Toan 9 ha hoa (20 21)

3 Câu 14: Cho hình chữ nhật ABCDvới hai đường tròn như hình vẽ.. Câu 15: Cho ABC đều ngoại tiếp đường tròn tâm O.. Gọi Clà một điểm di động trên  O sao cho C khácA B, và C không nằ

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 03 trang)

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ( 16 Câu; 8,0 điểm)

Thí sinh lựa chọn 1 phương án trả lời đúng và ghi vào tờ giấy thi

Câu 1: Cho a thỏa mãn a42  a 42 4 khi đó a42 a 42 bằng

Câu 2: Cho M  20a92 a4 16a2 64 và

4 20 3 102 2 40 200

N a  a  a  a Để M N 0 thì số các giá trị của a thỏa

mãn là

Câu 3: Cho 2 đường thẳng  d1 :y12x 5 m d; 2 :y 3x  3 m

(với m là

tham số) Giá trị của m để  d1

và  d2

cắt nhau tại 1 điểm thuộc góc phần tư thứ

 II là

A m 1

B

7

5

m

C

D 5

7

m 

Câu 4: Cho 2 đường thẳng  d1 :y3x m  1; d2 :y 2x m  1

(với m là

tham số) Khi m thay đổi giao điểm của  d1

và  d2

luôn nằm trên 1 đường thẳng

cố định là

A

5 1.

2

2

y x 

C

5

y x

D

5 1.

2

Câu 5: Cho hệ phương trình

I





Khẳng định đúng là

A Không tồn tại avà b để hệ  I

có nghiệm.

B Tồn tại uy nhất cặp a b; 

để hệ  I

có nghiệm.

C Tồn tại đúng hai cặp a b; 

để hệ  I

có nghiệm.

D Với a b, là hai số thực bất kì hệ  I đều có nghiệm.

Câu 6: Cho phương trình x2  2mx 5m 6 0 1 

(với m là tham số) Số các giá

trị nguyên của mđể phương trình  1

vô nghiệm là

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 7: Đường thẳng  d y ax:  1

cắt Parabol  P y x:  2

tại hai điểm M N, Khi đó khẳng định đúng là

A OMN đều B OMN có một góc tù.

C OMN có ba góc nhọn D OMN vuông tại O

Câu 8: Cho hai điểm M1; 1 ,  N 2; 4 

thuộc Parabol  P y:  x2

và I x y 0; 0

là một điểm thuộc cung MN sao cho IMN có diện tích lớn nhất Khi đó giá trị của biểu thức P 4x0 12y0 bằng

Câu 9: Cho ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của AC Đường thẳng qua A

và vuông góc với BM cắt BC tại D Biết tỉ số

DC a

DB b với a b , * và a b ,  1 khi đó giá trị của biểu thức P a b  bằng

Câu 10: Trên đường trung tuyến AD của ABC lấy điểm K sao cho AK 3KD;

BK cắt AC tại P Biết

ABP BCP

S b với a b, * và a b ,  1

khi đó giá trị của biểu thức P a 2b bằng

Câu 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a ñv ñd

và AC A ' ' 600 Khi đó thể tích của hình hộp bằng

A a33 2ñvtt

B a36 6ñvtt

C a3 6ñvtt

D a34 3ñvtt

Câu 12: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH H BC  

cho

AC cm HC  cm

khi đó giá trị của HA HB HC bằng

Câu 13: Cho ABC nhọn, các đường cao AD BE, cắt nhau tại H Vẽ đường trung tuyến AM Gọi G là trọng tâm của tam giác Cho biết HG song song với BC khi

đó tanABC.tanACB có giá trị bằng

A

3

Câu 14:

Cho hình chữ nhật ABCDvới hai đường tròn như hình vẽ.

Biết AB8cm EF; 6cm

và EF song song với AB

Khi đó độ dài cạnh BC bằng

A 10cm

B 9cm

C 7cm

D.12cm

Câu 15: Cho ABC đều ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi E F I, , lần lượt là các điểm trên các cạnh AB AC BC, , sao cho BE BI CI CF ; 

Để đoạn thẳng FE có độ dài nhỏ nhất thì tỉ số

EA

EB bằng

A 2

2

Câu 16:

Có 1800 m  lưới được quây thành 6 ô hình

chữ nhật có kích thước bằng nhau

(như hình vẽ) để nuôi gà

Diện tích lớn nhất của 6 ô có thể đạt được là:

A 68100 m2

B 11350 m2

C 67500 m2

D 11250 m2

II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2p  p2 cũng là số nguyên tố.

b Cho dãy các số tự nhiên 2,6,30,210, được xác định như sau: Số hạng đứng thứ k bằng tích của k số nguyên tố đầu tiên k 1,2,3 

Biết rằng tồn tại hai

số hạng của dãy có hiệu bằng 30000 Tìm hai số hạng đó?

Câu 2 (3,5 điểm)

a Giải phương trình: 4x2  x 6 4 x  2 7 x1

b Giải hệ phương trình:

2 3







Câu 3 (4 điểm)

Cho đường tròn  O

đường kính AB cố định Gọi Clà một điểm di động trên

 O sao cho C khácA B, và C không nằm chính giữa cung AB Vẽ đường kính CD

của  O

Gọi d là tiếp tuyến của  O

tại A Hai đường thẳng BC BD, cắt d tại lần

lượt tại E F, .

a Chứng minh rằng tứ giác CDFE nội tiếp trong một đường tròn.

b Gọi M là trung điểm của EF và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

CDFE Chứng minh rằng: AB2 .IM

c Gọi H là trực tâm DEF Chứng minh rằng khi điểm C di động trên  O

thì điểm H luôn chạy trên một đường tròn cố định.

Câu 4 (1,5 điểm) Cho a b c , , 0 thỏa mãn a2 b2 c2 3 chứng minh rằng

a b c

-HẾT -Họ và tên thí sinh SBD

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA ĐÁP ÁN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN

(Đáp án chấm thi có 04 trang)

I PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN ( 8 điểm)

Mỗi câu đúng: 0,5 điểm

CÂU 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

II PHẦN TỰ LUẬN (12điểm).

Câu 1 (3,0 điểm)

a Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2p p2 cũng là số nguyên 1,5

* Với p 2 2p  p2  là hợp số (loại).8

* Với p 3 2p  p2 17 là số nguyên tố (thỏa mãn)

0,5

* Với p  thì 3 p1 mod3  p2 1 mod3 

Ta có 2p 3  1 p    1 mod3p  1 mod3 

Từ (1) và (2) suy ra với p  thì3

2p  p   1 1 mod3 0 mod3  2p  p 3 2p  p2 là hợp số.

0,5

b Cho dãy các số tự nhiên 2,6,30,210, được xác định như sau: Số

hạng đứng thứ k bằng tích của k số nguyên tố đầu tiên k 1,2,3 

Biết rằng tồn tại hai số hạng của dãy có hiệu bằng 30000 Tìm hai số

hạng đó?

1,5

Gọi hai số hạng cần tìm của dãy là a và a 30000 với a ,a 2

Vì a30000 210  a30000 2.3.5.7   a30000 7. 0, 5

Mà 30000 lại không chia hết cho 7 nên a không chia hết cho 7 a210 0,25 Mặt khác a 30000 30 mà 30000 30  a30 a30 0,5 Vậy hai số hạng cần tìm là 30 và 30030 0,25

Câu 2 (3,5 điểm)

*Điều kiện xác định: x 1 *  Do x  không phải là nghiệm của 1

phương trình nên ta xét x  1 0,25

Ta có  1  2x  12 5 x12 2 2 x  1 7 x1 2  0,25

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN ĐIỂM

Với x  1 x 1 0 chia cả hai vế của phương trình  2 cho

1 0

x  

Ta thu được phương trình  

2

0,5

Đặt

1

x

t

x





 khi đó phương trình  3 trở thành

2

2

7

3 28 44 0

t









0,25

2

1

2

2

x







0,5

So sánh với điều kiện thỏa mãn

Vậy phương trình  1 có nghiệm duy nhất x 22 7

0,25

b Giải hệ phương trình:

2 3







 

 

3 3





Thế 4 từ phương trình  1 vào phương trình  2 ta được

2  x x y x  xy y  x y  x y

0,5

Thay x y vào phương trình  1 ta ược: được: x2  2 x 2 0,5

Hệ phương trình có nghiệm x y là: ;   2; 2; 2; 2

Câu 3 (4 điểm) Cho đường tròn  O đường kính AB cố định Gọi C là

một điểm di động trên  O

sao cho C khác , A B và C không nằm chính

giữa cung AB Vẽ đường kính CD của  O

Gọi d là tiếp tuyến của  O tại A Hai đường thẳng BC BD cắt d tại lần lượt tại , , E F

ĐÁP ÁN ĐIỂM

a Chứng minh rằng tứ giác CDFE nội tiếp trong một đường tròn.

b Gọi M là trung điểm của EF và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ

giác CDFE Chứng minh rằng: AB2 .IM

c Gọi H là trực tâm DEF Chứng minh khi điểm C di động trên

 O

thì điểm H luôn chạy trên một đường tròn cố định.

Hình vẽ

C A

B D

E

M

O

I

H

N

Ta có: BCD BAD  (cùng chắn cung BD )

Do: d là tiếp tuyến của  O

tại A d AB

Và ADB900 (góc nội tiếp chắn nửa đ.tròn)  ADBF

0,5

Suy ra: BAD BFA (cùng phụ ABF ) 0,5

Do đó: BCD DFE  DCE DFE DCB DCE      1800

b Gọi M là trung điểm của EF và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ

Ta có: ME MF gt    MI EF (T/c đường kính và dây cung)



AB EF ( EF là t/tuyến của O

Xét FBE vuông tại B , trung tuyến BM  MB MF   MFB MBF 

Vì tứ giác CDFE nội tiếp  BDC BEF 

0,75

ĐÁP ÁN ĐIỂM

Lại có IO CD (T/c đường kính và dây cung) Suy ra:  BM IO (2)/ /

Từ (1) và (2)  BMIO là hình bình hành

1 2

 IM BO AB

hay AB2.IM

0,25

c Gọi H là trực tâm DEF Chứng minh rằng khi điểm C di động trên

Vì H là trực tâm của DEF , ta có DH AB (cùng vuông góc với EF )/ /

/ /

AD BH (cùng vuông góc với FB)

Suy ra tứ giác ABHD là hình bình hành AH AD

0,25

Mà AD BC (vì ADBC là hình chữ nhật) BH BC (3)

Lấy N đối xứng với O qua B  BO BN (4)

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác OHNC là hình bình hành.

0,5

 NH OC R không đổi và N là điểm cố định (Vì O và B cố định) 

Vậy khi C di động trên  O

thì H chạy trên đường tròn N R; 

Câu 4: (1,5 điểm)

Cho , ,a b c  thỏa mãn 0 a2 b2 c2  chứng minh rằng3

a b c

             

Ta đi chứng minh bất đẳng thức sau: 2 1 1 2 50 3

a

0,5đ

a

      

0,75đ

Chứng minh tương tự ta có:

a b c

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c  1

0,25đ