Toan 9 lâm thao (21 22)

Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ tới đường thẳng d là A.. Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt DC tại N.. Cho khối gỗ hình lập phương

PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN THI: TOÁN HỌC

Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề

(Đề thi gồm 03 trang)

I TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm ): Hãy chọn phương án trả lời đúng

Câu 1 Biểu thức 2x 1

x (x 3)



 có nghĩa khi nào?

A. 3 x 1   và x 0 

C.x   3 hoặc x 1

B.x  3 hoặc x 1

D. 3 x 1   và x 0 

A 2022 1

2

Q  B Q  2021 1

C 2022 1

2

Q  D 2022 1

2

Câu 3 Cho hàm số y x +4x 42   x2 6x 9 , y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

A  2 x 3   B x 3  C.x2 D.x2hoặcx 3 

Câu 4 Cho 3 1 34 15.

4 15

 Giá trị của biểu thức x26  3x24  8x23 x3 3x2021 bằng

Câu 5 Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A1; 2 ,  B3; 4 và C5; 4  Điểm G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó độ dài OG bằng

Câu 6 Cho ba đường thẳng (d ) : y x m; (d ) : x 2y 2;1   2   (d ) : x y m 23    Giá trị của m

để 3 đường thẳng trên đồng quy là

A.m 10

3

3



 C.m  5 D.m 5

Câu 7 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình

 1 2 5

y m x m Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ tới đường thẳng (d) là

A 13 B 14 C 2 3 D 3 2

Câu 8 Góc nhọn tạo bởi đường thẳng 1 1

2 2

 

y x và đường thẳng 3 3

4

 

y x làm tròn đến phút là

A 63 260 / B 63 270 / C 630 D 640

Câu 9 Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và

cắt DC tại N Biết AM=3, MN=1 khi đó giá trị của a bằng

A.5 B.144

25 C. 25

144 D.12

5

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH = 8, trung tuyến AM = 10 E, F thứ tự

là hình chiếu của H trên AB, AC Giá trị của tích HE HF là

A.64

5 B 128

5 C 81 D 32

ĐỀ CHÍNH THỨC

Cõu 11 Cho  là gúc nhọn Giỏ trị của biểu thứcS  sin4 4cos2  cos4 4sin2 là

A 1 B 2 C 3 D 4

Cõu 12 Cho đường trũn (O;17cm) Điểm M cố định và OM = 15cm Số dõy cung đi qua M

của đường trũn (O;17cm) cú độ dài là một số tự nhiờn là

A 18 B 34 C 36 D 38

Cõu 13 Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A và nội tiờ́p đường trũn tõm O bỏn kớnh R, gọi r là

bỏn kớnh đường trũn nội tiờ́p tam giỏc ABC Khi đú tỉ số

r

R

bằng

A

2

2

2  B 1 + 2 C

2

2 1 D

2

1

2 

Cõu 14 Cho khối gỗ hình lập phương cạnh a Tại mỗi đỉnh hình lập phương, người ta cắt bỏ

phần gỗ theo mặt phẳng đi qua trung điểm ba cạnh xuất phỏt từ đỉnh đú Biểu thức biểu diễn diện tớch toàn phần khối gỗ cũn lại theo a (sau khi bỏ 8 miờ́ng gỗ hình chop đều) là

A a24 3 B a23 3 C a22 3 D 2  

2 a 2 3

Cõu 15 Trong hộp cú 100 viờn bi, bao gồm 26 viờn màu xanh, 32 viờn màu đỏ, 27 viờn màu

vàng, 15 viờn cũn lại là bi màu nõu và tớm Lấy ngẫu nhiờn một số bi trong hộp Phải lấy ớt nhất bao nhiờu viờn bi để trong đú chắc chắn cú 8 viờn bi màu đỏ?

