Giao an day du dstt

Kiến thức Sinh viên cần lĩnh hội được các khái niệm cơ bản về: Ma trận. Định thức. Không gian véc tơ: không gian con, khái niệm tổ hợp, độc lập tuyến tính, cơ sở số chiều hạng véc tơ ... Hệ phương trình tuyến tính. Ánh xạ tuyến tính và ma trận của ánh xạ tuyến tính. Nó là cơ sở của ĐSTT Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương Kỹ năng Sinh viên vận dụng thành thạo tính định thức, giải hệ PTTT, các phép tính về ma trận, cách tìm véc tơ riêng, giá trị riêng, tính hạng ma trận, ma trận chuyển cơ sở. Sinh viên cần nắm vững ánh xạ tuyến tính: sự tồn tại và mối liên hệ với ma trận, khái niệm chéo hoá, đưa ma trận về dạng chéo, nắm vững cách đưa ma trận của phép biến đổi tuyến tính về dạng chính tắc hay trực chuẩn.

- Định nghĩa phép thế, nghịch thế, dấu của phép thế, phép thế chẵn, lẻ.

- Khái niệm ma trận, ma trận vuông, ma trận chuyển vị

- Khái niệm định thức, các tính chất của định thức, định thức con; cách khai triển định thức theo 1 dòng, r dòng

- Vận dụng thành thạo cá tính chất của định thức để làm bài tập

- Triển khai định thức theo 1 dòng, r dòng

- Biến đổi, tính toán trên ma trận, giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer

3 Về thái độ, tư duy:

- Có lòng ham mê tìm tòi học hỏi

- Phát triển tư duy logic, trừu tượng

B- Chuẩn bị.

1 Chuẩn bị của giáo viên:

- Nghiên cứu sách giáo trình, tài liệu tham khảo, soạn giáo án

2 Chuẩn bị của sinh viên:

- Đọc sách giáo trình, đọc trước bài ở nhà

C- Nội dung cụ thể của chương.

Nói riêng, song ánh đồng nhất gọi là phép thế đồng nhất

 Một phép thế  trên tập Xn gọi là 1 chuyển trí hai phần tử i, j thuộc Xn nếu:

 i j;  j i

    và  k k,  k X k i j n, , Kí hiệu bởi:  ,i j 

- Tập hợp tất cả các phép thế trên tập Xn , kí hiệu bởi S

 Phép thế : X n  X nđược biểu diễn:

n n

III Dấu của phép thế:

1 Định nghĩa: Ta gọi phép thế  là một phép thế chẵn nếu nó có 1 số chẵn

nghịch thế lẻ Trong đó  ,i j chạy khắp tập các tập con gồm 2 phần tử của X n

Rõ ràng số nhân tử ở tử số và mẫu số bằng nhau

+ Ta chứng minh nếu tử số có nhân tử i j, tồn tại ,h k X n sao cho:

vì  i ; j  cũng chạy khắp tập các tập con gồm 2 phần tử của Xn

* Tính chất 3: Mọi chuyển trí đều là phép thế lẻ.

Khi đó tất cả các nghịch thế  là  ,ik với mọi k thỏa mãn  i k j

l j với mọi l thỏa mãn ,  i l j

Lời giải: Các nghịch thế ở dòng thứ 2 Số 1 bé nhất và số 6 lớn nhất nên

chúng không tham gia vào các nghịch thế

Các nghịch thế có dạng:

5, : 5,4 ; 5,3 ; 5,2r      .

và s,2 : 3,2 ; 4,2 ; 5,2      .

