Dạng toán 46 tìm cực trị hàm số hợp f(u(x) khi biết đồ thị hàm số f(x)

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B... Phân tích hướng dẫn giải1... Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị... Đồ thị hình bên dưới là đồ thị

 Lập bảng biến thiên của hàm số yf x  khi biết đồ thị hàm số yf x 

B1 Xác định giao điểm của đồ thị hàm số yf x  với trục hoành

B2: Xét dấu của hàm số yf x , ta làm như sau

- Phần đồ thị của f x  nằm bên trên trục hoành trong khoảng a b thì ;  f x  0, xa b; 

- Phần đồ thị của f x  nằm bên dưới trục hoành trong khoảng a b thì ;  f x 0, xa b; 

 Lập bảng biến thiên của hàm số g x f x u x  khi biết đồ thị hàm số yf x 

B1: Đạo hàm g x  f x u x  Cho g x   0 f x u x 

B2 Xác định giao điểm của đồ thị hàm số yf x  và đồ thị hàm số yu x 

B3: Xét dấu của hàm số yg x , ta làm như sau

- Phần đồ thị của f x  nằm bên trên đồ thị u x  trong khoảng a b thì ;  g x  0, xa b; 

- Phần đồ thị của f x  nằm bên dưới đồ thị u x  trong khoảng a b thì ;  g x 0, xa b; 

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm hợp f u x khi biết đồ thị hàm số     f x  

f x đổi dấu khi đi qua x 0

 Sự tương giao của hai đồ thị:

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số yf x  và y g x   là nghiệm của phương trình

     1

f x g x

Số nghiệm của phương trình  1 bằng số giao điểm của hai cực trị

 Tính chất đổi dấu của biểu thức:

Gọi x là một nghiệm của phương trình: f x  Khi đó  0

Nếu x là nghiệm bội bậc chẳn (x  2, x 4, ) thì hàm số yf x  không đổi dấu khi đi qua 

Nếu x là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ (x  , x 3, )thì hàm số

 

yf x đổi dấu khi đi qua 

3 HƯỚNG GIẢI:

B1: Tính đạo hàm của hàm số:g x( )f x 33x2

B2: Dựa vào đồ thị của hàm f x ta suy ra số nghiệm của phương trình :   g x( ) 0

B3: Lập bảng biến thiên của hàm số g x( )f x 33x2 và suy ra số cực trị

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn B

c b

20

4

0

43

x x

Từ bảng biến thiên, ta thấy

Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y h x ( ) tại 1 điểm

Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y h x ( ) tại 3 điểm

Đường thẳng y c cắt đồ thị hàm số y h x ( ) tại 1 điểm

Như vậy, phương trình ( ) 0g x  có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt

Vậy hàm số g x( )f x 33x2 có 7 cực trị

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số yf x  (hoặc

B1: Lập bảng biên thiên của hàm số yf x 

- Dựa vào đồ thị hàm số yf x  xác định cực trị của hàm số yf x 

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số yf x  như sau



 

Bảng biến thiên

Ta có đồ thị của hàm h x  x33x2 như sau

Từ đồ thị ta thấy:

Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y h x   tại 1 điểm

Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y h x   tại 3 điểm

Đường thẳng y c cắt đồ thị hàm số y h x   tại 1 điểm

Như vậy phương trình g x  0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt

Vậy hàm số g x f x 33x2 có 7 cực trị

Câu 46.1: Cho hàm số yf x  Đồ thị hàm số yf x  như hình bên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị

Câu 46.2: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x'( ) trên  và đồ thị của hàm số f x'( )như hình vẽ

Tìm số điểm cực trụ hàm số g x f x( 2 2x1)

Lời giải Chọn D

x x

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị.

Câu 46.3: Cho hàm số bậc bốn yf x  Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f x Hàm số' 

Từ đó suy ra hàm số g x f  x22x2 có 3 điểm cực trị

Câu 46.4: Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu của yf x  như sau

Hỏi hàm số g x f x 2 2x có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

Lời giải Chọn A

Ta có g x   2x 2 f x 2 2 ;x

1 2 nghiem kep

.1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có một điểm cực tiểu

Câu 46.5: Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số   f x  như sau:

Số điểm cực trị của hàm số yf 4x2 4x là

Lời giải Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên ta có: f x  0

12

 4x2 4x b có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 4x2 4x c có 2 nghiệm phân biệt x3, x4.

 4x2  4x d có 2 nghiệm phân biệt x5, x6.

Vậy phương trình y 0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có 7 điểm cực trị

Câu 46.6: Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x  như sau

Từ bảng biến thiên ta có phương trình f x  0 có các nghiệm tương ứng là

Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình  1 vô nghiệm Các phương trình      2 ; 3 ; 4 mỗi

phương trình có 2 nghiệm Các nghiệm đều phân biệt nhau

Vậy phương trình y 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số yf x 2 2x có 7 điểm cựctrị

Câu 46.7: Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  trên khoảng   ;  Đồ thị của hàm số

 

yf x như hình vẽ

Đồ thị của hàm số y f x  2 có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu B. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu D 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên

f x

f x y

Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số y f x  2

Suy ra hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

Câu 46.8: Cho hàm số yf x  có đồ thị hàm số như hình bên

Hàm số g x  f x23x có bao nhiêu điểm cực đại ?

