Boi duong cho hoc sinh mot so ky nang trong day DS GT

rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp logic trong những tình huống cụ thể, khả năng t

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài:

1.1 Điều 24, luật giáo dục quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, …, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Chương trình môn toán (thí điểm) trường trung học phổ thông (năm

2002) cũng đã chỉ rõ: “… Môn toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống, … rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận

có lý, hợp logic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp cận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác …”

1.2 Dạy toán là dạy kiến thức, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn),trong đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹnăng thì sẽ không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng đợc nhu cầugiải quyết vấn đề

Tuy nhiên, nhận định về phương pháp dạy toán ở trường phổ thông trong

giai đoạn hiện nay, các tác giả Hoàng Tuỵ và Nguyễn Cảnh Toàn viết: “Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đã ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức, các định lý để tính

toán, chứng minh …” [35 ] “…Ta còn chuộng cách nhồi nhét, luyện trí nhớ,

dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán

nản …" [35, tr.38 ]

1.3 Nhiều công trình nghiên cứu về tâm lý học, phương pháp dạy học, …

đã khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện một số kỹ năng trong dạy học Đại số

và Giải tích cho học sinh Tác giả Trần Khánh Hưng cho rằng: “Kỹ năng là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học và hành Việc

dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng vào việc giải các bài tập”, còn Nguyễn Bá Kim

viết: “Nó là cơ sở để thực hiện các phương diện mục đích khác” [17, tr.46 ].

Như vậy có thể khẳng định rằng cần thiết phải rèn luyện cho học sinh các kỹnăng trong dạy học Toán

1.4Đại số và Giải tích là một trong những nội dung toán học chứa đựngnhiều tiềm năng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng,chẳng hạn chủ đề phương trình, bất phương trình thích hợp với kỹ năng phânchia trường hợp riêng; hệ bất phương trình bậc nhất thích hợp với việc rènluyện cho học sinh kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn, … Tuynhiên, qua quan sát thực tiễn sư phạm cho thấy việc rèn luyện một số kỹ năngcho học sinh trong dạy học Đại số, Giải tích chưa được chú trọng, còn hời hợt.Điều này được thể hiện ở những khó khăn sai lầm học sinh thường gặp vàphương pháp dạy học hiện nay

Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến rèn luyện kỹ năng,

chẳng hạn luận văn thạc sỹ của Nguyễn Huy Thao (2006): “ Rèn luyện cho học sinh khá giỏi kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình có tham số trong dạy học Toán ở trường THPT”, nhưng chưa có

một công trình nào nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh trong dạyhọc Đại số và Giải tích

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luậnvăn là: “Rèn luyện cho học sinh trung học phổ thông một số kỹ năng cần thiết trong dạy học Đại số, Giải tích”

2 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc rèn luyện cho học sinh kỹnăng trong dạy học Đại số, Giải tích

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoa học sau đây:

1.1.Kỹ năng là gì? Vai trò của kỹ năng? Mỗi quan hệ giữa kỹ năng và

4 Giả thuyết khoa học:

Trên cơ sở lý luận trên, nếu rèn luyện cho học sinh đợc một số kỹ năngtrong dạy học Đại số, Giải tích thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học ởtrường phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu :

Các phương pháp nghiên cứu đợc sử dụng bao gồm: Nghiên cứu lý luận,điều tra quan sát và thực nghiệm sư phạm

6 Dóng góp của luận văn:

a Về mặt lý luận: Đã đưa ra được các căn cứ và một số kỹ năng cầnrèn luyện cho học sinh trong dạy học Đại số, Giải tích

b Về mặt thực tiễn: Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảocho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môntoán ở trường THPT

7 Cấu trúc của luận văn:

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và Tài liệu tham khảo có 3chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong dạy học Đại

số, Giải tích

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1.Kỹ năng

1.1.1 Khái niệm kỹ năng

1.1.2 Vai trò của kỹ năng

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng

1.1.4 Phân loại kỹ năng trong môn Toán

1.1.5 Mỗi quan hệ giữa tư duy và kỹ năng

1.2 Vấn đề về đổi mới phương pháp dạy

1.3 Kết luận chương 1.

Chương 2 Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng

trong dạy học Đại số, Giải tích

2.1 Những căn cứ để rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong dạy học Đại số, Giải tích

2.1.1 Căn cứ 1: Những khó khăn, sai lầm phổ biến của học sinh khi giải toán Đại số, Giải tích để xác định những kỹ năng cần tăng cường rèn luyện cho học sinh, nhằm giúp họ khắc phục những khó khăn, sai lầm này

2.1.2 Căn cứ 2: Dựa vào đặc thù và chất liệu Đại số, Giải tích

2.1.3 Căn cứ 3: Thực tiễn dạy học Đại số, Giải tích ở trường học

2.2 Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong dạy học Đại số, Giải

tích

2.2.1 Kỹ năng 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy diễn (Suy luận diễn dịch và khai thác triệt để các tình huống có thể rèn luyện cho học sinh kỹ năng này)

2.2.2 Kỹ năng 2: Chú trọng rèn luyện cho học sinh kỹ năng mò mẫn, dự đoán, phối hợp giữa suy đoán và suy diễn trong quá trình giải quyết vấn đề.

2.2.3 Kỹ năng 3: Kỹ năng phân chia các trờng hợp riêng trong quá trình giải toán

2.2.4 Kỹ năng 4: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phát hiện, thiết lập sự

tương ứng giữa các dối tượng tham gia trong bài toán.

2.2.5 Kỹ năng 5: Kỹ năng vẽ và đọc đồ thị, biểu diễn trên trục số trong quá trình giải toán Đại số và Giải tích

2.2.6 Kỹ năng 6: Kỹ năng toán học hoá các tình hống thực tiễn

2.2.7 Kỹ năng 7: Rèn luyện cho học sinh biết vận dụng các thao tác khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự.

2.2.8 Kỹ năng 8: Tập luyện cho học sinh diễn đạt một số định nghĩa theo nhiều cách khác nhau, đặc biệt hướng tới cách diễn đạt có lợi cho vấn đề cần giải quyết

2.3 Kết luận chơng 2.

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm.

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm

Chương 1

Cở sở lí luận và thực tiễn

1.1 Kỹ năng:

1.1.1 Khái niệm về kỹ năng:

Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức và thực hànhnhất định cho con người Để giải quyết được công việc con người cần sử dụngvốn hiểu biết, kinh nghiệm của mình nhằm tách ra những mặt của hiện thực làbản chất đối với nhiệm vụ của được đặt ra và nó thực hiện những biến đổi cóthể dẫn tới chỗ giải quyết được nhiệm vụ đó Với quá trình đó con người dầndần hình thành cho mình một hệ thống các kỹ năng để giải quyết các vấn đề

Trong tài liệu tâm lý giáo dục, đã nêu lên một số quan điểm về kháiniệm kỹ năng như sau:

Quan điểm 1 cho rằng: Kỹ năng là sự nắm vững những có ý thức các

phương thức hoạt động

Quan điểm 2 cho rằng : Sự sử dụng kiến thức và kỹ xảo đã có để lựa

chọn và thực hiện các phương thức hành động phù hợp với mục đích đặt ra

Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [10, tr 149]

Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về kỹ năng, chẳng hạn: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [41, tr 462] hoặc “Kỹ năng là sự lựa chọn trong tình huống cụ thể các phương thức đúng đắn của hành động để đạt được mục đích”

[40, tr 15]

Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng tựutrung lại thì đều nói rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm,cách thức, phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới

Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết Cơ sở lý thuyết

đó là kiến thức Sở dĩ như vậy là vì xuất phát từ cấu trúc kỹ năng (phải hiểu

mục đích, biết cách thức đi đến két quả và hiểu được những điều kiện cần thiết

để triển khai các cách thức đó)

Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiếnthức vào việc giải quyết các bài tập cụ thể chính là do kiến thức không chắcchắn, khái niệm trở nên chết cứng và không biến thành cơ sở của kỹ năng

