Toan 9 lam thao (20 21)

Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm là các số nguyên là Câu 8.. Giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất là A.. Hệ thức đúng trong các hệ thức dưới đâ

PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC HỌC 2020-2021

MÔN: Toán học

Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 03 trang)

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời đúng

0 20 14 2 20 14 2

x     là một nghiệm của phương trình nào dưới đây?

A x3  6x 40 0. B x3 15x 2 0. C.x3  3x2 15x 2 0 D.x3  3x2  x 2 0.

2 1 1 2 1 1

Giá trị của biểu thứcAx4  x3  x2 2x 32021

A 21009 B – 1 C 0 D 1

Câu 3 Cho biểu thức

2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2021 2020 2020 2021

Giá trị của biểu thức M là

A 2020 1

2020



B 2020

2020 1 C 2021 1

2021

 D 2021

2021 1

Câu 4 Cho đường thẳng ( ) : d y4mx–m5 (m  ) và 0 ( ) : = 3d' y  m2 1 xm2  4  Đường thẳng ( )d và ( )d lần lượt đi qua điểm A và điểm B cố định Khoảng cách giữa hai '

điểm ,A B là

A 113

113

113

113

2 .

Câu 5 Cho đường thẳng  d :ym 1x2021. Giá trị của m để góc tạo bởi đường thẳng

( )d với trục Ox bằng 45 là0

Câu 6 Cho A  2;4và B2;2  Tọa độ của điểm M thuộc đường thẳng

3

y x sao cho

MA MB nhỏ nhất là

A (0; 3) B 1;2  C (1; 4) D 3;0 

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 7 Cho hệ phương trình

  





   

 Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để

hệ phương trình đã cho có nghiệm là các số nguyên là

Câu 8 Hệ phương trình

1 3 7

  





  



   



có nghiệm x y z ; ; 

Giá trị của biểu thức Ax1 2 y1 2 z12là

Câu 9 Cho hệ phương trình 2 2

x y m

x m y

 





 Giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất là

A m  2 B m  0 C m  1 D m  1

Câu 10 Cho tam giác ABC có AB14cm; AC35cm, đường phân giác AD bằng 12 cm

Diện tích của tam giác ADC là

A 210 cm2 B 245 cm2 C 184 cm2 D 168 cm2

Câu 11 Cho  là góc nhọn Giá trị của biểu thức S  sin4 4cos2  cos4 4sin2 là

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 12 Tam giác ABC có  A 600, AD là đường phân giác trong Hệ thức đúng trong các

hệ thức dưới đây là

A 2 1 1

AD AB AC B

AD AB AC C

AD AB AC. D

AD AB AC.

Câu 13 Cho đường tròn O R Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn cắt đường tròn tại hai;2 

điểm A và B Diện tích tam giác AOB đạt giá trị lớn nhất bằng

A

2

4

3

R

B 2

2R C R D 2 4R 2

Câu 14 Cho đường tròn  O đường kính AB12cm. Một đường thẳng đi qua A cắt  O ở

M và cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở N Gọi I là trung điểm của MN biết

13

AI  cm Độ dài của AM là

A 8cm B 12cm C 16cm D.18cm

Câu 15 Cho đường tròn O;29cm Điểm M cố định và  OM 21 cm Số dây cung đi qua

M của đường tròn  O có độ dài là một số tự nhiên là

A 18 B 36 C 19 D 38.

Câu 16 Số bàn thắng ghi được trong mỗi trận đấu (không tính loạt sút luân lưu) của một giải

bóng đá được ghi lại trong bảng sau:

Số bàn thắng 0 1 2 3 4 5

Hỏi trong giải đấu đó có thể có nhiều nhất bao nhiêu trận đấu kết thúc với tỉ số hòa (trong 90 phút thi đấu chính thức)?

II Phần tự luận (12 điểm)

Câu 1(3 điểm)

a) Tìm các cặp số tự nhiên ,x y sao cho 1

1















b) Cho các số a, b thỏa mãn 2a2 11ab 3b2 0,b2 ,a b2a Tính giá trị biểu thức

2 2 3

T

Câu 2 (3,5 điểm).

a) Giải phương trình sau: 5 4 x 3 x7 3

b) Giải hệ phương trình sau:

3 1 2 ( 1) 4 2 1 ( ) 3 3





  



Câu 3 (4điểm) Cho đường tròn ( ; )O R và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn Bên ngoài tam giác ABC dựng các hình vuông

ABDE , ACFG và hình bình hành AEKG

a) Chứng minh rằng AK BC và AK BC

b) DC cắt BF tại M Chứng minh rằng , , A K M thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên cung lớn BC của ( ; ) O R thì K luôn thuộc một

cung tròn cố định

Câu 4 (1,5điểm) Cho các số dương ,x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

23 23 (2 )(4 2 ) 3( 8 )

(2 ) 1 1 ( 2 ) 1 1

P

x y



Hết

Họ và tên thí sinh: SBD:

Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS

NĂM HỌC: 2020-2021 MÔN:TOÁN

(Hướng dẫn chấm có: 04 trang)

A Một số chú ý khi chấm bài.

Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải Thí sinh giải cách khác

mà đúng thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.

