B2 cuc tri ham so

CÁC BƯỚC TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ QUY TẮC 1: Áp dụng định lý 1... Điểm cực đại của hàm số đã cho làCâu 3.. Cho hàm số yf x có bảng biến thiên như sau Giátrị cực đại của hàm số đã cho

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT

KHÁI NIỆM: Cho hàm số yf x 

xác định và liên tục trên khoảng a b; 

(có thể a là  ; b là )

và điểm x0a b; 

■ Nếu tồn tại số h  sao cho 0 f x  f x 0 với mọi xx0 h x; 0h và x x thì ta nói hàm số0

 

f x

đạt cực đại tại x 0

■ Nếu tồn tại số h  sao cho 0 f x  f x 0 với mọi xx0 h x; 0h và x x thì ta nói hàm số0

 

f x

đạt cực tiểu tại x 0

Chú ý:

■ Nếu hàm số f x 

đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x thì 0 x được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu)0

của hàm số; f x 0

được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu là f CD f CT

, còn điểm M x f x 0;  0 

được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

■ Các điểm cực đại cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

■ Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số yf x 

có đạo hàm trên khoảng a b; 

và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x thì 0 f x ' 0 0

ĐỊNH LÝ 1: Giả sử hàm số yf x liên tục trên khoảng K x0 h x; 0h và có đạo hàm trên K

hoặc trên K\ x0 ,

với h  0

■ Nếu f x ' 0 0

trên khoảng x0 h x; 0và f x ' 0 0

trên khoảng x x0; 0h thì x là điểm cực đại0

của hàm số f x 

■ Nếu f x ' 0 0

trên khoảng x0 h x; 0

và f x ' 0 0

trên khoảng x x0; 0h

thì x là điểm cực tiểu0

của hàm số f x 

Nhận xét: Xét hàm số yf x 

liên tục và xác định trên a b; 

và x0a b; 

■ Nếu f x' 

đổi dấu khi qua điểm x thì 0 x là điểm cực trị của hàm số.0

■ Nếu f x' 

đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x thì 0 x là điểm cực đại của hàm số.0

■ Nếu f x' 

đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x thì 0 x là điểm cực tiểu của hàm số.0

ĐỊNH LÝ 2: Giả sử hàm số yf x  có đạo hàm cấp hai trong khoảng x0 h x; 0h với h  Khi0 đó:

■ Nếu

 

 

0

0 0

f x

x











 

 

0

0 0

f x

x











 là điểm cực đại

Chú ý: Nếu f x ' 0 0

và f '' x 0 0

thì chưa thể khẳng định được x là điểm cực đại hay điểm cực0

tiểu hay cực trị của hàm số

CÁC BƯỚC TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

QUY TẮC 1: Áp dụng định lý 1.

■ Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số đã cho.

■ Bước 2: Tính f x' 

Tìm các điểm mà tại đó f x '  0

hoặc f x' 

không xác định

■ Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu f x' 

hoặc bảng biến thiên đê kết luận

QUY TẮC 2: Áp dụng định lý 2.

■ Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số đã cho.

■ Bước 2: Tính f x' 

Giải phương trình f x '  0

và ký hiệu x i i 1, 2, n là các nghiệm của nó

■ Bước 3: Tính f '' x

từ đó tính được f '' x i

■ Bước 4: Dựa vào dấu của f '' x i

suy ra tính chất cực trị của điểm x i

B BÀI TẬP

Câu 1 Cho hàm số f x 

có bảng biến thiên như sau

Điểm cực đại của hàm số đã cho là

Câu 2 Cho hàm số f x 

có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực đại của hàm số đã cho là

Câu 3 Cho hàm số yf x 

có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

Câu 4 Cho hàm số yf x( )có bảng biến thiên như sau

Giátrị cực đại của hàm số đã cho là

Câu 5 Cho hàm số f x 

liên tục trên  và có bảng xét dấu cuả f x 

như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Câu 6 Cho hàm số f x 

có bảng xét dấu của f x 

như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 7 Cho hàm số f x 

có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 8 Số điểm cực trị của hàm số

1 2

x y x





Câu 9 Số điểm cực trị của hàm số

2

x y x





Câu 10 Giá trị cực tiểu của hàm số y x 3 3x2 9x2 là

Câu 11 Giá trị cực đại của hàm số y x 312x1 là

A y CĐ 17. B y CĐ 2. C y CĐ 45. D y CĐ 15.