Muốn kiến thức là cơ sở của kỹ năng thì kiến thức đó phải phản ánh đầy

đủ thuộc tính của bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ýthức với tư cách là công cụ của hành động (kỹ năng) Nói cách khác, cần làmsao cho các sự vật quả thực là có những thuộc tính được phản ánh trong trithức đã cho, làm sao cho các dấu hiệu là bản chất đối với những mục tiêu đặt

ra trước hành động, làm sao cho những hành động này đảm bảo biến đổi đốitượng, một sự biến đổi cần thiết để đạt mục tiêu Chẳng hạn, xét ví dụ: Tìm m

để phương trình :

2x4 + (m+2)x2 + m2 – 1 = 0 (1) có nghiệm

Những thuộc tính được phản ánh trong tri thức là : có chứa tham số,phương trình trùng phương … Để giải bài toán này ta phải nhớ lại cách giảiphương trình trùng phương, xác định những phép biến đổi cần thiết thích hợpvới mục tiêu: Tìm m để phương trình có nghiệm Do phương trình trên có dạngtrùng phương nên có thể chuyển được về dạng phương trình bậc 2 và mục tiêuđặt ra được giải quyết nhờ phép biến đổi t = x2 (t0) phương trình chuyển vềphương trình:

2t2 + (m+2)t +m2 – 1 = 0 (2)Mục tiêu của bài toán là tìm m để pt (2) có nghiệm không âm

Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng: Sự dễ dàng hay khókhăn trong sự vận dụng kiến thức là tuỳ thuộc ở khả năng nhận dạng kiểunhiệm vụ, bài tập tức là tìm kiếm và phát hiện những thuộc tính và quan hệ vốn

có trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một mục đích nhất định

Ví dụ: Biết ax + 1 > 0, x  (-1; 1), hãy tìm điều kiện của a

Thực chất của mỗi quan hệ đó là: Tìm a sao cho (-1; 1) là tập con củatập nghiệm bất phương trình ax + 1 > 0

Vì thế, sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng của các yếu tố sau đây:

* Nội dung của nhiệm vụ, bài tập được đặt ra trừu tượng hoá sẵn sàng bịche phủ bởi những yếu tố phụ làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sựhình thành kỹ năng

Ví dụ 1: Giải pt 2x4 + 3x3 + x2 + 3x + 2 = 0

Phương trình trên thực chất là phương trình bậc 2 một ẩn nếu ta chia 2

vế cho x2  0 thì và đặt ẩn phụ t = x +

2 1

Phương pháp để giải phương trình trên rất đơn giản, tuy nhiên bằng sựche phủ bởi bậc của phương trình là bậc 4 nên gây cho học sinh không thấyđược mỗi quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài toán

* Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng.Chẳng hạn, ở ví dụ trên phương trình là phương trình bậc 4 nên nhiều học sinhrất ngại và có xu hướng tập trung vào phương pháp nhẩm nghiệm, bởi vì họcsinh chỉ mới biết cách giải phương trình có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2

Ngoài ra cũng chịu ảnh hưởng của yếu tố khái quát của đối tượng mộtcách toàn thể

1.1.2 Vai trò của kỹ năng:

Cùng với vai trò của cơ sở tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹnăng, sự nhấn mạnh này đặc biệt cần thiết đối với các môn Toán, vì môn nàyđược coi là một môn học công cụ do đặc điểm và vị trí của nó trong việc thựchiện nhiệm vụ phát triển nhân cách học sinh trong nhà trường phổ thông, vì vậycần hướng hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kỹ năng

Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy và tính cách (Nguyễn CảnhToàn) Trong đó kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trong, bởi vì nếu không có

kỹ năng thì sẽ không phát huy được tư duy và cũng không đáp ứng được nhucầu giải quyết vấn đề

Rèn luyện kỹ năng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mỗi quan hệ giữahọc với hành Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học

thuộc lòng định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng không thành thạo vàoviệc giải bài tập.

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng:

Sự hình thành các kỹ năng đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạpcác thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếpthu được từ đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hànhđộng [32, tr 153]

Tính chất của các thao tác và của các quá trình tư duy giải các bài toánphụ thuộc vào mục đích mà các thao tác nói trên hướng tới và vào nội dung củabài toán Bản thân hoạt động tư duy khi giải bất kỳ bài toán nào thể hiện trongnhững biến đổi đối tượng của tư duy, tách ra trong đối tượng những khía cạnh

và những thuộc tính ngày càng mới được ghi lại trong các khái niệm và đượcbiểu thị bằng các từ Quá trình này diễn ra nhờ các thao tác phân tích – tổnghợp, trìu tượng hoá - khái quát hoá cho tới khi hình thành được mô hình về mộtmặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa đối với việc giải giải bài toán đã cho ởđây mỗi bước nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng, thúc đẩy

tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo sau của tư duy Vì các khíacạnh mới của đối tượng phản ánh trong các khái niệm mới, tư duy như là sựdiễn đạt lại bài toán nhiều lần Chẳng hạn, bài toán được giải nhờ biến đổi từ

hình thức : “Tìm m để phương trình (m + 2)x 2 + 2x + m – 3 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0, 2]” thành hình thức “Tìm m để phương trình (m + 2)x 2 + 2x +

m – 3 = 0 có nghiệm thuộc [0, 2]”.

Ví dụ về sự diễn đạt lại bài toán “Tìm m để phương trình

m x

Đây là phương trình bậc 2 với điều kiện 4 x  5 nên để tìm m đểphương trình ban đầu có nghiệm duy nhất nghĩa là phương trình (2) có đúngmột nghiệm  [4, 5] Điều này có nghĩa là phải chỉ ra:

0

2

1 x x

+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt, một nghiệm  [4, 5], một nghiệm

4 (

0

f f

Cũng có thể chủ thể diễn đạt bài toán như sau: Giả sử phương trình có 1nghiệm x0, rồi chỉ ra một nghiệm x1 khác (x1 = b + a – x0) Để phương trình cónghiệm duy nhất nghĩa là x0 = x1, từ đó sẽ xác định được điều kiện cần củatham số

Một ví dụ khác, chứng minh hàm số y = x3 + m + 2 đồng biến trên (a, b)với mọi m

Đối với học sinh lớp 10 có thể diễn đạt bài toán như sau: Nghĩa là phảichứng minh: x1, x2 bất kỳ thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)

Nhưng đối với học sinh lớp 12 lại có thể diễn dạt bài toán như sau: “Do hàm y = f(x) = x 3 + m + 2 là hàm sơ cấp, liên tục (a, b) nên có đạo hàm (a, b).

Để chứng minh f(x) đồng biến trên (a, b) với mọi m có nghĩa là chứng minh f’(x) > 0 x (a, b) không phụ thuộc vào m”

Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đốitượng để tiến hành giải bài toán

ở mỗi cách diễn đạt mới là kết quả phân tích và tổng hợp những dữ kiệncủa giai đoạn trước và được thể hiện trong các khái niệm Nhưng các kháiniệm là sản phẩm của kinh nghiệm xã hội Khi nghiên cứu đối tượng thì trongtri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại những thuộc tính bản chất của đối tượng.Chính từ các cách diễn đạt mới khai thác được những tri thức về đối tượngđồng thời thúc đẩy tư duy tiến lên S.L.Rubinstein đã chứng minh: Trong quátrình tư duy nhờ phân tích, tổng hợp, đối tượng tham gia vào những mỗi liên

hệ ngày càng mới và do đó thể hiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những

phẩm chất này được ghi lại trong khái niệm mới Như vậy, từ đối tượng dườngnhư có thể khai thác được nội dung ngày càng mới, nó dường như mỗi lần

quay lại một mặt khác và triong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới [32, tr 155].