Vì nghịch thế (5,2) được nhắc lại 2 lần nên chỉ có 5 nghịch thế

Vậy chuyển trí trên là phép thế lẻ

§2 KHÁI NIỆM MA TRẬN

I Định nghĩa 1:

được gọi là một ma trận kiểu m n , 

 Mỗi số aịj được gọi là một thành phần của ma trận, nó nằm ở dòng thứ i và

 Trong kí hiệu này, mỗi aij là một thành phần, các thành phần a a i1, i2, ,a in

tạo thành dòng thứ i, các thành phần a a1j, 2j, ,a tạo thành cột thứ j của nj

6 Tính chất 6: Nếu nhân mỗi thành phần ở dòng thứ i với cùng 1 số c rồi

cộng vào thành phần cùng cột ở dòng thứ k thì được một định thức mới bằng định

thức đã cho

7 Tính chất 7: Với A t là ma trận chuyển vị của ma trận A, ta có: A t A , tức là hai ma trận chuyển vị của nhau thì có định thức bằng nhau

Chú ý: Từ tính chất 7, nếu thay từ “dòng” bởi từ “cột” trong các tính chất 1,

2, 3, 4, 5, 6 ta được những tính chất của định thức phát biểu với cột

M

là một định thức con cấp r của D.

ii) Nếu xóa đi r dòng và r cột ấy thì các thành phần còn lại lập thành một định

r r

Ta nói đó là cách khai triển định thức theo dòng thứ i

Chú ý: Định lý cũng đúng nếu thay từ ‘dòng’ bởi từ ‘cột’.

2 Hệ quả :

Cho định thức D với các thành phần a , ta có :

1 2 12

1 3 13

Để tính định thức cấp n, ta có thể tiến hành theo hai cách :

Cách 1 : Khai triển định thức theo hàng hoặc cột để đưa về định thức cấp n – 1

(người ta thường biến đổi sơ cấp để làm xuất hiện thêm số 0 ở hàng hoặc cột dự định sẽ khai triển để làm giảm bớt số định thức cấp n – 1 )

Cách 2 : Đưa định thức về dạng tam giác :

Định nghĩa : Định thức tam giác dưới là định thức có dạng :

1 4 4 '

    ' ' ''

1 2 1 ' ''

2 2 ' ' ''

Tính các định thức cấp thấp ta sẽ lần lượt tính được các định thức cấp cao hơn

j n ; a được gọi là các hệ số của ẩn ; ij x b được gọi là hạng tử tự do j i

2 Một nghiệm của hệ (1) là một bộ n số c c1, , ,2 c thuộc trường K sao cho : n

Khi thay xj bởi cj thì mọi đẳng thức trong (1) đều là những đẳng thức số đúng.

Định thức D được gọi là định thức của hệ phương trình

II Cách giải hệ phương trình Cramer :

KHÔNG GIAN VECTƠ

* Mục tiêu của chương:

- Trình bày định nghĩa không gian vectơ, các tính chất của nó và cấu tạo của một không gian vectơ, nghiên cứu nó sâu sắc hơn trong những chương sau để có

thể áp dụng nó nhiều hơn vào những bộ môn Toán học khác cũng như các lĩnh vực khoa học khác.

Học xong chương này, sinh viên cần nắm được:

- Nắm vững định nghĩa và các tính chất của không gian vectơ, không gian con

- Hiểu rõ mỗi không gian vectơ được tạo thành từ một họ “tối thiểu” những vectơ của không gian mà ta gọi là cơ sở; biết cách tìm cơ sở và số chiều của một không gian vectơ

- Biết được mối liên hệ giữa tọa độ của cùng một không gian vectơ trong 2 cơ

- Phép toán trong, kí hiệu + : V V  V

  

V

 , mọi x, y K:1)     

;2)     

;3) Có 0V :   0 0  

;4) Với mỗi  V

, có ' V: '' 0

;5) x y  x y

;6) x  x x

;7) xy x y 

;8) 1. 

 

, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K

Khi đó V cùng với 2 phép toán xác định như trên gọi là một không gian vectơ trên

trường K, hay K – không gian vectơ , vắn tắt không gian vectơ

+ Khi K = , V được gọi là không gian vectơ thực;

K = , V được gọi là không gian vectơ phức.

+ Các phần tử của V gọi là vectơ, các phần tử của K gọi là vô hướng.

+ Phép toán “+” gọi là phép cộng vectơ ,

- Tính chất 5) nói lên phép nhân vectơ với vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng vô hướng.