A 76 B 78 C 68 D 100

Cõu 16 Người ta làm một chiờ́c hũm bằng tụn hình hộp chữ nhật thể tớch là 8 3

3m cú cả nắp Biờ́t chiều dài bằng hai lần chiều rộng (coi mối ghép và độ dày tấm tụn khụng đỏng kể)

Để tốn ớt vật liệu nhất thì chiều rộng của chiờ́c hũm cú kớch thước là

A 0,5m

B 2

3m C 1,0m D 3

2m

II TỰ LUẬN( 12 điểm)

Cõu 1 (3,0 điểm).

a) Cho x y, , ,x y0 thoả mãn đẳng thức

2

y  x  Chứng minh rằng 1 xy là một số hữu tỉ

b) Cho ba số nguyờn dương , ,a b c thỏa món a3b3c3 chia hờ́t cho 14

Chứng minh rằng tớch abc cũng chia hờ́t cho 14.

Cõu 2 (3,5 điểm).

a) Giải phương trình nghiệm nguyờn x4 2x3 2x2   x 1 y2

b) Giải phương trình 3x2 10x29 5 x3 9x28

Cõu 3 (4 điểm ).

1 Cho đường trũn  O R ;  và dõy cung AB cố định  AB  2 R  Điểm M di động trờn tia đối tia AB qua M kẻ hai tiờ́p tuyờ́n MC MD; với  O R ;  Gọi Hlà trực tõm tam giỏc MCD

2 Cho đường tròn  O R ;  đường kính AB, C thuộc cung AB, kẻ dây CD vuông góc với

AB tại H Tìm vị trí điểm C để diện tích tam giác ACD lớn nhất , tìm giá trị lớn nhất đó theo R

Câu 4 (1,5 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của a b 1 c2 b c 1 a2 a c 1 b2

P

-

Hờ́t -KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2021 - 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN LỚP 9 (Hướng dẫn chấm thi gồm 6 trang)

A Một số chú ý khi chấm bài

 Hướng dẫn chấm thi dưới đõy dựa vào lời giải sơ lược của một cỏch, khi chấm thi giỏm khảo cần bỏm sỏt yờu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiờ́t, hợp logic và cú thể chia nhỏ đờ́n 0,25 điểm

 Thớ sinh làm bài cỏch khỏc với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm

 Điểm bài thi là tổng cỏc điểm thành phần khụng làm trũn số

B.HƯỚNG DẪN CHẤM

I.PHẦN TRẮC NGHIấM KHÁCH QUAN( 8 điểm) Mỗi cõu đúng 0,5 điểm

II.PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm )

Cõu 1 (3,0 điểm):

a)Cho x y, , ,x y 0 thoả mãn đẳng thức

2

y  x  Chứng minh rằng 1 xy là một số hữu tỉ

b)Cho ba số nguyờn dương , ,a b c thỏa món a3b3c3 chia hờ́t cho 14

Chứng minh rằng tớch abc cũng chia hờ́t cho 14.

a) (1,5 điểm)

Ta cú

2 2

0,25 0,5

4

           

2 2 1

1

2

xy

Xét số nguyên n, ta cón 3 0;1;6(mod 7) 0,5 Từ chứng minh trên ta có một số nguyên dương mũ 3 chia cho 7 dư 0 hoặc 1 hoặc 6

Mà a3b3c3chia hết cho 7 nên ít nhất phải có 1 số chia hết cho 7 suy ra abc chia hết

cho 7

0,5

Mà a3b3c3chia hết cho 14 suy ra tổng chẵn nên trong ba số , , a b c có ít nhất 1 số

chẵn nên tích abc chia hết cho 2 mà 2;7 1 Vậy tích abc chia hết cho 14 0,5

Câu 2 (3,5 điểm):

a) Giải phương trình nghiệm nguyên x42x32x2   x 1 y2

b) Giải phương trình 3x210x29 5 x3 9x28

a) (1,75 điểm)

Ta có

4 2 3 2 2 1 4 2 3 2 2 1 ( 2 )2 ( 2 1) ( 2 )2

x  x  x   x x  x x x   x x x  x  x  x x (1)

Vì

2

x  x x   

0,5

Mặt khác:

x  x  x   x x  x x x   x x  x x  x  x

4 2 3 5 2 4 4 ( 2 2)2

        (2)

0.5

Từ (1) (2) Do x4 2x32x2   x 1 y2 là số chính phương nên

4 2 3 2 2 1 ( 2 1)2 4 2 3 2 2 1 4 2 3 3 2 2 1

x  x  x   x x  x  x  x  x   x x  x  x  x

0

1

x

x





     