Theo quan điểm này sự hình thành các kỹ năng xuất hiện trước hết như

là những sản phẩm của những tri thức ngày càng được đào sâu Các kỹ năngđược hình thành trên cơ sở lĩnh hội các khái niệm về các mặt và các thuộc tínhkhác nhau của đối tượng đang được nghiên cứu Con đường chính của sự hìnhthành các kỹ năng đó là dạy học sinh nhìn thấy những mặt khác nhau trong đốitượng, vận dụng vào đối tượng những khái niệm muôn hình, muôn vẻ diễn đạtcác quan hệ đa dạng của đối tượng này trong khái niệm

Trong dạy học hiện nay có thể dạy các kỹ năng cho học sinh bằng nhiềucon đường khác nhau Chẳng hạn: Con đường dạy học nêu vấn đề, cocn đườngdạy học Algôrit hoá hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ, dạy học sinhchính là hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức

1.1.4 Phân loại kỹ năng trong môn toán:

Có nhiều cách phân loại kỹ năng

Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kỹ năng học tập cơ bảnthành 4 nhóm:

a) Kỹ năng nhận thức:

Kỹ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kỹnăng nắm một khái niệm, định lý; kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc,trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,…

b) Kỹ năng thực hành:

Trong môn toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giảibài toán, kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (Trong bài toán hoặctrong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế

c) Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức.

d) Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá.

Theo các tác giả : Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, … lại xem xét

kỹ năng toán học trên 3 bình diện: Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môntoán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng vậndụng toán học vào đời sống

1.1.5 Mối quan hệ giữa tư duy và kỹ năng:

Kỹ năng và tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhau:Kỹ năng là cơ sở

để tiến hành các thao tác tư duy và kỹ năng chỉ được hình hành thông qua quátrình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đặt ra

1.2 Về vấn đề đổi mới phương pháp dạy học toán

Để góp phần nâng cao chất lượng học tập, việc đổi mới phương phápdạy học cần thực hiện theo định hướng hoạt động hoá người học, tức là tổ chứccho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực vàsáng tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu Đòi hỏi này xuất phát từnhững yêu cầu của xã hội đối với sự phát triển nhân cách của thế hệ trẻ, từnhững đặc điểm của nội dung mới và từ bản chất của quá trình học tập Để đápứng đòi hỏi đó, chúng ta không chỉ dừng ở việc nêu định hướng đổi mớiphương pháp dạy học, mà phải đi sâu vào những phương pháp dạy học cụ thểnhư những biện pháp để thực hiện định hướng nói trên Trong số đó, phươngpháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một trong những phương phápđáp ứng tốt định hướng trên

Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo những tìnhhuống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tíchcực chủ động và sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà kiến tạo trithức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích khác

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc điểm sau đây(Pietzsch 1981, tr 16- dẫn theo Nguyễn Bá Kim 2002):

- Học sinh được đặt và một tình huống gợi vấn đề chứ không phải làđựoc thông báo tri thức dưới dạng có sẵn

- Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huyđộng tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đềchứ không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động

- Mục đích dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội đượckết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ

làm cho họ phát triển khả năng tiến hành quá trình như vậy Nói cáchkhác, học sinh được học bản thân việc học.

Tuỳ theo mức độ độc lập của học sinh quá trình phát hiện và giải quyếtvấn đề, người ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hìnhthức khác nhau của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Vấn đáp phát hiện giải quyết vấn đề:

Trong vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề, học trò làm việc khônghoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý dẫn dắt của thầy khi cần thiết Phương tiện

để thực hiện hình thức này là những câu hỏi của thầy và những câu trả lời hoặchành động đáp lại của trò Như vậy, có sự đan kết, thay đổi hoạt động của thầy

và trò dưới hình thức vấn đáp

Với hình thức này, ta thấy dạy học phát hiện giải quyết vấn đề ó phầngiống với phương pháp vấn đáp Tuy nhiên, hai cách học này thật ra khôngđồng nhất với nhau Nét quan trọng của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đềkhông phải là những câu hỏi mà là tình huống gợi vấn đề Trong một giờ họcnào đó, thầy giáo có thể đặt nhiều câu hỏi, nhưng nếu các câu hỏi này chỉ đòihỏi tái hiện tri thức đã học thì giờ học đó vẫn không phải là dạy học giải quyếtvấn đề Ngược lại, trong một số trường hợp, việc giải quyết và phát hiện vấn đềcủa học sinh có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợi vấn đề chứ khôngphải là nhờ những câu hỏi mà thầy đặt ra

Thuyết trình và phát hiện giải quyết vấn đề:

ở hình thức này, mức độ độc lập của học sinh thấp hơn ở hai hình thứctrên Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề , sau đó chính bản thân thầy pháthiện vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề (chứ không phảichỉ đơn thuần nêu lời giải) Trong quá trình đó có sự tìm tòi, dự đoán có lúcthành công, có lúc thất bại, phải điều chỉnh phương hướng mới đi đến kết quả.Như vậy, tri thức trình bày không phải dưới dạng có sẵn mà là trong quá trìnhngười ta khám phá ra chúng, quá trình này là một sự mô phỏng và rút gọn quá

trình khám phá trật tự Cấp độ này được dùng nhiều ở những lớp trên nhưtrung học phổ thông, đại học.

Theo G Polya: giúp đỡ học sinh là nhiệm vụ quan trọng nhất mà ngườithầy phải làm, nhiệm vụ đó không phải là dễ, nó đòi hỏi phải có thời gian vàkinh nghiệm, phải có lòng tận tâm và những nguyên tắc đúng đắn Người họcsinh với sự nỗ lực của bản thân phải thu được càng nhiều càng tốt những kinhnghiệm độc lập công tác Nhưng nếu anh ta một mình đứng trước một bài toán

mà không có một sự giúp đỡ nào, hay với một sự giúp đỡ quá ít thì không cótiến bộ gì được Mặt khác, nếu thầy giáo giúp đỡ nhiều quá thì học sinh sẽchẳng còn gì phải làm Thầy giáo phải giúp đỡ một cách vừa phải, không nhiềuquá cũng không ít quá và như vậy để lại cho học sinh một phần công việc hợplý

Nếu khả năng của học sinh bị hạn chế, thầy giáo ít nhất cũng phải làmcho học sinh có cảm giác rằng anh ta tự làm lấy Do đó, sự giúp đỡ của thầygiáo cần phải kín đáo và không được bắt học sinh phải lệ thuộc vào mình

Tốt nhất là giúp học sinh một cách tự nhiên, thầy giáo phải đặt địa vị củamình là một học sonh, nghiên cứu trường hợp đặc biệt của anh ta, cố gắng hiểuxem anh ta nghĩ gì, đặt một câu hỏi hay hướng dẫn một bước suy luận mà học

sinh có thể tự mình nghĩ ra được [28, tr12]

Kết luận chương 1

Trong chương này, Luận văn đã trình bày các quan điểm của một số tácgiả về khái niệm kỹ năng và vai trò của kỹ năng trong dạy học toán Đồng thờicũng đề cập đến vấn đề đổi mới phương pháp dạy học

Chương 2Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong dạy học Đại số, giải tích

2.1 Những căn cứ để rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong dạy học Đại số, giải tích

2.1.1 Căn cứ 1: Căn cứ vào những khó khăn, sai lầm phổ biến của học

sinh khi giải Toán Đại số, Giải tích để xác định những kỹ năng cần tăngcường rèn luyện cho học sinh nhằm giúp học sinh khắc phục những khókhăn sai lầm này

2.1.2 Căn cứ 2: Dựa vào đặc thù và chất liệu Đại số, giải tích

2.1.3 Căn cứ 3: Thực tiễn dạy học Đại số, Giải tích ở trường học.

2.2 Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong dạy học Đại số, Giải tích

2.2.1.Kỹ năng 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy diễn (suy luận diễn

dịch) và khai thác triệt để các tình huống có thể rèn luyện cho học sinh

kỹ năng này (bằng kỹ năng rút ra hệ quả lôgic từ những tiền đề đã cho)

2.2.1.1.Theo tác giải Hoàng Chúng: “Suy luận là rút ra mệnh đề mới

từ một hay nhiều mệnh đề đã có”

Nếu ta bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng suy luận tức là ta đã bồi dưỡngcho học sinh một phần của tư duy toán học, bởi vì suy luận gắn chặt với suy

nghĩ Mặt khác, theo kết quả của Kôliagin: “Tư duy toán học bao hàm tư duy lôgí, mà tư duy lôgic có một thành phần là : rút ra kết luận từ những tiền đề”.