- Tính chất 6) nói lên phép nhân vectơ với vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ

- Tính chất 7) nói lên phép nhân vectơ với vô hướng có tính chất kết hợp

II Các ví dụ.

1 Tập các vectơ trong không gian với các phép cộng và phép nhân vectơ

với một số thực trong chương trình PTTH là một không gian vectơ thực

2 Cho trường K, với n 1, xét tích Đề các:

Dễ thấy K n cùng với hai phép toán trên là K – không gian vectơ.

Khi n = 1 thì bản thân K cũng là K – không gian vectơ

3 Tập K[x] các đa thức (một biến) với hệ số thuộc trường K với phép cộng

đa thức và phép nhân đa thức với phần tử thuộc trường K là một K – không gian vectơ

4 Tập số phức  với phép cộng số phức và phép nhân số phức với một số thực là - không gian vectơ

5 Tập  các số thực cùng với phép cộng số thực và phép nhân số thực với một số hữu tỉ là một  - không gian vectơ

6 Tập chỉ có một phần tử { } với hai phép toán:

 +  =  , x. =  , x K là một K – không gian vectơ Gọi là không gian vectơ không Ta thường kí hiệu  = 0

2) W cùng với hai phép toán của V (hạn chế trên W) là một K – không gian vectơ.

II Tính chất đặc trưng.

Định lí: Giả sử V là một K – không gian vectơ W là một tập con của V

Các mệnh đề sau tương đương :

1) W là một không gian con của V

Ta cần kiểm tra 8 điều kiện trong định nghĩa của không gian vectơ

Hiển nhiên các điều kiện 1), 2), 5), 6), 7), 8) thỏa mãn vì hai phép toán trong W chính là hai phép toán đã cho trong V

Ta cần kiểm tra điều kiện 3) và 4) Vì W  nên có một  W



Theo tínhchất của không gian vectơ, 0 0.  0.



, ta có    1 0. W

.Vậy W là một không gian vectơ trên trường K và do đó W là một không gian con của V (ĐPCM)

Chú ý : Để chứng minh tập W là một không gian con của V, ta sử dụng mệnh đề

2) hoặc 3)

Ví dụ 1 : Với mỗi không gian vectơ V, bản thân V và tập  0 là những không gian con của V

Chúng gọi là những không gian con tầm thường của V.

Ví dụ 2 : Tập Pn gồm đa thức 0 và các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n của K[x] là một không gian con của không gian vectơ K[x]

Ví dụ 3 : Tập W  a a1, ,0,0 /2  a1,a2 là một không gian con của

4

III Tổng của những không gian con.

Mệnh đề và định nghĩa: Giả sử W W1, 2, ,W là những không gian con của m

K – không gian vectơ V Khi đó:

Chứng minh: Dành cho sinh viên.

IV Giao của những không gian con.

Mệnh đề và định nghĩa: Giả sử W W1, 2, ,W là những không gian con của m

K – không gian vectơ V Khi đó:

Tập U =

1

m i i

W được gọi là không gian sinh bởi hệ vectơ A, còn A gọi là hệ sinh của W

Chứng minh: Dành cho SV.

Chú ý:

- Không gian sinh bởi 1 vectơ  thường được kí hiệu bởi K

- Nếu W là không gian sinh bởi hệ vectơ  1, 2, ,m

thì

1

n i i





- Không gian W trên sinh bởi một hệ hữu hạn vectơ nên gọi là không gian

hữu hạn sinh

Từ nay ta chỉ xét đến không gian hữu hạn sinh

Bài 3: SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

Hệ vectơ A là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính.

Ví dụ 1: Trong không gian vectơ, mỗi vectơ khác 0 đều lập thành một hệ vectơ độc lập tuyến tính

Ví dụ 2: Mọi hệ vectơ chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 3: Trong không gian vectơ hình học V, 3 vectơ lập thành một hệ phụ

thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng đồng phẳng; độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng

2) Một hệ gồm m vectơ (m > 1) là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi không

có 1 vectơ nào của hệ được biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại

Giả sử V là một K – không gian vectơ

1) Một hệ vectơ trong V gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V đều

biểu thị tuyến tính theo hệ đó

2) Nếu V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V là không gian vectơ

hữu hạn sinh.