Câu 12 Điểm cực tiểu của hàm số y x33x2 là4

Câu 13 Điểm cực tiểu của hàm số

1

3

y x  x  x

Câu 14 Giá trị cực tiểu của hàm số y x 4 2x2 3 là

A y CT 3

B y CT 3

C y CT 4

D y CT 4

Câu 15 Giá trị cực đại của hàm số y x 44x3 8x2 là1

Câu 16 Giá trị cực đại của hàm số

1 2

y x  x  x 

là

1 2

y 

C

253 256

y 

D y 1

Câu 17 Cho hàm số f x 

có f x x x2 1 x 2 x 43

, x   Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Câu 18 Cho hàm số f x 

có đạo hàm f x  x x 1 2 x 4 3 x2 ,   x

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

Câu 19 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số  

3 2

2

3

x

có cực trị

A

7

8

m 

B

9 8

m 

C

9 8

m 

D

7 8

m 

Câu 20 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

có cực trị

A

8

27

m  

B

8 27

m  

C

8 27

m 

D

8 27

m 

Câu 21 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y2x33mx22mx 5 có cực trị là

A m  hoặc 0

4 3

m 

4 0

3

m

 

4

0

3 m

  

4 3

m 

Câu 22 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx3 3mx23m 6x có cực trị

A  3 m2 B m  3 hoặc m 2 C m 3 hoặc m 2 D  3 m2

Câu 23 Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y mx 42m 1x2m 2 chỉ có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu

A

0

1

2

m

m







 

0 1 2

m m







 

1 2

m 

Câu 24 Tìm tất cả các giá trị của tham sốm để hàm số y mx 4 m 3x2 3m 5

có một điểm cực tiểu

A

0

3

m

m





 

3 0

m m











Câu 25 Cho hàm số y 1 m x 4 mx22m1

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm

số ba điểm cực trị

1 0

 



 



m

Câu 26 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ym1x4m 3x22021

có ba điểm cực trị

A 3m1 B  1 m3 C

1 3

 



 



m

3 1

 



 



m

Câu 27 Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

có 3 điểm cực trị Số phần tử của tập S là

Câu 28 Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m  2022;2022

để hàm số

có 3 điểm cực trị Số phần tử của tập S là

Câu 29 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y2x33mx22mx 5 có cực trị là

A m  hoặc 0

4 3

m 

4 0

3

m

 

4

0

3 m

  

4 3

m 

Câu 30 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx3 3mx23m 6x có cực trị

A  3 m2 B m  3 hoặc m 2 C m 3 hoặc m 2 D  3 m2

Câu 31 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3   2  2 

3

y x  m x  m  m x đạt cực đại tại x  1

4 0

m m









Câu 32 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 1  2  2 

y x  m x  m  m x

đạt cực tiểu tại x  ?2

Câu 33 Biết M1; 6 

là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y2x3bx2cx Tính giá trị của hàm số 1. tại x  2

A y  2 12

B y  2 21

C y  2 11

D y  25

Câu 34 Biết A0; 2 

,

1 17

;

B   

  là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y ax 4 bx2  Tính giá trị c của hàm số tại x  1

A y 1  1 B y 1  0 C y 1  1 D y 1  3

Câu 35 Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x'  như sau:

Số điểm cực trị của hàm số yf x 22x

là

Câu 36 Cho hàm số f x 

, bảng biến thiên của hàm số f x 

như sau:

Số điểm cực trị của hàm số yf 4x2 4x

là

Câu 37 Cho hàm số bậc bốn yf x 

có đồ thị như hình dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số   1 3 3 1

g x f  x  x 

Câu 38 Cho hàm số bậc bốn yf x 

có đồ thị như hình dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số g x  f x 4 2x21

là

Câu 39 Cho hàm số bậc bay f x có đồ thị như hình vẽ.( )

Số điểm cực tiểu của hàm số g x( )f x( 3 x là)

Câu 40 Cho hàm số yf x  2x33x2 12x Hàm số 1 yg x f x 3  2x21

có bao nhiêu điểm cực đại?