Suy luận diễn dịch hay còn gọi là suy luận suy diễn là suy luận theonhững quy tắc, xác định rằng nếu các tiên đề đúng thì kết luận rút ra cũngđúng

Không có ai hoài nghi với nhận định “Toán học là khoa học suy diễn”[27 ], “Kỹ năng suy diễn dịch là kỹ năng đặc trưng của tư duy toán

học” [3 tr.5]

Tuy nhiên, trong dạy học toán ở trường phổ thông điều đó chưa thực sự

ý thức một cách đầy đủ, chẳng hạn phương pháp dạy học hiện nay đang nặng

về lối “Thầy giảng – trò nghe”; giáo viên thường bao biện những bước suy

luận mà học sinh có thể tự mình giải quyết, giáo viên chưa sử dụng được hệthống câu hỏi và bài tập hợp lý, linh hoạt với từng đối tượng học sinh, nhiềubài trùng nhau về dạng, chỉ đòi hỏi áp dụng công thức, thiếu bài tập suy luậndiễn dịch, chưa khai thác triệt để những tình huống có thể rèn luyện có thể cóthể rèn luyện kỹ năng suy diễn; chưa khai thác tốt giữa những chủ đề kiến thức

với nhau thông qua những bước duy diễn không đến mức phức tạp “Logic của toán học không chỉ bao gồm các cách diễn đạt mang tính riêng lẻ mà còn có thể hiện tính hoàn chỉnh của nó” – Alêch xăngđôp (Bàn về toán học trong

nhà trường số 3 - 1980)

Theo lý thuyết tình huống để dạy cho học sinh một tri thức nào đó cáchlàm tốt nhất là cài đặt tri thức nào đó vào tình huống nàp đó thích hợp với họcsinh để học sinh lĩnh hội nó thông qua dạy học tích cực và sáng tạo, do dómuốn phát triển khái niệm suy diễn không thể nào đơn thuần thầy giáo suydiễn học sinh dõi theo, không thể không quan tâm đến những bài tập tương

thích với mục tiêu suy diễn Cũng theo lý thuyết tìng huống thì: “Một môi trường không có dụng ý sư phạm thì không đủ để chủ thể kiến tạo được tất cả kiến thức mà xã hội mong muốn họ lĩnh hội được”[ 17 ,tr.211]

Trong cải cách dạy và học toán ở trường phổ thông trên thế giới, bất kỳ

ở nước nào cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của việc giảng dạy các phươngpháp suy luận toán học trong trường phổ thông, vì nó nắm được các phươngpháp đó thì toán học mới có chất lượng tốt và mới có tiềm lực tiếp thu toán học

Ví dụ 1: Dạy học điều kiện để hàm số f(x) gián đoạn tại 1 điểm x0

Sau khi học sinh học định nghĩa hàm số liên tục, gián đoạn tại một điểm

có thể dẫn dắt học sinh tìm điều kiện để học sinh gián đoạn tại một điểm quamột số câu hỏi:

- Hãy cho hàm số gián đoạn tại một điểm x0 có nghĩa là gì? (tức làhàm số không liên tục tại điểm x0)

- Với điều kiện gì đẻ hàm số f(x) không liên tục tại một điểm x0?Nếu học sinh gặp khó khăn thì có thể dẫn dắt học sinh tiếp:

- Nếu điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) liên tục tại điểm x0? (f(x)xác định tại x0, tồn tại limf(x) và limf(x) = f(x0)

nh nglimf(x)t¹i

tånxt¹iÞnhx¸c

f(x)

t¹itån kh«nglimf(x)

nh ngx

t¹iÞnhf(x)x¸c

xt¹iÞnhx¸c

kh«ngf(x)

0 0

0

0

0 x x 0

x x

0 x x

,

Qua ví dụ trên, người thầy giáo đã biết lợi dụng sự phân bậc hoạt động

để điều khiển quá trình dạy học theo hướng tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cầnthiết

Ví dụ 2: Dạy về chiều biến thiên của hàm số bậc hai:

y = ax2 + bx + c (a > 0)

Sau khi lập tỷ số a(x x ) b

xx

yy

2 1 1

, không nên đột nhiên thông báo

với HS rằng: Nếu x2 và x1 thuộc 

b

thì

1 2

1 2

xx

yy



 > 0, mà có thể nêucho học sinh câu hỏi:

Biểu thức a(x 2 + x 1 ) + b sẽ chắc chắn dương nếu như x 2 và x 1 thuộc vào khoảng nào?

xx

yy

2 1 1

b

thì

1 2

1 2

xx

yy



 > 0, mà có thể nêu cho học sinhcâu hỏi:

Biểu thức a(x 2 + x 1 ) + b sẽ chắc chắn dương nếu như x 2 và x 1 thuộc vào khoảng nào?

Ví dụ 3: Sau khi học xong Định lý về dấu của tam thức bậc 2:

Cho tam thức: f(x) = ax2 + bx + c (a  0)

Nếu Ä < 0 thì af(x) > 0 x

Nếu Ä = 0 thì af(x) > 0 x 

a2

- Muốn f(x) luôn nhận dấu dương với mọi x, cần có những điều kiện gì?

(f(x) luôn nhận dấu dương tức là f(x) luôn giữ nguyên một dấu  Ä < 0 Với Ä

< 0 thì f(x) luôn cùng dấu hệ số a với mọi x, từ đó a > 0 Ngược lại, nếu a >0;  < 0 thì f(x) luôn cùng dấu hệ số a, tức là f(x) > 0 x Vậy điều kiện cầntìm là a > 0, Ä < 0).

Những câu hỏi dẫn dắt trên đây có dụng ý giúp HS đi đến một kiến thức rất quan trọng của Đại số 10, đó là tam thức không đổi dấu.

Tuy nhiên, cần tính đến một tình huống: HS gặp khó khăn ở câu hỏi thứ

hai, khi đó có thể dẫn dắt thêm: Nếu f(x) luôn nhận dấu dương với mọi x thì

dấu của f(x) có thay đổi hay không? Vậy thì Ä phải như thế nào?

b) Có những tính chất có thể suy ra một cách trực tiếp từ định lý trước

đó mà không trải qua nhiều bước suy diễn nên để học sinh độc lập chiếm lĩnh.

Viện sỹ A.Đ.Alêcxanđrov đã phát biểu: “Nếu chúng ta không tư duy lôgic thì phải dạy chính nó chứ không phải dạy lập luận có sẵn ”[ 1 ,tr59]

Ví dụ 4: Sau khi học sinh đã học định lý: “Một dãy có giới hạn thì bị

chặn” , giáo viên có thể hỏi học sinh các câu hỏi kiểu sau:

- Một dãy không bị chặn có hội tụ không?

- Một dãy bị chặn thì dãy đó có hội tụ không?

Qua ví dụ trên, nếu thầy giáo không cho học sinh luyện tập các bước suy

diễn đơn giản thì học sinh sẽ mắc phải sai lầm: “Một dãy bị chăn thì hội tụ” ở

đây học sinh đã nhầm lẫn giữa quy tắc: P  Q thì Q  P

Việc yêu cầu học sinh như vậy có tác dụng tập luyện cho học sinh hoạtđộng lật ngược vấn đề, đồng thời khắc phục những sai lầm kiểu như trên

Ví dụ 5: Sau khi dạy bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm có thể

yêu cầu học sinh phát biểu bất đẳng thức Cauchi cho 3 và cho n số

c) Chú trọng khai thác những tình huống mà ở đây vừa luyện tập đượckhái niệm suy diễn, vừa nảy sinh áp dụng để giải quyết những vấn đề liên quan.Đồng thời lưu ý việc gợi động cơ, truyền thụ tri thức phương pháp trong nhữngtrường hợp này

Ví dụ 6: Khi dạy hàm số tuần hoàn, thầy giáo không chỉ đặt mục tiêu là

học sinh nắm được khái niệm mà còn vươn tới việc làm cho học sinh biết vậndụng nhữg kiến thức này trong khi xử lý một số vấn đề liên quan

Có thể nêu câu hỏi: giả sử f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ T, a là hằng số,biết rằng phương trình: f(x) = a có một nghiệm x0 [0,T], hỏi phương trình cónghiệm khác nào?