3) Một hệ vectơ trong V, gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của V đều

biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó

Chú ý: Không gian vectơ  0 không có cơ sở, hay có thể nói, số vectơ trong cơ sởcủa không gian  0 bằng 0.

Ví dụ 1: Trong không gian vectơ P n gồm các đa thức 0 và các đa thức có bậc bé

hơn hay bằng n, hệ vectơ 1; ;x x2; ; x n là một cơ sở.

Ví dụ 2: Trong không gian vectơ 3

Chứng minh : Dành cho sinh viên.

II Sự tồn tại của cơ sở:

Bổ đề: Nếu không gian vectơ có một hệ sinh gồm m vectơ thì số vectơ của

mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính của nó không quá m

Hệ quả: Số vectơ trong 2 cơ sở của một không gian vectơ bằng nhau Định lí 1: Mỗi K – không gian vectơ V  0 đều có cơ sở.

Chứng minh: Giả sử   1 0

là một vectơ thuộc V   1

 độc lập tuyến tính Nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ này thì đó là 1 cơ sở của V

Nếu trái lại, trong V có  2

không biểu thị tuyến tính được qua 1

, thì hệ

Tiếp tục quá trình đó, ta thu được những vectơ độc lập tuyến tính của V

Vì V có một hệ sinh gồm m vectơ nào đó nên quá trình này phải kết thúc ở vectơ n

Hệ quả: Trong không gian vectơ, mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính bất kì

đều có thể bổ sung thành một cơ sở

Định lí 2: Từ một hệ sinh của 1 không gian vectơ khác  0 có thể chọn ra một cơ sở

+) Không gian V các vectơ hình học trong không gian có dimV 3.

II Số chiều của không gian con.

Định lí 1: Giả sử W là một không gian con của K – không gian vectơ V Khi đó:

1) dimK W dimK V

2) dimK W dimK V W V

Chứng minh: Dành cho sinh viên.

Định lí 2: Nếu U, W là những không gian con của K – không gian vectơ V thì :

dim(U+W) = dimU + dimW – dim U W

của U và thành cơ sở:                1; ; ; ; ; ; ;2                               r 1 2 q r 

(3)

Vì 1; ;p r ; ; ; ; 1 2 r U và  1; ; ;2 q r  W nên hệ (4) nằm trong U + W.

Thay các giá trị này của zi vào đẳng thức (5) ta được:

x1 1   x p r p r y1 1  y r r 0

Vì hệ (2) độc lập tuyến tính nên:

x x1  2 x p y1  y r 0 (7)

Từ (6) và (7) suy ra hệ (4) độc lập tuyến tính, do đó nó là cơ sở của U + W Vậy dim(U + W) = p – r + r + q – r = p + q – r

= dim(U) + dim(W) – dim U W (ĐPCM)

Bài 6: TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ

  x i  x x1, , ,2 x n  gọi là tọa độ của  V đối với cơ sở   đã cho;

x i gọi là tọa độ thứ i của  đối với cơ sở  

có tọa độ đối với cơ sở   là (3, -5 , 1)

Nhưng  31  52 3

có tọa độ đối với cơ sở chính tắc là (4, -2 , 4)

Nhận xét : Khi đổi cơ sở thì tọa độ của một vectơ thay đổi.

III Liên hệ giữa các tọa độ của một vectơ đối với hai cơ sở khác nhau.