Câu 41 Hàm số yf x  liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số y g x   f 3x23x

là

Câu 42 Cho hàm số f x 

xác định và liên tục trên  và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số yf x 22x3

là

Câu 43 Cho hàm số bậc bốn f x( ) có bảng biên thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số g x( )x4 f x( 1)2 là

Câu 44 Cho hàm số bậc bốn f x( ) có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số g x( )x f x2 ( 1)4

Câu 45 Cho hàm số f x  x3ax2bx 3 với , ,a b c   và thỏa mãn a b 4 Số điểm cực trị của hàm số g x   f x 

bằng

Câu 46 Cho hàm số f x  2x3ax2bx c với , ,a b c   và thỏa mãn

2 0

a b c

   





điểm cực trị của hàm số g x  f x 

bằng

Câu 47 Cho hàm số y x 3  3mx2 3m3 Tính tổng các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho

có hai điểm cực trị ,A B sao cho đường thẳng AB song song với đường thẳng : d y8x 2

Câu 48 Biết m là giá trị của tham số 0 m để hàm số y x 3 3x2mx có hai điểm cực trị 1 x x sao 1, 2

cho x12x22 x x1 2 13 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A m  0  1;7

B m 0 7;10

C m  0  15; 7 

D m   0  7; 1

Câu 49 Cho hàm số f x  x3 3x2 mx Tìm các giá trị của tham số 1 m để hàm số có hai cực trị

1, 2

x x thỏa mãn 2 2

x x 

A

3

2

m 

1 2

m 

Câu 50 Cho hàm số y x33x có đồ thị 2  C Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị

 C

có hai điểm cực trị A B, nằm khác phía và cách đều đường thẳng d y: m1x2m 1

A

3

2

m 

1 2

m 

Câu 51 Cho hàm số y x33mx2 3m với 1 m là một tham số thực Giá trị âm của m thuộc tập hợp nào để đồ thị hàm số đã cho có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với d x: 8y 64 0

A m   1;1

B m    3; 1

C m 3;5

D m 1;3

Câu 52 Cho hàm số y x 3 6mx có 4 m là tham số Gọi m là giá trị của 0 m để đường thẳng đi qua

điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho vuông góc với d y: x1 Khi đó

A m  0  1;0

B m 0 1;2

C m 0 0;1

D m   0  2; 1

Câu 53 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x 4 2mx22m có ba

điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân

Câu 54 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x 4 mx21 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Câu 55 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx2 có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 32

Câu 56 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

1

y x  mx 

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 2

Câu 57 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx32x2m 3x m có hai điểm

cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị song song với đường thẳng

8

9

Câu 58 Tìm điều kiện của tham số m để hàm số 1 3   2

3

y x  m x  x

có hai cực trị x x thỏa 1, 2

mãn: x1  2 x2

A 3;1 B 1;3 C 1; . D 3;.

Câu 59 Cho hàm số y x 33x2mx m  2 có đồ thị C m Giá trị của tham số thực m để C m có hai cực trị x x thỏa mãn 1, 2 x1x2  là?2

A 24;3

B 3;9. C 24; 1 

D 5;3

Câu 60 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y: 3 2 m x m  1

song song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx3  3x2 9x1

A

23

16



m

11 2



m

D

9 8



m

Câu 61 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y: 5 3 m x m   7

song song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx36x2 2

A

41

24



m

55 8



m

Câu 62 Cho hàm số y x 4 2mx2m42m Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành một tam giác đều

Câu 63 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

có 5 điểm cực trị?

Câu 64 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10;10

để hàm số yx3 2x21 m x m 

có

5 điểm cực trị?

Câu 65 Cho hàm số yf   x  x1 x 22,   Có tất cả bao nhiêu gíá trị nguyên của tham sốx

 20; 20

m  

để hàm số h x   f2 x  2f x  m

có đúng 9 điểm cực trị

Câu 66 Cho hàm số yf x  xx2 ,2    Có tất cả bao nhiêu gíá trị nguyên của tham sốx

 20; 20

m  

để hàm số      

h x  f x  f x  m

có đúng 7 điểm cực trị

Câu 67 Cho hàm số đa thức f x 

có đạo hàm trên  Biết f  2  và đồ thị của hàm số 0 yf x  như hình vẽ

Hàm số y4f x  x24

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Câu 68 Cho hàm số yf x 

là một hàm đa thức có bảng xét dấu f x 

như sau

Số điểm cực trị của hàm số g x  f x 2  x

Câu 69 Cho hai hàm số bậc ba yf x 

có bảng biến thiên như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình f x( 3- 3x2- 1)=1

là

Câu 70 Cho hàm số bậc bốn trùng phương f x 

có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y 14 f x  1 4

x

Câu 71 Cho hàm số f x( )ax4bx3cx2dx e ae ,( 0) Đồ thị hàm số yf x( ) như hình bên Hàm số

2

4 ( )

y f x  x

có bao nhiêu điềm cực tiểu?