 Vậy phương trình có 4 nghiệm x y  ;    1;1 ; 1; 1 ; 0;1 ; 0; 1         

0.5

0,25

b) (1,75 điểm)

3x  10x29 5 x  9x28  2 x4  5 x4 x  4x7 3 x  4x7 0

Đặt x4a x; 2 4x7 b a;( 0;b0)

Ta có 2 2 5 3 2 0   2 3  0

a b







0,5

Với

2

2

2

4

5 13

2

x

x x

x

























0,5

2

Vậy 5 13

2

S   

0,5

Câu 3 ( 4 điểm)

1 Cho đường tròn  O R ;  và dây cung AB cố định  AB  2 R  Điểm M di động trên tia đối tia

AB qua M kẻ hai tiếp tuyến MC MD ; với  O R ; .Gọi H là trực tâm tam giác MCD

a) Tìm vị trí M thuộc tia đối tia AB để H thuộc  O R ; 

b) Chứng minh CD luôn đi qua điểm cố định

c) Gọi điểm cố định là N chứng minh NB là tiếp tuyến của  O R ; .

2 Cho đường tròn  O R ; đường kính AB , C thuộc cung AB kẻ dây CD vuông góc với AB

tại H Tìm vị trí C để diên tích tam giác ACD lớn nhất , tìm giá trị lớn nhất đó theo R

O I

K

D

N

H

B M

C

a)(1,5 điểm) Ta có DH / / OC ( cùng vuông góc MC ;CH / / OD ( cùng vuông góc

MD) suy ra tứ giác CHDO là hình bình hành có OC OD R   Nên CHDO là hình

thoi

Tam giácMCD cân tại M có MO là phân giác suy ra MO vuông góc CD , mà MH

vuông góc DC, gọi MO cắt CD tại I, suy ra M H I O , , , thẳng hàng

giả sử M thuộc  O R ;  ta có tam giác OCH đều suy ra

     xét tam giác vuông MCO có

60 ; 90

60

OC

OC OM Cos OM

Cos

Vậy M là giao  O R ;2  và tia BA thì H thuộc  O R ; 

( Nếu không chứng minh thẳng hàng trừ 0,25 điểm)

0,5

0,5 0,5

b) (1,0 điểm) Kẻ OK  AB ;(K  AB ); OKcắt CD tại N

OKM

 đồng dạng với  OIN g g ( )  OI OM OK ON  (1)

áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông MCO đường cao CI ta có

2 2

2 2

OK ON R ON

OK

   không đổi tia ON cố định suy CD luôn đi qua điểm N cố định

0,5

0,5

c) (0,5 điểm) Theo phần b

Suy ra OBN đồng dạng với OKB c g c( ) suy ra OBN OKB 900 0,5

Nên NB OB B  ;   O R ;  suy ra NB là tiếp tuyến của  O R ; .

2 (1,0 điểm)

D

C

B A

Đặt:AH  x BH 2R x ,(0x2 )R

Ta có  ACB vuông tại C đường cao CH

 

   

2

3

2

1

2 1

3

(6 3 )

ACD

ACD

ACD

ACD

0.5

0,5

Câu 4 (1,5 điểm): Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của a b 1 c2 b c 1 a2 a c 1 b2

P

a b 1 c2 a b c2 ab bc ca a b a c b c  

M

Áp dụng BĐT Bunhia cho dãy 1 : a ; c dãy 2: b ; c

Ta có a c b c      ab c 2  a c b c      ab c suy ra



Tương tự  b c  1 a2

a

,(2);

bc

b c c

   a c 1 b2

b

,(3)

ac

a c b

  

Từ (1);(2),(3) ta có P 2ab 2bc 2ac 2(a b c)

0,5

Ta có ab bc 2 ab bc 2 ;b ac bc 2 ac bc 2 ;c ab ac 2 ab ac 2a

Suy ra P 2ab 2bc 2ac 2(a b c) 4a b c

0,25

Ta lại có

a b c ab bc ca   a b c   ab bc ca    a b c  

Nên P4(a b c  ) 4 3

Min

1

3

a b c ab bc ca

a b c









  



0.5

HẾT

Họ và tên thí sinh : Số báo danh