Định lý : Giả sử   và   là hai cơ sở của K – không gian vectơ n chiều V

T =  tij là ma trận chuyển từ cơ sở   sang cơ sở   , (xi), (yi) lần lượt là tọa độ

 đối với cơ sở   (Đáp số: (-3, 3, -2) )

Bài 7 : HẠNG CỦA HỆ VECTƠ – HẠNG CỦA MA TRẬN

I Hạng của hệ vectơ

Định nghĩa : Số chiều của không gian vectơ sinh bởi hệ vectơ A gọi là hạng của hệ A

Kí hiệu : Hạng(A) hay rank(A)

Hệ quả: Hệ A gồm m vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hạng(A)= m

Mệnh đề: Nếu thêm vào một hệ vectơ một tổ hợp tuyến tính của hệ thì

hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã cho

(Hệ vectơ cột của ma trận A định nghĩa tương tự).

Ngược lại, ma trận A gọi là ma trận các tọa độ của hệ vectơ A đối với cơ sở

đã cho

2) Ta gọi hạng của hệ vectơ dòng của ma trận A là hạng của ma trận A

Kí hiệu : Hạng(A) hoặc rank(A)

Ví dụ : Ma trận không có hạng bằng 0.

Nhận xét : Tìm hạng của ma trận cũng là tìm hạng của hệ vectơ dòng

tương ứng Do đó biết hạng của ma trận sẽ suy ra cơ sở và số chiều của không gian vectơ sinh bởi hệ vectơ dòng của ma trận ấy.

Với ma trận A =  a kiểu (m, n), nếu chọn r dòng, r cột thì các thành phần ij

nằm ở giao của r dòng, r cột ấy lập thành một định thức con cấp r của A

Định lí: Hạng của ma trận A bằng cấp cao nhất của các định thức con khác

0 của A

Chú ý: Nếu định thức con cấp cao nhất khác 0 của ma trận A nằm ở r dòng

nào thì r vectơ dòng ấy là cơ sở của không gian vectơ sinh bởi m vectơ dòng của

Cứ tiếp tục quá trình đó khi tìm được một định thức D 0, cấp r mà mọi định thức cấp (r + 1) bao quanh nó đều bằng 0 Khi đó định thức của A bằng r.

Ví dụ : SGT 114.

2 Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp.

Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây được gọi là các phép biến đổi sơ

cấp trên các ma trận:

1) Đổi chỗ hai dòng (hai cột) cho nhau;

2) Nhân mỗi thành phần trong 1 dòng (cột) với cùng một số khác 0;

3) Nhân mỗi thành phần trong một dòng (cột) với cùng một số rồi cộng vào thành phần cùng cột (dòng) trong một dòng (cột) khác

Định lí: Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên một ma trận thì hạng

của ma trận thu được bằng hạng của ma trận đã cho

Ví dụ: SGT 116.

Nhận xét : Nếu dùng phép biến đổi sơ cấp để tìm cơ sở của không gian sinh

bởi một hệ vectơ thì ta gặp khó khăn trong việc xác định những vectơ nào của hệ lập nên cơ sở, vì quá trình biến đổi ta đã thay đổi chỗ các dòng, cột

CHƯƠNG III: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.

A Mục đích yêu cầu:

Giúp sinh viên nắm được:

1 Về kiến thức:

- Nắm được khái niệm ánh xạ tuyến tính;

- Nắm được khái niệm đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu;

- Nắm được khi nào tồn tại ánh xạ tuyến tính;

- Nắm được ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính;

- Liên hệ được giữ số chiều của ảnh, hạt nhân và không gian nguồn;

- Sự đẳng cấu giữa hai không gian cùng số chiều;

- Các phép toán trên ánh xạ tuyến tính

2 Về kĩ năng:

- Nhận biết 1 ánh xạ có phải là ánh xạ tuyến tính không, và cách chứng minh 1 ánh xạ là ánh xạ tuyến tính

- Vận dụng định nghĩa, định lí để làm bài tập

- Tìm ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính

3 Thái độ, tư duy:

- Phát triển tư duy lô-gic, trừu tượng

- Tích cực, chủ động trong việc nắm bắt kiến thức

B Chuẩn bị:

1 Giáo viên:

- Nghiên cứu sách giáo trình, tài liệu tham khảo, soạn giáo án.

2 Sinh viên: