Toan 9 lam thao (19 20)

Người ta cắt một miếng có hình chữ nhật từ tấm tôn đó sao cho một cạnh của hình chữ nhật đó nằm dọc trên đường kính của đường tròn... Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d c

PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao

đề

Đề thi có 03 trang

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Câu 1: Cho a 5 17 4 9 4 5  Tính giá trị biểu thức: Pa4  3a23a20

Câu 2: x0 38 5 16 316 8 5 là nghiệm của phương trình nào dưới đây:

A x2 3x 4  0 B x2 4x 4  0

C x2 3x 2  0 D x2 8x 15  0

Câu 3: Nếu a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c   11 6  a 2 4  b 1 2  c thì

 

a b c bằng:

Câu 4: Biết rằng đường thẳng d : y (7 m)x 3m 17    luôn đi qua điểm cố định E Độ dài đoạn OE bằng:

Câu 5: Biết rằng hai đường thẳng y mx n 2, y (5 m)x 4 n        trùng nhau

Giá trị của biểu thức S 6m n  là:

d yx d y x  d y  k  k  x Số các giá trị của tham số k để ba đường thẳng đó đồng quy là:

Câu 7: Giả sử x a y b



 là nghiệm của hệ phương trình 2 3 3 3 3

x y





 

Giá trị của biểu thức P a 2b2là:

A P 9 B P 7 C P 3 D P 6

Câu 8: Giá trị của tham số m sao cho hai hệ phương trình x y x my 13

 và 22x x y3y48



tương đương với nhau là:

Câu 9: Hệ phương trình x y 3

x my 2 m

    có nghiệm duy nhất thỏa mãn 3x 5y 7  thì m bằng

A 0 B 1 C 2

D 3 Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A

xuống cạnh BC Biết AH = 12cm, 1

3

HB

HC = Độ dài đoạn BC là

A.6 cm B.8 cm C.4 3 cm D.12 cm

Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và đường trung tuyến AM (

,

H MBC) Biết chu vi của tam giác là 72 cm và AM AH 7 cm Tính diện tích S của tam giác ABC

A S 48 cm2 B S 108 cm2 C S 148 cm2 D S 144

cm2

Câu 12: Cho ABC cân tại A, BAC 120 , BC 12 cm Tính độ dài đường cao AH.

A AH 3 cm B AH 2 3 cm. C AH 4 3 cm. D AH 6 cm

Câu 13 Cho tam giác ABC, đường cao AH có AB = 4cm, AC = 3cm và BC = 5cm Gọi r, r1,

r2 lần lượt là bán kính của đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH Tổng r + r + r1 2

bằng:

Câu 14 Cho tam giác ABC có AB = AC = 40cm, BC = 48cm thì bán kính của đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC bằng:

Câu 15 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = 8cm, AC = 15cm, đường cao

AH = 5cm (H thuộc BC) Bán kính R của đường tròn bằng:

A 8cm B 10cm C 12cm D 14cm

Câu 16 Một tấm tôn có dạng một nửa đường tròn có bán kính là 1m Người ta cắt một miếng có hình chữ nhật từ tấm tôn đó sao cho một cạnh của hình chữ nhật đó nằm dọc trên đường kính của đường tròn Diện tích lớn nhất của miếng tôn có thể cắt được là:

A.0,8m2 B 1m2 C 1,6m2 D 2m2

B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng n55n3 6n chia hết cho 30 với mọi số nguyên dương n

b) Tìm x, y nguyên dương để 



2 2

2 2

x y P

x y là một số nguyên tố.

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình: x22x 2x x 3 9    x 3

b) Giải hệ phương trình :     



xy x y x 2y

x 2y y x 1 2x 2y

Câu 3 (4,0 điểm)

1 Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d

của nửa đường tròn Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d Gọi H

là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng:

a) AC là tia phân giác của BAE

b) CH2AE BF

2 Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB Vẽ về một phía của AB các hình vuông

AMCD BMEF Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh rằng:

a) Ba điểm , ,D H F thẳng hàng.

b) Đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng

AB cố định

Câu 5 (1,5 điểm): Cho a; b;c là ba số thực dương thoả mãn a2 b2  c2  3

Chứng minh rằng         

3 6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a

-Hết LÂM THA0 2019-2020 HƯỚNG DẪN CHẤM

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng n 5  5n 3  6n chia hết cho 30 với mọi số nguyên dương n