B Đáp án và thang điểm.

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1(3,0 điểm)

a) Tìm các cặp số tự nhiên ,x y sao cho 1

1















b) Cho các số a, b thỏa mãn 2a2 11ab 3b2 0,b2 ,a b2a Tính giá trị biểu thức

2 2 3

T

a) Vì y 1 x nên y  1 x y x 1(1)

x 1 y nên x 1 y(2)

Từ (1) và (2) suy ra x 1  y x 1

0,5

 Xét y = x – 1 Ta có x1x 1 2x 1 x 1 1;2  x2; 3

+ Nếu x = 2 thì y = 1

+ Nếu x = 3 thì y = 2

0,25

 Xét y = x Ta có x1x 1x x 1 y1 0,25

 Xét y = x + 1 Ta có x2x 2x x1; 2

+ Nếu x = 1 thì y = 2

+ Nếu x = 2 thì y = 3

0,25

Vậy x y ;  1;1 ,(1;2),(2;3),(3;2),(2;1) 0,25 b)

2 2 3 6 11

T

0,5

Từ giả thiết 2a2 11ab 3b2   0 11ab 2a2  3b2 0,5 Thay vào biểu thức T ta được

2

T

0,5

Câu 2 (3,5 điểm).

a) Giải phương trình sau: 5 4 x 3 x7 3

b) Giải hệ phương trình sau:

3 1 2 ( 1) 4 2 1 ( ) 3 3





  



a) ĐK : 5

4

x 

Đặt 5 4 x a a( 0); 3 x7 b

0,25 Khi đó ta có hệ phương trình

3

4 33

a b

 







0,25

Từ a + b = 3 suy ra a = 3 – b, thế vào phương trình thứ 2 ta được

3 b2 4b3 33 4b3b2  6b 24 0 0,25 Biến đổi đưa pt về dạng (b – 2)(4b2 + 9b +12) = 0 0,25 Chỉ ra được b = 2 còn phương trình 4b2 + 9b +12= 0: vô nghiệm 0,25 Với b = 2 ta có 3 x7 2  x  7 8 x1

So với điều kiện ta có x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình 0,25 b)

3 1 2 ( 1) 4 2 1 (1)

( ) 3 3 (2)





  



ĐK : x2 2y 1 0 Khi đó

0,25

 1  4y2  4y x2 2y 1 x2 2y 1 x2  2xy y 2

2y x2 2y12 (x y )2

2

2

2 1 3

2 1

    





    



0,5

 Với

2

2 2

2 1 3

, ( ) 3 3

3 51

3 3

 

    

  



0,5

 Với

2

2 2

2 1

( ) 3 3

3 21

3 3

 

    

  



0,5

So với điều kiện, nghiệm của hệ phương trình là 1;1 , 415 17;

51 3

0,25

Câu 3 (4,0 điểm) Cho đường tròn ( ; )O R và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn Bên ngoài tam giác ABC dựng các hình

vuông ABDE , ACFG và hình bình hành AEKG

a) Chứng minh rằng AK BC và AK BC

b) DC cắt BF tại M Chứng minh rằng A, K, M thẳng hàng

c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên cung lớn BC của ( ; ) O R thì K luôn thuộc

một cung tròn cố định

a) Ta có KEA EAG 180 ,0 BAC EAG 1800  KEA BAC  0,5 Chứng minh được KEACAB c g c(   )

Suy ra KA = BC và EAK ABC

0,5

Giả sử KA cắt BC tại H Ta có

   180 ,0  900   900

KAE EAB BAH   do EAB  KAE BAH 

Mà EAK ABC suy ra ABC BAH 900  AHB900 hay AK BC

0,5

b) Ta có KAB KAE 90 ;0 DBCABC900mà KAE ABC (theo a) suy ra

KAB DBC

Từ đó chứng minh được KABCBD c g c(   )

0,5

AKB BCD

Mà AKB KBH 900  BCD KBH  900 KBCD

Tương tự ta cũng chứng minh được BF KC

0,5

KBC

 có hai đường cao cắt nhau tại M, suy ra M là trực tâm  M KH

Vậy 3 điểm A, K, M thẳng hàng

0,5

c) Dựng hình vuông BB’C’C như hình vẽ

Chỉ ra được tứ giác KABB’, KACC’ là các hình bình hành

suy ra KB’ = AB ; KC’ = AC

0,5

Từ đó chứng minh được KB C' 'ABC c c c(   ) B KC ' 'BAC  không đổi

0,5 Quỹ tích điểm K là cung tròn chứa góc (không đổi) dựng trên đoạn ' 'B C cố định

Câu 4 (1,5 điểm) Cho các số dương ,x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

23 23 (2 )(4 2 ) 3( 8 )

(2 ) 1 1 ( 2 ) 1 1

P

x y



Đặt 2x + y = a ; x + 2y = b với a, b > 0

0,25

4

ab P

a b



Ta có

3

1 ( 1)( 1)

2

a

    



Tương tự :

2

2

b

b   

0,25

Mặt khác 4 1 1 8 2 2

 

     

0,25 Vậy

P

                  

0,25

3

2 3 2 1

P

2 2

3

2 2

4

ab

a b

a a



   





   





          





 









0,25