Học sinh trả lời: x0 là n0  f(x0) = a, f(x) tuần hoàn chu kỳ T, nên f(x0 +kT) = f(x0) = a (kZ)

Để củng cố có thể cho học sinh giải các bài toán:

1 Giải bất phương trình: a) Sin2x >sin4x

b) sinx +sin3x < sin2x + sin4x

2 Các bài toán hàm số lượng giác:Chẳng hạn vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 7: Sau khi học định nghĩa tiếp tuyến của đường cong ta có 4 bài

toán về tiếp tuyến như sau:

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x, m) tại 1 điểm

M(x0,y0) (C)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp

tuyến là k

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x,m) biết tiếp

tuyến đi qua điểm A(xA, yA)

Bài toán 4: Biện luận về số tiếp tuyến có tính chất nào đó kẻ được từ 2

điểm tới đồ thị (C) : y = f(x,m)

Tuỳ theo mức độ của từng đối tượng học sinh mà có thể dẫn dắt học sinhchiếm lĩnh bài toán 2, 3, 4 từ bài toán 1 hoặc từ bài toán 1 sang bài toán 4

Như vậy, giáo viên đã vận dụng quan điểm hoạt động thể hiện qua tưtưởng phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học.

Ví dụ8: Trong chương trình phân Ban sách giáo khoa 10 hiện nay định lýđảo về dấu của tam thức bậc hai không đưa vào ,nhưng định lý này có ứngdụng hết sức phong phú Vì vậy giáo viên có thể dẫn dắt để học sinh tìm rađịnh lý này như sau:

Để dẫn đến Định lý đảo, có thể yêu cầu HS trả lời câu hỏi: Nhìn vào Định

lý về dấu của tam thức bậc 2, hãy cho biết, trong trường hợp nào thì tồn tại một số  để f() trái dấu với hệ số a? (Đáp:  > 0).

Hãy so sánh số  với các nghiệm của tam thức f(x)? (Đáp: x1 <  < x2)

Sau khi HS trả lời các câu hỏi này, thầy giáo thực hiện khâu thể chế hoá [17, tr 208], xác nhận định lý và tiếp tục nhấn mạnh rằng: Trước đây, muốn

chứng minh phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt, ta phải tính  và

chứng minh  > 0 Tuy nhiên, điều đó không phải bao giờ cũng dễ dàng thực

hiện được Nay, có thêm một phương pháp mới, đó là chỉ ra một số  thích

hợp sao cho af() < 0 Theo cách này, khâu mấu chốt là phải “mò mẫm” được

số , để “mò mẫm”, cần phải dựa vào đặc thù của f(x) và có thể phải trải qua

một số lần thử nhất định

Để củng cố, có thể cho HS làm bài tập sau: Chứng minh rằng tam thứcf(x) = (x - m)(x - n) + (x - n)(x - p) + (x - p)(x - m) có 2 nghiệm phân biệt,trong đó m < n < p

Nếu HS gặp khó khăn trong khâu tìm , có thể gợi ý thêm:

- Các hệ số của f(x) phụ thuộc những số nào? Dấu của f(x) còn phụ thuộc vào tương quan của x với những số nào? (Với m, n, p)

- Trước hết hãy thử xét xem, bản thân các số đó khi đem thay vào f(x) sẽ cho kết quả với dấu như thế nào?

Sau khi lần lượt thay m, n, p vào f(x), HS sẽ phát hiện ra rằng 3f(n) < 0, và

đi đến khẳng định: Tam thức có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 <

n < x2

2.2.2 Kỹ năng 2: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng mò mẫn, dự đoán, kết

hợp hữu cơ giữa dự đoán và suy diễn trong quá trình giải quyết vấnđề

2.2.2.1.Vấn đề phát triển kỹ năng dư đoán và suy đoán là rất rộng vàkhó, bởi vậy chúng tôi chỉ xem xét kỹ năng này trên một số khía cạnh của dựđoán mà thôi

Trong nhiều tài liệu viết về dự đoán có rất nhiều tác giả đưa ra các thuật

ngữ khác nhau, chẳng hạn như "phán đoán", … Tuy nhiên, nói chung lại thì

đều rằng: từ dụ kiện của bài toán ban đầu, hoặc các kiến thức đã có bằng một

số hoạt động toán học có thể dự kiến, định lượng được kết quả bài toán

Khi xét về nguồn gốc và sự phát triển của toán học tác giả Nguyễn Bá

Kim đã phát biểu: "Nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi, dự đoán, vẫn có "thực nghiệm" và "quy nạp"

Còn nhà toán học và là nhà sư phạm nổi tiếng người Mỹ - GPôlya chorằng: “Kết quả công tác sáng tạo của nhà toán học là suy luận, là chứng minh.Nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lý, nhờ dự đoán Nếuviệc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó thì việc hình thành toán học như thếnào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có

lý’’[27, tr.6].“Với ai đang học toán tất nhiên sẽ học chứng minh, nhưng phải học cả dự đoán nữa” [ 27]

Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn cũng có nhiều quan điểm tương đồng vớiGPôlya Ông rất coi trọng quan điểm dạy cho học sinh mò mẫm, dự đoánnhững cách giải mày mò, mù quáng trước những vấn đề không vội vàng, …

[38, tr.243]

Thế nhưng trong dạy toán ở trường hiện nay, việc tạo ra các tình huống

để học sinh dự đoán dường như không có Điều này được thể hiện: Nhiều giáoviên luôn luôn bằng cách nào đó để được bài giảng sinh động, truyền kiến thứccàng nhiều cho học sinh càn tốt Phải chăng, họ cho rằng: Nếu để học sinh dựđoán thì sẽ tốn nhiều thời gian, khối lượng kiến thức truyền thụ sẽ bị hạn chế

Thực ra, nếu để học sinh dự đoán tìm tòi mò mẫn đúng là tốn thời gian,khối lượng kiến thức truyền thụ kiến thức cho học sinh được ít trong một tiết

học nhưng “sẽ được đền bù nhanh chóng khi tư duy độc lập của học sinh đã

phát triển” [ 5, tr.115].

Phương pháp dạy học này làm cho học sinh gặp phải một số sai lầm, khókhăn trước những bài toán có dạng tìm tòi (tìm quỹ tích, tìm giá trị nhỏ nhất)hoặc nhiều lúc giáo viên trình bày kiến thức một cách áp đặt mà học sinhkhông biết do đâu mà có điều đó (như: kẻ đường phụ, thêm bớt một lượng nào

tgA

2

2sin

B

cos

sincos

sin

  sinB.cosB = sinA.cosA  sin2A = sin2B

 2A = 2B  tâm giác ABC là tam giác cân

ở đây học sinh đã mắc phải sai lầm là chưa nắm chắc chắn cách giảiphương trình lượng giác cơ bản: sin   sin  và chưa sử dụng hết giả thiết A,

B, C là 3 góc của tam giác, đồng thời kết luận của giả thiết còn thiếu

Nếu học sinh có thói quen dự đoán, suy đoán thì họ sẽ biết định hướngbài toán như sau:

Xuất phát từ chỉ quan sát thấy vai trò của một góc B, A bình đẳng vớinhau trong đẳng thức đã cho, ta dự đoán rằng: Nếu ABC cân thì chỉ có thể A^

Do a, b N và tổng a + b không đổi nên áp dụng bất đẳng thức Cauchicho 2 số ta có:

Sai lầm của học sinh trên là chưa nắm được đầy đủ cấu trúc định nghĩagiá trị lớn nhất: Nếu biêu thức A  a thì chưa khẳng định chắc chắn giá trị lớnnhất bằng a mà phải xét thêm điều kiện dấu “=” xẩy ra

Bên cạnh đó có học sinh giải như sau:

Sau khi chứng minh

Nếu học sinh có thói quen dự đoán thì sẽ biết thử một số trường hợp:

Ta cho (a,b) cặp giá trị, chẳng hạn a tự tăng dần

Đó chỉ là điều dự đoán Do vậy ta cần phải tiến hành các bước chứngminh để khẳng định hay bác bỏ điều dự đoán ở trên Ta hãy biểu diễn tích abqua a + b (giả thiết) và b – a (điều dự đoán).

