7 de dap an HSG TOAN 8

Vậy H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác DEF nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF đpcm Gọi O là giao điểm của các đờng trung trực của hai đoạn MN và.. Hay trung trực của đoạ[r]

ĐỀ 1 Bài 1:( 3,5 điểm)

b)Tính giá trị của M khi |x| = 12

Bài 2:(3điểm)

a) Cho đa thức f(n) = n5 - 5n3 + 4n

Chứng minh rằng f(n)  120 với mọi giá trị của n N

b) Tìm cặp số (x,y) thoả mãn phương trình

Bài 4 (7 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là

điểm đối xứng của điểm C qua P

b)Tính giá trị của M khi |x| = 12

|x| = 12 ⇔ x = 12 hoặc x = - 12 (0,5 điểm)

2 = 32 (0,5 điểm)

Với x = - 12 ta có : M =

1 2+1

2 =

1 5

2 = 52 (0,5điểm)

Bài 2

a) Phân tích được f(n) = (n – 2)(n – 1)n(n +1)(n + 2) (0,5 điểm) Lập luận đúng f(n)  2.3.4.5 => f(n)  120 ( 1 điểm)b) Tách được

2x2 + y2 + 2xy – 2x + 2y + 5 = 0

(x + y +1)2 + (x – 2)2 = 0 (0,75 điểm)Lập luận

2 3

( 2 điểm )

Bài 4 Vẽ hình đúng đến câu a (0,5 điểm)

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD

Chỉ ra được PO là đường trung bình của ACM (0,5 điểm)

=> PO // MA

=> AMDB là hình thang ( 0,5 điểm)

b) Chứng minh được IEA OAB  (0,5 điểm)

=> EF // AC (0,5 điểm)

Chỉ ra IP // AC => E, F, P thẳng hàng (1 điểm)

c) Chứng minh MAF và BAD đồng dạng

=> tỉ số không đổi (1,5 điểm)

d) Nếu

9 16

P M

Bài 1:(4 điểm) Cho biểu thức M = [ x2

b.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất

Bài 2:(3 điểm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2

a Phõn tớch biểu thức A thành nhõn tử

b Chứng minh: Nếu a, b, c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc thỡ A < 0

c Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF

d Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN

Chứng minh đờng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định



 (x − 2+ 10− x2

=

6 2

+ Vậy x 2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dơng, nên M

muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 – x) phải là GTNN,

Mà (2 – x) là số nguyên dơng  2 – x = 1  x = 1

Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1

0,5 0,5 0,5 0,5

2 a A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc)

= (b c )2 a2 (b c )2 a2

= (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)

0,5 0,5 0,5

b Ta cú: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giỏc)

Tơng tự: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) <0 ; (b + c –a ) >0

Vậy A< 0

0,5 0,5 0,5

b Ta cú: (x + y + z)3= x3+ y3+ z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x)

kết hợp cỏc điều kiện đó cho ta cú: (x + y)(y + z)(z + x) = 0

 Một trong cỏc thừa số của tớch (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0

Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = 1  z = 1, lại kết

hợp với đ/k: x2+ y2+ z2= 1  x = y = 0

Vậy trong 3 số x,y,z phải cú 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1,

Nờn tổng S luụn cú giỏ trị bằng 1

0,5 0,5 0,5

 (x + 13)(x – 2) = 0  x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy nghiệm của phơng trình là: S =  13; 2

b + Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x2

+ 1) = (2y + 1)2+ Ta chứng minh (x + 1) và (x2+ 1) nguyên tố cùng nhau !

Vì nếu d = UCLN (x+1, x2+ 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ)



2

1 1

1 1

k x

k x

Vậy nghiệm của phơng trình là: (x;y) =(0;0), (0; 1)  

0,25

0,25

0,25 0,25

5

O

K I

N

M

E

H F

A

D B

S HBC

S ABC

Tơng tự có:

( ) ( )

HE S HCA

BE S ABC ;

( ) ( )

Trớc hết chứng minh: AEF  ABC  AEFABC

Và CDE CAB  CED CBA 

 AEF CED mà EBAC nên EB là phân giác của góc DEF

Tơng tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE

Vậy H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác DEF

nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)

0,5 0,5 0,5

d Gọi O là giao điểm của các đờng trung trực của hai đoạn MN và

HC, ta có OMH = ONC (c.c.c)  OHM OCN (1)

Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên:OHC OCH  (2)

Từ (1) và (2) ta có: OHC OHB   HO là phân giác của góc BHC

Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của góc

BHC nên O là điểm cố định

Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O

0,25 0,25 O,25 0,25

Chú ý:

+ Hớng dẫn chấm này có 3 trang, chấm theo thang điểm 20

+ Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn

+ Bài số 5 phải có hình vẽ đúng mới chấm

+ Mọi cách làm khác đúng cũng cho điểm tối đa tơng ứng với từng nội dung

của bài đó

ĐỀ 3 Bài 1 (4đ) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử :

a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2

b) x2 + 7x + 10

Bài 2 (4đ) Cho

2 2

Bài 4 (6đ) Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại

H Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắtnhau tại G

a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC

b) ∆ABC ~ ∆AEF

c) B ^ D F=C ^ D E

d) H cách đều các cạnh của tam giác DEF

Bài 5 (1đ) Cho ba số thực x, y và z sao cho x + y + z = 1 Chứng minh rằng

Bài 6 (1đ) Giải bất phương trình 2007− x < 2008

Bài 1b)

x2+7x+10 =x2+5x+2x+10

=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)

(1đ)(1đ)

Bài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) Điều kiện để A có nghĩa là

x ≠5và x ≠2

2 2

sông song nên nó là hình bình hành Do đó hai

đường chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm

của mỗi đường Vậy GH đi qua trung điểm M

của BC

(2đ)

4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác

ABE và ACF vuông Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên

Suy ra DH là tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH là tia

phân giác góc EFD Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam

Gợi ý đáp án Điểmgiác DEF Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF.

