 =0

 (ax – ab) + (by – ab) =0

 a(x – b) + b(y – a) = 0 1đ

C

E

I 2

V× ab = 1 nªn a & b > 0  a(x – b) + b(y – a) = 0  (x – b)(y – a)  0

 xy – (ax + by) + ab  0

 xy – 2 + 1  0  xy  1