Để xuất hiện tích ab ta có thể bình phương đối với a + b và b – a Khi đó:

ab =    

4

2 2

a b b

Vì a + b = 2003 nên bài toán được chuyển thành: Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức ab =    

4

2003 2  b  a 2 với điều kiện ràng buộc của bài toán

Qua sự mò mẫm, dự đoán giúp cho học sinh giải quyết bài toán một cáchhoàn chỉnh, có cơ sở - điều mà nhiều học sinh không giải được

Từ ví dụ trên cho ta thấy rằng trong dạy học Toán không rèn luyện chohọc sinh kỹ năng dự đoán thì nhiều học sinh phải bó tay trước những bài toánkhông quá phức tạp

2.2.2.2 Những yêu cầu và biện pháp thực hiện để rèn luyện cho học sinh những kỹ năng dự đoán:

Tác dụng phát triển tư duy của môn Toán không phải chỉ hạn chế ở sựrèn luyện tư duy lôgíc mà còn ở sự phát triển kỹ năng suy đoán và tưởng tượngpháp [20, tr 30]

Vậy để rèn luyện cho học sinh kỹ năng này cần:

a) Thứ nhất: có quan điểm và thái độ đúng mực với việc tập luyện cho

học sinh dự đoán

Trong dạy học toán không chỉ hoàn toàn bỏ qua việc tập luyện cho họcsinh suy đoán, tuy vậy không nên thoái quá đối với vấn đề dự đoán chẳng phảikhi nào cũng buộc học sinh dự đoán và không phải trong những trường hợp đều

có hàm lượng dự đoán như nhau Giáo viên cần căn cứ vào trình độ nhận thứccủa học sinh để yêu cầu mức độ độc lập của học sinh dự đoán, đối với vấn đềnào đó thì chỉ cần họ dự đoán một phần

Tác giả P.I.pitcatxixtur và B.I.Cosơtiaiev “phù hợp với dự đoán chỉ là những thông tin khoa học vào phản ánh các mỗi liên hệ và quan hệ; giữa các

hiện tượng và quá trình, các cách thức và thủ pháp phát hiện ra chúng và có thể sắp đặt trên cơ sở tuân thủ một logíc nhất định”

Ví dụ 11: Chúng ta có thể yêu cầu học sinh độc lập dự đoán công thức

tính đạo hàm tổng quát của hàm y = xn , n Z; bởi vì học sinh đã biết cách tínhđạo hàm của một tích và đạo hàm hàm số y = x

Một ví dụ khác cũng có thể cho học sinh độc lập dự đoán:

Ví dụ12: Với giá trị nào của n Z+ thì 3n > 7n + 6 Sở dĩ có thể tin vào

sự độc lập của học s\inh bởi vì phạm vi ta xét chỉ là n Z+, vì vậy nó có độ rờirạc, hơn thế nữa bằng sự so sánh các trường hợp cụ thể học sinh có thể thấyđược rằng một khi 3k > 7k + 6 tất thảy n > k đều thoả mãn 3n > 7n + 6

Ví dụ 13 : Đối với bài toán sau mà yêu cầu học sinh dự đoán về kết quả

cụ thể thì bất hợp lý: Tìm tổng S = 5 + 55 + 555 + …+   

sè n

5

5

b) Thứ hai: Cần làm cho học sinh hiểu được bản chất của dự đoán chỉ

là những gợi ý giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuậtgiải đảm bảo chắc chắn dẫn tới thành công, dự đoán không thểthay thế được chứng minh và vì vậy muốn có lời giải trọn vẹnthì sau bước dự đoán còn có hoạt động chứng minh

Ví dụ 14: Cho hàm số bậc hai trên bậc nhất:

y =

1

1 3

Ví dụ 15: Khi học sinh học tính chất về hàm số đồng biến có thể cho

học sinh dự đoán tích của hai hàm số đồng biến không?

Một số học sinh cũng dự đoán rằng tích 2 hàm số đồng biến là đồng biến, tuynhiên điều này không đúng vì y = x, y = x3 là 2 hàm số đồng biến nhưng tích y

= x4 không đồng biến

Hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y = 2x

tương đương với hệ 2

Từ trực quan của hình vẽ học sinh dự

đoán rằng cực đại, cực tiểu nằm về hai phía

của một đường thẳng nghĩa là đồ thị hàm số

không cắt đường thẳng y2x Nhưng thực

ra đường thẳng y = 2x có thể cắt đồ thị tại

hai điểm phân biệt mà điểm cực đại, điểm

cực tiểu vẫn nằm khác phía so với đường

thẳng y = 2x

Lẽ ra học sinh phải giải như sau: Hàm

số có cực đại và cực tiểu tương đương với m < 3 Gọi Ax ; y1 1, Bx ; y2 2 làcác điểm cực trị của đồ thị hàm số Phương trình đường thẳng đi qua hai điểmcực trị là: y = - 2x + m, khi đó y1 2x1 m; y2 2x2 m Để A và B nằm

về hai phía của đường thẳng y 2x cần và đủ là 2x1  y1 2x2  y2 0 

xx

2

x1

Hình 1

c) Thứ 3: Trong quá trình tập luyện cho học sinh dự đoán cần động

viên khích lệ nhưng đồng thời cũng thể hiện quan hệ biệnchứng giữa suy diễn và quy nạp

Hoạt động dạy và học đương nhiên chịu ảnh hưởng của những yếu tốtâm lý Học sinh chỉ tích cực suy nghĩ nếu có hứng thú học tập, và nhưSkuchetki đã chỉ ra: Hứng thú thường mang màu sắc xúc cảm, bởi vậy sự độngviên khích lệ cũng là điều nên cần thiết Chúng ta không nên nghĩ rằng trongquá trình dạy học chỉ cần truyền thụ sao cho đầy đủ, chính xác là được Yếu tốtâm lý luôn có một vai trò quan trọng tác động đến việc chiếm lĩnh tri thức

Nếu thầy giáo yêu cầu học sinh dự đoán trường hợp cụ thể, có thể họđưa ra câu trả lời chưa đúng, lúc đó đừng vội vàng bác bỏ mà đưa ra một phản

ví dụ để định hướng cho học sinh hướng dự đoán của mình “Chỉ có sự hoạt động của giáo viên thường xuyên khích lệ,nhưng vẫn luôn tự do trong việc mò mẫm và ngay trong cả nhũng sai lầm ,mới có thể đưa tới sự độc lập về mặt tri

tuệ” [16., tr 19]

Đối với những vấn đề mà thầy giáo biết học sinh dự đoán đúng thì cũng

chưa nên nói ngày rằng “em đã dự đoán đúng” và thay bằng “em hãy kiểm tra

dự đoán của mình thêm một lần nữa” Đồng thời chúng ta cũng chhỉ ý rằng đối

với những câu trả lời học sinh chưa được như mong đợi của minh thì thầy giáo

có thể dẫn dắt thêm để hướng đến câu trả lời chuẩn xác

Ví dụ 17: Hướng dẫn học sinh giải bài toán: Cho a, b  N, a  1002 vàa+b = 2003 Tìm giá trị lớn nhất của A = ab

Có thể hỏi học sinh :

- Hãy cho (a,b) các cặp giá trị thoả mãn điều kiện bài toán, chẳng hạn(0, 2003); (1, 2002); (2, 2001), … thì A thay đổi như thế nào?(a càng lớn thì ab càng lớn)

- Từ điều kiện bài toán khi a tăng thì hiệu b – a sẽ như thế nào? (a tăngthì b – a càng nhỏ)

