Toan 9 lam thao (18 19)

Cho đường tròn tâm O bán kính R=5cm.. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC.. Các đường cao AD BE, và CF của tam giác ABC đồng quy tại H.. c Chứng

PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN THI: TOÁN HỌC

Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề

(Đề thi gồm 02 trang)

I TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm ): Hãy chọn phương án trả lời đúng Câu 1 Giá trị x thỏa mãn : 8 2 x x 2  6 3x là :

A  2 x 4 B 1 x 2 C 1 x 4 D. 2 x 4

Câu 2 Số nghiệm của phương trình 2 3 x 2x2  2x 3 0 là:

Câu 3 Cho  3 1 10 6 3 3

21 4 5 3

Giá trị biểu thức Px24x 22019 2018 là:

A 2019 B 2018 C 2017 D 2016

Câu 4 Giá trị của m để đồ thị hàm số y x3, y x  5 và y   m  2  x   2 m  3 

đồng quy là:

A 1 B 2 C 5 D 6

Câu 5 Cho hàm số y   m  1  x m   3 Đồ thì hàm số tạo với trục hoành và trục tung một tam giác có diện tích là 1 đvdt Số giá trị của m thỏa mãn là:

Câu 6 Góc nhọn tạo bởi đường thẳng y 3x1 và đường thẳng 3 1

3

y x là:

Câu 7 Cho đa thức f x    ax2 bx  6 Giá trị của cặp số  a b ,  để đa thức f x   chia hết

cho đa thức x 2 và x  1 là:

A.3; 3  B 3;3 C  3;3  D 3; 3 

Câu 8.Tìm điều kiện của m để hệ phương trình

mx y m

 





 có nghiệm duy nhất

Câu 9 Cho x y;  là nghiệm của hệ phương trình 2x x y3y10 23m1m

  

 Giá trị lớn nhất của biểu thức P xy là:

Câu 10 Cho tam giác ABC, PQ/ /BC với P Q, là các điểm tương ứng thuộc cạnh AB và

AC Đường thẳng PC và QB cắt nhau tại G Đường thẳng đi qua G và song song với BC

cắt AB tại E và AC tại F Biết PQ4cm và EF 6cm Độ dài của cạnh BC là:

Câu 11 Cho tam giác ABC vuông tạiA, có BC8cm, đường cao AH Kẻ HDAC tại

D, kẻ HE AB tại E Diện tích lớn nhất của tứ giác ADHE là:

A 16cm2 B 12cm2 C 8cm2 D 4cm2

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 12 Cho tam giác ABC có B 60  0, phân giác BD Giá trị của biểu thức BD 1 1

BA BC



là:

A 3

B 3

2

Câu 13 Cho đường tròn tâm O bán kính R=5cm Bên ngoài đường tròn lấy điểm M sao cho MO = 13cm, kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn tâm O ( A là tiếp điểm), MO cắt đường tròn tâm O tại B Tính diện tích tam giác MAB

A 240 2

17 cm B 420 2

13 cm C 240 2

13 cm D 120 2

13 cm

Câu 14 Cho  O ;6  và điểmA bên ngoài đường tròn, A cách O một khoảng 10 , vẽ cát tuyến bất kìACD (C nằm giữa A và D) Gọi M là trung điểm của đoạn CD Giá trị của

AM  MC là:

A 4 B 8 C.36 D 64

Câu 15 Cho  O R ;  đường kính AB, dây cung CD vuông góc với AB tại điểm M sao cho

1

3

BM  R Độ dài dây AC theo R là:

A 2

3R B

2 3

3 R C

20

3 R D

30

3 R

Câu 16 Có 9 tấm thẻ, mỗi tấm thẻ ghi một chữ số từ 1dến 9 Hỏi có bao nhiêu cách chọn 7 tấm thẻ sao cho tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 5?

A 8 B 9 C 10 D 12

II TỰ LUÂN( 12 điểm):

Câu 1 (3,0 điểm):

a) Tìm tất cả các số nguyên n(n 0) để số 4 3 2

13

M n  n  n là số chính phương

b) Cho x (x 0) thỏa mãn 2

1

2 3 2

x

x  x  Tính giá trị biểu thức

4 2 2

4 9

Q

x

 



Câu 2 (3,5 điểm):

a) Giải phương trình 3 x  2  x   1 2 x2  x  3

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 2

1 4 (1) ( ) 2 7 2 (2)

    



   



Câu 3 ( 4 điểm ): Cho đường tròn ( O; R), BC là dây cung cố định của đường tròn  BC  2 R  Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC Các đường cao AD BE, và CF của tam giác ABC đồng quy tại H

a) Chứng minh rằng AEF ∽ AB C

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh AH 2OM

c) Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF có giá trị không đổi khi A di động trên cung lớn BC sao cho O nằm trong tam giác ABC

d) Tìm vị trí của điểmA để EF FD DE  đạt giá trị lớn nhất

Câu 4 (1,5 điểm): Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x y z    1

Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 12 2 12 2 12

-

Hết -KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2018 - 2019

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 (Hướng dẫn chấm thi gồm 5 trang)

A Một số chú ý khi chấm bài

 Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.

 Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.

 Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.

B.HƯỚNG DẪN CHẤM

I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm) Mỗi câu đúng 0,5 điểm

II.PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm )

Câu 1 (3,0 điểm):

a) Tìm tất cả các số nguyên n(n 0) để số M n4 n313n2 là số chính phương

b) Cho x(x 0) thỏa mãn 2

1

2 3 2

x

x  x  Tính giá trị biểu thức Q x4 42x2 9

x

 



a) (1,5 điểm)

Ta có M n4 n313n2 n n2( 2 n13)

Để M là số chính phương thì A n 2 n13 phải là số chính phương

Suy ra 4A phải là số chính phương

4A4n  4n52k k N, 

0.25 0,25

2 2 2

(2 1) 51

(2 1 )(2 1 ) 51

   

     

Vì 2n  1 k  2n  1 k nên ta có bảng

0,5

Vậy với n   12; 3; 4;13  thì M là số chính phương

0,25

0,25

b) (1,5 điểm)

0.5

2 2

2 3 2

x

 

 

4 2

2

2

2

4 3

10 4 10 6

x

 

 

       

 

0.5 0,5

Câu 2 (3,5 điểm):

a) Giải phương trình 3 x  2  x   1 2 x2 x  3

b) Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

1 4 (1) ( ) 2 7 2 (2)

    



   



a) (1,75 điểm)

Điều kiện 2

3

x



0.25 0,25

 

2 3 0 1

1

1 2

x

x

 









Từ (1) 3

2

x

  (thỏa mãn)

0.25

0,25

Ta thấy

1

1

1 1

x









  



(vì 2

3

x  )   2 vô nghiệm

Vậy 3

2

S    

 

0.25

0,25

b) (1,75 điểm)

Với y 0, chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được:

2

2 2

1

4 1

x

x y y

x

x y

y

 

  













Đặt 2 1

a x y

x

b

y

 











ta được

0,5

2 2 2

3, 1

Khi đó  x y  ,    1;2 ; 2;5      0,5

Câu 3 ( 4 điểm ): Cho đường tròn ( O; R), BC là dây cung cố định của đường tròn  BC  2 R  Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC Các đường cao ,

AD BE và CF của tam giác ABC đồng quy tại H

a) Chứng minh rằng AEF∽ AB C

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh AH 2OM

c) Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF có giá trị không đổi khi A di động trên cung lớn BC sao cho O nằm trong tam giác ABC

d) Tìm vị trí của điểmA để EF FD DE  đạt giá trị lớn nhất

K

A

H

O

E F

D

/

/ /

=

/

=

M

a) (1 điểm)

( )

AC

ABE  F g g

( )

ABC c

0.75 0.75

b) (1 điểm)

Vẽ đường kính AK KB CH KC/ / ; / /BH

BHCK

 là hình bình hành

0.25 0.25

M

 là trung điểm của KH

OM

 là đường trung bình của AHK  AH 2OM

0.25 0.25

c) (1 điểm)

Ta có   0

90

AEH AFH 

Suy ra F và H thuộc đường tròn tâm I, đường kính AH.

Suy ra AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF

Mà AH  2OM , do BC cố định nên OM cố định

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF có giá trị không đổi khi A di động

trên cung lớn BC sao cho O nằm trong tam giác ABC.

0.5

0.5

d) (0,5 điểm)

Gọi B C', ' lần lượt là trung điểm của AC AB,  OB'AC OC, 'AB

Ta có ' 1

'

AA

AA

 Tương tự OB ' R FD , OC ' R ED

Mặt khác 2 SABC  2  SOBC  SOAC  SOAB  OA BC OB AC OC AB '  '  '.

2 SABC R EF FD DE

Để EF FD DE  đạt giá trị lớn nhất thì SABC lớn nhất Mà BC cố định nên A là

điểm nằm chính giữa cung lớn BC

0.25

0.25

Câu 4 (1,5 điểm): Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x y z    1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 12 2 12 2 12

Áp dụng BĐT a2 x2  b2  y2   a b  2  x y  2

Ta có

2 2

x y

2 2

x y

(theo trên)

0.25

   

 

Mặt khác  

2

2

1

x y z

x y z

  (vì x y z    1) 82

A

Vậy Min A  82 Dấu “=” xảy ra 1

3

x y z

   

Cách khác : Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy

Dãy 1:x; 1

x dãy 2: 1 ; 9 ta có:

2

82

(2); z (3)

         

 

  Từ (1);(2);(3) ta có

  /

/

2 81 2 81 2 81 80 82 82

                  

Vậy Min A  82 Dấu “=” xảy ra 1

3

x y z

0.25

0.25 0,25

HẾT