Câu 72 Cho hàm số f x 

có f  0  Biết 0 yf x  là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên Số điểm cực trị của hàm số g x( ) f x 3  x

là

A 5 B 4 C 6 D 3.

Câu 73 Cho hàm số bậc bốn f x 

có  0 3

2

Hàm số yf x 

có đồ thị trong hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số y4f x 1x2 2x

là

Câu 74 Cho hàm số bậc bốn f x 

có f  0  Hàm số 3 yf x  có đồ thị trong hình vẽ bên Số

điểm cực trị của hàm số

 12

6

x

là

Câu 75 Cho hàm số yf x có đồ thị hàm số yf x'  như hình vẽ dưới đây Số điểm cực trị của

hàm số   4 2 4  3 6 2 4 1

3

8

g x f x  x  x  x  x

là

Câu 76 Cho hàm bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số g x  x2 f x 2 13

Câu 77 Cho hàm số bậc bốnyf x 

có đạo hàm liên tục trên  Biết f(0) 0 và hàm sốyf x 

có

đồ thị như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực tiểu của hàm số    2 2 3

3

Câu 78 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x 8m 4x5 m216x41

đạt cực tiểu tại x  0

Câu 79 Cho hàm số bậc bốn yf x 

có ba điểm cực trị 1;0; 2

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mđể hàm số

  1 3  1 2   9   3

m

g x  f x     f x  m f x 

Câu 80 Cho hàm số bậc bốn yf x 

có ba điểm cực trị 4; 2;0- - .

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số mÎ -( 22; 22)

để hàm số

( ) 2( 2 4 ) ( 5 ) ( 2 4 )

g x = f x - x + m+ f x - x

có đúng 10điểm cực tiểu

Câu 81 Cho hai hàm số bậc ba yf x  có bảng biến thiên như hình vẽ

Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y= f x( 3- 3x2- +1 m)

có đúng 10điểm cực trị

CỰC TRỊ HÀM SỐ (BT BỔ SUNG) Câu 82 Cho hàm số bậc ba yf x 

có đồ thị như hình vẽ

Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là

A 3; 1  B 1;3 C 4;1

Câu 83 Cho hàm số ( )f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình bên Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 84 Cho hàm số bậc bốn yf x 

xác định và liên tục trên  , có đồ thị f x 

như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số yf x 

là

Câu 85 Cho hàm số yf x  xác định trên  và có đồ thị hàm số yf x  là đường cong ở

hình bên Hỏi hàm số yf x 

có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 86 Cho hàm số bậc ba y=f x( ) có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm số y= f x( )

có bao nhiêu điểm cực trị?

A 2. B 3. C 4. D 5.

Câu 87 Cho hàm số bậc bayf x  có đồ thị hình bên Hàm số yf x 

có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 88 Cho hàm số f x 

biết f x' x x2 1 3 x 2 x2 2x m 

Số giá trị nguyên của m   8;8

để hàm số đã cho có đúng bốn điểm cực trị là

Câu 89 Cho hàm số f x 

biết   2 3 2 

f x x x x  mx m 

Số giá trị nguyên của m để hàm

số đã cho có đúng một điểm cực trị là

Câu 90 Cho hàm số ( )f x có đạo hàm f x'( )x1 (2 x2  4 )x Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x  f 2x212x m 

có đúng 5 điểm cực trị?

Câu 91 Cho hàm số yf x 

có đạo hàm    2020 2 

,   x Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f x 2 8x m 

có đúng ba điểm cực trị x , 1 x , 2 x thỏa mãn3

x x x  Khi đó tổng các phần tử của S bằng

Câu 92 Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x( ) ( x1) (2 x2 2 ),x với mọi x .Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số yf x( 2 8x m có 5 điểm cực trị? )

Câu 93 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x   x13x24m 5x m 2 7m6 ,   x

Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số g x  f x 

có 5 điểm cực trị?