- Hãy biểu diễn A = ab qua a + b và b – a

Ví dụ 18: Cho x, y là hai số dương Đặt s là số nhỏ nhất trong các số x, y

- Do S chưa xác định là số nào trong 3 số trên, vậy để chứng minh Sthoả mãn tính chất nào đó ta có thể có những phương pháp gì?(Phương pháp phản chứng hoặc phương pháp phân chia trường hợp)

- Giả sử điều dự đoán không đúng, khi đó ta có điều kiện gì? (x > 2,

Làm cho học sinh thấy được ý nghĩa của hoạt động dự đoán không cónghĩa là ta chỉ nhấn mạnh bằng lời mà phải thông qua những tình huống để rồi

từ đấy thuyết phục và tác động đến cảm nhận của học sinh

Muốn học sinh ý thức được ý nghĩa của hoạt động dự đoán thì trong dạyhọc cần tạo ra các tình huống để thông qua đó học sinh thấy được rằng trongvấn đề này khâu then chốt nằm ở chỗ dự đoán Nhờ dự đoán mà mình đưa racách biểu diễn hợp lý và các thao tác phù hợp

Ta xem xét các ví dụ sau:

Ví dụ19: Sau khi học sinh giải xong bài toán: : Cho a, b  N, a  1002

và a + b = 2003, tìm giá trị lớn nhất của A = ab” bằng cách biểu diễn:

A = ab =        

4

120034

ab2003

4

abb

a  2   2 Sở dĩ có sự biểu diễn như vậy là nhờ có hoạt

động dự đoán ở trên

2.2.3.Kỹ năng 3: Kỹ năng phân chia trường hợp riêng:

2.2.3.1 Phân chia 1 khái niệm tức là đem ngoại diên của khái niệm ấy

chia ra làm nhiều bộ phận Nói cách khác, phân chia khái niệm là vạch rõ cáckhái niệm thu hẹp hơn của khái niệm đã cho [4, trang 141]

Phân loại là phân chia một tập hợp các đối tượng cho trước thành nhữngtập hợp con, dựa trên cơ sở một dấu hiệu chung

Giữa phân chia và phân loại không có sự phân biệt rõ ràng, người tathường dùng phân loại theo nghĩa phân chia khái niệm [4, trang 141]

Khi định nghĩa một khái niệm thì nội dung và phạm vi của nó được xácđịnh, phạm vi của một khái niệm sẽ còn được sáng tỏ hơn nưa nhờ sự phânchia khái niệm Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu hiện củaviệc nắm vững khái niệm Toán học cũng như khái niệm thuộc bất kỳ môn họcnào

Nhiều khi học sinh phải nắm vững chẳng những định nghĩa mà cả cáchphân chia khái niệm mới có thể giải toán hay xem xét các vấn đề liên quan

ý nghĩa của hoạt động phân loại, phân chia hệ thống các khái niệm (mộttrong những dạng quan trọng của hoạt động trí tuệ) vượt xa ra khỏi phạm vicủa việc nắm vững các kiến thức toán học, nó cần thiết cho bất kỳ lĩnh vựchoạt động nào của con người

trong quá trình phân chia có thể gặp một loạt sai lầm Muốn tránh đượcnhững sai lầm này cần phải tuân theo những quy tắc sau:

- Sự phân chia phải cân đối

- Sự phân chia phải được tiến hành theo một cơ sở

- Các thành phần phân chia phải loại trừ lẫn nhau

- Sự phân chia phải liên tục

2.2.3.2.Nhiều công trình nghiên cứu đã khẳng định tầm quan trọng của

kỹ năng phân chia các trường hợp riêng trong dạy học toán Chẳng hạn,A.I.Marcusêvich khi xem xét những kỹ năng cần bồi dưỡng cho học sinh cũng

đề cập đến kỹ năng phân tích một số vấn đề thành những trường hợp riêng

Tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, nhấn mạnh rằng: “kỹ năng phân chia khái niệm (phân loại) cần được chú ý thích đáng trong môn toán

cũng như ở các môn học khác” [20, tr 92].

Các tác giả như : A.A.stôlia, P.M.Ecđơnliev, … cũng khẳng định vai tròcủa kỹ năng phân loại chia trường hợp riêng trong các tài liệu của mình

Trong PPDH môn Toán, tác giả Nguyễn Bá Kim cũng đề cập đến vai trò

của kỹ năng này: “Tập luyện cho học sinh phân chia khái niệm là tạo tiền đề cần thiết để biện luận trong những bài toán quỹ tích, dựng hình và giải nhiều bài toán khác dựa trên sự phân chia trường hợp”.[ 17 ]

2.2.3.3 Trong môn toán THPT, nói riêng trong Đại số, Giải tích có

nhiều tình huống liên quan mật thiết với phân chia và xem xét các trường hợpriêng

2.2.3.4 Thực tiễn sư phạm và cuộc điều tra thăm dò cho thấy học sinh

gặp nhiều khó khăn và sai lầm khi giải toán liên quan đến phân chia trườnghợp riêng

Do phạm vi của luận văn nên tác giả chỉ nêu lên một số sai lầm điểnhình trong dạy học giải các bài toán liên quan đến phương trình, bất phươngtrình, hệ phương trình đồng thời đề xuất một số biện pháp (tiêu chí) giúp họcsinh biết cách phân chia các trường hợp riêng nhằm khắc phục những sai lầmtrên.

Những sai lầm thường gặp trong dạy học phương trình

a) Không nắm vững bản chất của tham số, lẫn lộn giữa cụm từ “giải và biện luận theo m” và “tìm m để phương trình, bất phương trình có nghiệm”

Ví dụ20: Giải và biện luận phương trình: m(x + m) = x + 1 (1)

Có nhiều học sinh biện luận: phương trình (1)  (m - 1)x = 1 – m2

 x = - m – 1 với m  1 Và họ kết luận rằng nghiệm của phương trình là

1

m x m

Thực ra thì có thể nói rằng với m 1, nghiệm của phương trình x = - m – 1, chứkhông có quyền áop dụng cho m điều kiện m 1, bởi vì giải và biện luận phảixem xét tất cả các trường hợp có thể xẩy ra và kể cả trường hợp phương trình

vô nghiệm ta cũng phải xét đến Một phương trình có chứa tham số m mà ta lạibiến đổi về một hệ mớ, ở trong hệ ấy có cả điều kiện cho m thì là sai

ở đây học sinh đã “quy” bài toán giải và biện luận về bài toán tìm m để

Về bài toán này ta thấy có điều thú vị sau: Tác giả đã sắp đặt các con số

để từ bất phương trình có ẩn chuyển về 1 bất phương trình không còn ẩn, tạo ramột cái bẫy đối với học sinh Nếu nắm chắc khái niệm thì học sinh phải trả lờirằng với m2 -5m + 6  0 tức m  [2,3] thì nghiệm của bất phương trình là 

x và với x  [2,3] thì bất phương trình vô nghiệm Nói một cách khác học sinhphải luôn nhớ cái tìm là ẩn chứ không phải là tham số m.

Ví dụ 22: Giải và biện luận phương trình

x 1 2x m  

Có học sinh giải như sau: với x1 nghiệm của phương trình là

xm 1; với x < 1 nghiệm của phương trình là x m 1

Xét dấu ’ = m + 2

+ Nếu ’ < 0  m + 2 < 0 thì (1) vô nghiệm

+ Nếu ’ = 0  m + 2 = 0 thì (1) có nhgiệm kép x1 = x2 =

2 1

+ Nếu ’ > 0  m + 2 > 0  m > -2 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt:

Sai lầm của học sinh ở đây là không nắm được định nghĩa phươngtrình bậc 2 một ẩn nên không thấy được suy biến của phương trình Hơn thếkhi kết luận về nghiệm, học sinh cũng không nắm được điều kiện để phépchia thực hiện được

Ví dụ 24: Một số học sinh đã giải bất phương trình:

3

1 2

x x x

 mà quên điều kiện b, d > 0

Ví dụ 25: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: y = x

x m Học sinh cho rằng đường thẳng x = m là tiệm cận đứng và đường thẳng

y = 1 là tiệm cận ngang

Thực ra khi m = 0 thì y x 1

x

  với tập xác định x0 Lúc này đồ thịcủa y là đường thẳng y = 1 bỏ đi một điểm Không thể xem đường thẳng

xm0 (tức trục tung) là tiệm cận đứng được Theo nghĩa rộng ta có thểxem y = 1 là tiệm cận ngang

c, Nắm không chính xác về điều kiện để có thể thực hiện các phépbiến đổi tương đương:

Ví dụ 26: Giải bất phương trình :

m

mx mx

số âm và đổi chiều thì được bất phương trình tương đương”

ở đây học sinh đã nhân cả 2 vế của bất phương trình (1) với m được bấtphương trình (2) tương đương (1), thực ra điều này chỉ đúng trong trường hợp

m > 0 (Do m là tham số khác 0 nên m có thể m > 0 hoặc m < 0)

Ví dụ 27: Giải phương trình:

1 1

1

0 1 0

1

0 1 1

0 1

0 1

x x

x x

1   

x

vì x 1 thì x 1  x 1 nên x 1  1  x 1

Vậy phương trình vô nghiệm

Sai lầm khi giải hệ:

0 1

0 B 0

A

0 A.B

ở lời giải trên thiếu x = -1 và đó chính là nghiệm của phương trình Nhớrằng:

0 A

nghÜa cã

B

0 A

0 A

0 A.B

Thực ra phương trình (1) đã cho chỉ tương đương với phương trình

x2 + 2mx = x – 1 (2) với điều kiện

Do đó đáng lẽ phải nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có duy nhất

một nghiệm x > 1, rồi từ đó chuyển về xét hai trường hợp:

0b12a

d, Chưa nắm chắc một số khái niệm toán học cơ bản

Ví dụ 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F(x,y) = (ax + y)2 + (x + y + 1)2

Một số học sinh đã mắc phải sai lầm sau:

0 y ax

đưa hệ này về phương trình (1 - a)x = -1Với a = 1 thì phương trình vô nghiệm  hệ vô nghiệm nên F(x,y) không đạtgiá trị nhỏ nhất

e, Khi giải và biện luận phương trình, bất phương trình có chứa tham số

dù rằng đã nắm được bản chất của tham số nhưng học sinh gặp khó khănkhông biết phân chia thành các trường hợp riêng như thế nào

Đây có thể là khó khăn lớn nhất của học sinh trong quá trình giải toánliên quan đến sự phân chia Về phương diện này người thầy thì lắm lúc trìnhbày cho học sinh mang tính chất áp đặt, có vẻ hình như thầy chỉ quan tâm đếntính đúng đắn của từng khâu biến đổi chứ không quan tâm dến việc làm nhưthế nào đó để học sinh hiểu rõ tại sao lại chia các trường hợp cụ thể như vậy

Ví dụ 30: Giải và biện luận phương trình : 2x 1 m 1 (1)

Ta xét 2 trường hợp m > -1 và m  -1 Nhưng ta phải phân tích để học sinh

hiểu tại sao lại phân chia như vậy

Ví dụ31 : Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình

x a  x 2a  x 3a (1)

Gặp bài toán này, học sinh hầu như không biết nên phân chia tham số athành những trường hợp nào Nhiều học sinh cứ ngỡ rằng 3 số: a, 2a, 3a thì dĩnhiên 3a là lớn nhất, do đó điều kiện của bất phương trình chỉ là x > 3a và biếnđổi

TH 2: Nếu a > 0, điều kiện của x là x  3a, khi đó bất phương trìnhtương đương với 4a - x > x 2a x   3a (2), vì a > 0 nên (2)

Việc phân chia 3 trường hợp a = 0; a < 0; a > 0 căn cứ một phần quantrọng vào việc tìm điều kiện chung để thay thế cho 3 điều kiện: xa; x2a;

x3a Phần sau của Luận văn sẽ trở lại vấn đề này

f, Do hiểu sai yêu cầu của bài toán nên phân chia thiếu trường hợp

Ví dụ32 : Tìm m sao cho phương trình:

2 2

x  (2m1)xm 0 chỉ có một nghiệm thỏa mãn x > 3

Có nhiều học sinh lập luận: yêu cầu của bài toán tương đương vớiphương trình có nghiệm kép lớn hơn 3

1

4S

53

m2

1 2

x  3 x và 3x1 x2 thành một trường hợp x1  3 x2 Tuy nhiên đã viết

điều kiện bỏ sót trường hợp x1 S 3 x2

2

   Ngoài các sai lầm trên thì, trong phân chia trường hợp riêng, học sinhcòn mắc nhiều sai lầm khác, chẳng hạn, trong quá trình phân chia có thể bỏ sótcác trường hợp; phân chia trồng chéo; trùng lặp hoặc mắc phải sai lầm trongbiến đổi và tính toán

2.2.3.5 Việc sửa chữa những sai lầm của học sinh khi phân chia trường

hợp riêng và khắc phục những khó khăn trong quá trình giải toán, đương nhiênliên quan trực tiếp với việc tập luyện cho họ những hoạt động tương thích vớiviệc giải quyết vấn đề liên quan đến vấn đề phân chia trường hợp riêng

Nói cách khác, không phải chỉ theo lối thầy giảng trò nghe mà cần đề ranhững câu hỏi, những thức mệnh lệnh mà theo đó học sinh phải tích cực suynghĩ là giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức chủ động, kiến thức bền vững và đồngthời đáp ứng tốt quan điểm hiện tại về dạy học

Vấn đề rèn luyện cho học sinh những kỹ năng này phù hợp với quanđiểm dạy học giải quyết và phát hiện vấn đề:

- Học sinh được đặt vào một tình huống gợi vấn đề, chứ không phảithông báo tri thức dưới dạng sẵn có

- Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo, tận lực huyđộng tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đềchứ không phải nghe thầy giảng một cách thụ động

Do vậy người giáo viên cần phải tự tích luỹ cho mình một số cách pháthiện tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia trường hợp Sau đây là những cáchthông dụng để dẫn học sinh phân chia trường hợp riêng trong dạy học các bàitoán liên quan đến phương trình, bất phương trình:

a) Giả thiết tạm thời và phủ định mệnh đề:

Có nhiều bài toán biện luận, khi giải nó trước hết ta làm công việc tìmđiều kiện cần để phương trình có nghiệm Sau khi tìm được điều kiện đó rồi ta

lập tức có ngay một kết quả đầu tiên đó: khi tham số không thoả mãn điều kiện

ấy sẽ suy ra ngay phương trình vô nghiệm

Ví dụ33: Giải và biện luận phương trình:

- Như vậy phương trình sẽ vô nghiệm trong trường hợp nào?

- Hãy giải phương trình trong mỗi trường hợp còn lại

Dụng ý của những câu hỏi kiểu như trên làm cho học sinh thấy việc xét

(1)

Có thể hỏi học sinh :

- Giả sử các biểu thức của (1) có nghĩa thì a phải thoả mãn điều kiện gì?

- Các biểu thức của (1) vô nghĩa khi nào?

Những câu hỏi như vậy giúp học sinh đi đến xét 3 trường hợp : a > 0,

a < 0, a = 0

b) Tìm một điều kiện chung để thay thế cho mọi điều kiện:

Một phương trình hoặc bất phương trình chứa tham số m, khi ta tìm tậpxác định của nó ta phải đặt ra các điều kiện 1, 2, 3, … Đứng trước một hệ thống

điều kiện như thế ta có nhu cầu đưa một điều kiện “tương hoà”, muốn vậy thì

ta phải xem xét trong hoàn cảnh nào thì điều kiện nào là hệ quả trực tiếp củađiều kiện nào

Ví dụ 35: Giải và biện luận phương trình:

a x a x a

Có thể dẫn dắt học sinh giải bài này bằng những câu hỏi sau:

- Điều kiện của ẩn là gì?

a x

a x

3 2