Trong từng phần, từng câu, nếu thí sinh làm cách khác nhưng vẫn cho kết quả đúng,

hợp logic thì vẫn cho điểm tối đa của phần, câu tương ứng

Đề 4 Bµi 1: 1) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a3 b3c33abc

1) Chøng minh r»ng EF // BC

2) Chøng minh r»ng K lµ trùc t©m cña AEF

3) TÝnh sè ®o cña BID

Bµi 5: Cho a, b, c, d, e > 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b + c + d + e = 4

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc



0

(1 đ)

Bài 4: (6 điểm) Vẽ hình không chính xác không cho điểm cả bài

1) (2 đ) Chứng minh đợc tứ giác AMDN

 NAF  ABN  NAF  NBA  AF  BN (0,5 đ)

Lập luận tơng tự có AE  CM Vậy K là trực tâm của AEF (0,5 đ) 3) (2 đ) K là trực tâm của AEF  AK  EF mà EF // BC  AK  BC

(0,5 đ)

Kết hợp với DM  AB  I là trực tâm của ABD

Vậy BID 180  0 BAD 180  0 450 1350 (1 đ)

Bài 5: (2 điểm)

x y    0 x  2xy y   4xy  x y   4xy

Dấu “=” xảy ra khi x = y

A

N

C D

B

M

E F K I

Do a, b, c, d, e > 0 nên các vế của các BĐT trên đều dơng Nhân từng vế củachúng và rút gọn ta đợc 16(a + b + c + d)(a + b + c)(a + b)  256abcde

Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh

AC Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại

D, cắt tia BA tại E

a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD ECB

b) Cho BMC 1200 và S AED 36cm2 Tớnh SEBC?

c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD +CM.CA có giá trị không đổi.

d) KẻDH BC HBC Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH,

DH Chứng minh CQPD

Bài 5 (2 điểm):

a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y+ y

x ≥ 2 (với x và y cùng dấu) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

I P

Q

H

E

D A

M

Câu a: 2 điểm

* Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm)

- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 điểm

* Chứng minh EAD ECB  (1 điểm)

- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) 0,75 điểm

Câu b: 1,5 điểm

- Từ BMC = 120o  AMB = 60o  ABM = 30o 0,5 điểm

- Xét EDB vuông tại D có B= 30o

 ED =

1

2 EB 

12

- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg)

- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 điểm

Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2

     P  1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2  x = y (1)

- Nếu x; y trỏi dấu thỡ

x 0

y và

y 0

x  t < 0  t – 1 < 0 và t – 2 < 0  t 2 t 1   

- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x  0 ; y  0 thỡ luụn cú P  1 Đẳng thức xảy ra khi

và chỉ khi x = y Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pmin= 1 (khi x = y)

Bài 5: (2 điểm)

- Gọi R(x) là đa thức dư trong phộp chia f(x) : (x – 2)(x2 – x + 1), khi đú ta cú:

f(x) = (x – 2).(x2 – x + 1).P(x) + R(x) (1)

- Vỡ đa thức chia (x – 2)(x2 – x + 1) là đa thức bậc 3 nờn đa thức dư R(x) cú bậc  2

- Từ (1)  dư trong phộp chia f(x) : (x – 2) chớnh là dư trong phộp chia R(x) : (x – 2),

mà R(x) là đa thức cú bậc  2, và f(x) : (x – 2) dư 4 (gt)  R(x) = (x – 2)(kx + p) + 4

- Lập luận tương tự trờn

ĐỀ 6 Bài 1: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:

1 x2 7x 6

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy

điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BEtheo m AB

2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC

đồng dạng Tính số đo của góc AHM

3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh:

BC AH HC

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bµi C©u Néi dung §iÓm

1.

2,0 1.1 (0,75 ®iÓm)

(tháa m·n ®iÒu kiÖn x 1).

VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ x 1.

0,50,52.2

0,250,50,25

BC  BC  AC (do BEC ADC)

mµ ADAH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)

nªn

BC  AC   AC AB BE (do ABH  CBA)

  135 0  45 0

BHM BEC  AHM 

0,50,50,5

4.3 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc

Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

a/ x7+x2+ 1 b/ (a+b +c)3− a3−b3− c3

Bµi 2 (2 ®iÓm)

1

AC=

1 AB

Bài 4 (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có đờng phân giác AD Hình vuông MNPH có

M AB, N AC, P và Q BC BN cắt MQ tại E, CM cắt NP tại F Chứng minhrằng:

a/ EN

EB =

AC AB b/ AE=AF

Cho tam giác ABC vuông tại A có đờng phân giác AD Hình vuông

MNPH có M AB, N AC, P và Q BC BN cắt MQ tại E, CM cắt NP tại

Giải: đặt x=a+1; y=b+2; z=c+3 suy ra x2+y2+z2 2010

Và A= (a-1)(b-2)+(b-2)(c-4)+(c-3)(a-3)= ab+bc+ca-5(a+b+c)+19

Suy ra: 2A+a2+b2+c2=(a+b+c)2-10(a+b+c)+38=(a+b+c-5)2+13 13

Suy ra: A 1/2(13- a2-b2-c2) 1/2(13-2010)= −1997

2