Đặt A  n 5  5n 3  6n khi đó ta có

2

A n 5n 6n n n 1 n 1 n 6 n n 1 n 1 n 4 10

n n 1 n 1 n 4 10n n 1 n 1

n 2 n 1 n n 1 n 2 10 n 1 n n 1

Do n 2 n 1 n n 1 n 2            là tích của năm số tự nhiên liên tiếp nên tích này chia

hết cho cả 2, 3, 5 Mà 2, 3, 5 nguyên tố cùng nhau theo từng đôi 1 nên

n 2 n 1 n n 1 n 2            chia hết cho 30

0,5

Mặt khác ta lại có n 1 n n 1      chia hết cho 2, 3 nên chia hết cho 6 Do đó

10 n 1 n n 1   chia hết cho 30.Vậy A chia hết cho 30 hay n 5  5n 3  6n chia hết

cho 30

0,5

b) Tìm x, y nguyên dương để

2 2

x y P

x y



Giả sử x;y là cặp số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán

Khi đó ta có P x 2  y 2  x y 2 2 Suy ra Px 2  py 2  x y 2 2  x y 2 2  P  Py 2

Từ đó ta suy ra Py x 2  2, mà P là số nguyên tố nên y x 2  2 hay y x 

Lập luận tương tự ta cũng được x y 

0,5

Từ đó suy ra xy, thay vào đẳng thức trên ta được

4

2

x

x x

0,5

Do P là số nguyên tố nên P  2, duy ra x y 2  

Vậy x;y   2;2 là cặp số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán

0,5

Câu 2 (3,5 điểm)

a (2,0 điểm).Giải phương trình x2 2x 2x x 3 9     x 3 

Điều kiện xác định của phương trình là x  3 0,25 Biến đổi tương đương phương trình ta được

2

x 2x 2x x 3 9 x 3 x 2x x 3 x 3 x x 3 12 0

1,0

        

        

Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm của phương trình là S  1

0,75

b.(1,5 điểm).Giải hệ phương trình

xy x y x 2y

x 2y y x 1 2x 2y

    







Điều kiện xác định của hệ phương trình là x 1;y 0   0,25 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

xy x y x     2y  x y x 2y 1      0 x 2y 1  

0,5 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

2y 1 2y y 2y     2 2y 1    2y  2y 1 2y y 2y     2y 2  0,25 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được 0,5

Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm của hệ phương trình là

x; y  5;2

Câu 3 (4,0 điểm)

1 Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d

của nửa đường tròn Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d Gọi H

là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng:

a) AC là tia phân giác của BAE

b) CH2AE BF

2 Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh rằng:

a) Ba điểm D, H, F thẳng hàng;

b) Đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB

cố định

1.( 2,5 điểm)

H

F

E

A

C

a) (1,25điểm)

OAC

/ /

b) (1,25 điểm)

 có đường trung tuyến CO ứng với cạnh AB bằng nửa cạnh AB nên

ABC

Áp dụng hệ thức lượng vào ABC vuông tại A ta có CH2 AH BH

hay CH2AE BF

0,5

2.( 1,5 điểm) * Vẽ hình:

O

I'

H I

F E

a) (1,0 điểm) Xét CAB có CM AB , BEACsuy ra AEBC

Gọi O là giao điểm AC và DM 

2

AC

2

DM

MHD

b) (0,5 điểm) Gọi I là giao điểm của DF và AC , DMF có DO OM  , OI/ /MF

Kẻ II’  AB thì ’ là trung điểm của AB và

’

2

Do đó I là điểm cố định: I nằm trên đường trung trực của AB và cách AB một khoảng

bằng

2

AB

0,25

Câu 5 (1,5 điểm)

Cho a; b;c là ba số thực dương thoả mãn a2 b2  c2  3

Chứng minh rằng         

3 6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a

Ta có 6a28ab 11b 2 2a 3b 22 a b  2 2a 3b 2, dấu bằng xẩy ra khi



a b

Suy ra 6a28ab 11b 2 2a 3b > 0 mà a2  3ab b  2  0 với a; b 0 

Do đó ta được     



a 3ab b a 3ab b

2a 3b

0,5

Ta đi chứng minh    



Thật vậy



2

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a  b Do đó    

a 3ab b 3a 2b

5 6a 8ab 11b

0,5