Lời giải Chọn B

22

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 4 điểm cực trị.

Câu 46.9: Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số g x   f f x   có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải Chọn C

Dựa vào đồ thị ta thấy f x đạt cực trị tại   x0, x2

Dựa vào đồ thị suy ra:

 Phương trình ( )1 có hai nghiệm x 0 (nghiệm kép) và x a a  2 

 Phương trình ( )2 có một nghiệm x b b a   .Vậy phương trình g x 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x0, x2, x a và x b Suy ra hàm số

g x  f f x  có 4 điểm cực trị

Câu 46.10: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số g x( )f x44x2 là

Lời giải Chọn B

c b

4

4 4

20

23

x x

4 4

∞

∞

0

+ +

2

h x ( ) h' x ( )

0

Từ bảng biến thiên, ta thấy

Đường thẳng y a 0 cắt đồ thị hàm số y h x ( ) tại 2 điểm

Đường thẳng y b 0;4 cắt đồ thị hàm số y h x ( ) tại 4 điểm

Đường thẳng y c 4 cắt đồ thị hàm số y h x ( ) tại 0 điểm

Như vậy, phương trình ( ) 0g x  có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt

Câu 46.12: Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên  Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ sau.

Số điểm cực trị của hàm số yf x 2x là:

Lời giải Chọn B

Câu 46.13: Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ bên dưới

Hỏi đồ thị hàm số g x  f x 3x có bao nhiểu điểm cực trị ?

Lời giải

x x

g x

x x

Ta thấy x1, x0, x1 là các nghiệm đơn

và x 2 là nghiệm kép nên đồ thị hàm số g x f x 3x có 3 điểm cực trị

Câu 46.14: Cho hàm số yf x( )có đạo hàm trên  Đồ thị của hàm số yf x'( )như hình vẽ

y

x

2

3 1 O -2 -1

Tìm số điểm cực trị của hàm số g x( ) 2 ( ) f x  x22x2017

Lời giải Chọn B

Ta có g x'( ) 2 '( ) 2 f x  x 2 2 f x'( ) ( x1)

Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số yf x'( )tại 3 điểm: ( 1; 2), (1;0), (3;2). 

x

2

3 1 O -2 -1

Câu 46.15: Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ bên dưới

Hàm số g x 2f x x2 đạt cực tiểu tại điểm

Lời giải Chọn B

12

x x

g x

x x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực tiểu tại   x 0.

Câu 46.16: Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ bên dưới

Hàm số    

3 2

23

x

g x f x  x  x đạt cực đại tại

A x 1 B x 0 C x 1 D x 2

Lời giải Chọn C

 

g x đạt cực đại tại

Câu 46.17: Cho hàm số yf x  Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ bên

Lời giải

Số điểm cực trị của hàm số g x  3f x x315x1 là

Lời giải Chọn B

Ta có g x  3f x 3x215; g x  0 f x   5 x2

Đồ thị hàm số f x  cắt đồ thị hàm số y 5 x2 tại hai điểm A0;5 ,  B2;1 

Trong đó x 0 là nghiệm bội bậc 2; x 2 là nghiệm đơn

3 17203

Như vậy phương trình g x 0 có tất cả 5 nghiệm đơn phân biệt

Gọi x a , với 1a4 là điểm cực tiểu của hàm số yf x 

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số yf x  như sau

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số yf x  như sau

 



Bảng biến thiên của hàm số yf x 22x

x x x

Nhận xét: y đổi dấu 3 lần khi đi qua các nghiệm nên phương trình y 0 có 3 nghiệm phân biệt Vậy hàm số yf 6 3 x có 3 cực trị

Câu 46.22:Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số   f x  như sau:

 Phương trình x2   a 5 0, a  5 nên phương trình vô nghiệm

 Phương trình x2   b 5 0, 5b 2 nên phương trình 2 nghiệm phân biệt

 Phương trình x2   c 5 0, 2 c 3 nên phương trình 2 nghiệm phân biệt

 Phương trình x2   d 5 0, d 3 nên phương trình 2 nghiệm phân biệt

Nhận xét: 7 nghiệm trên khác nhau đôi một nên phương trình g x  0 có 7 nghiệm phân biệt.Vậy hàm số g x  f x 2 5 có 7 cực trị

Câu 46.23:Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số   f x  như sau:

 x22x 1 b0 có  4b0, 0 1

2

b

  nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

 x22x 1 c0 có  4c0, c 3 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Nhận xét: 5 nghiệm trên khác nhau đôi một nên phương trình g x  0 có 5 nghiệm phân biệt.Vậy hàm số g x  f x12

1010

x x x f x

2

2

1 01

1

1, 2

x x

a a x

x

x x

c c x

2 2

 h x  có 2 nghiệm phân biệt, với a a  2

 h x  vô nghiệm, với b 2b2

 h x   có 2 nghiệm phân biệt, với c c 2Vậy hàm số  

x

x x

x f x

11, 0 21

1, 21

x

a a x

x

x x

x x

d d x

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: Phương trình h x  a, h x b, h x  c, h x  d đều

có 2 nghiệm phân biệt

1

x

 

Câu 46.26:Cho hàm số yf x xác định, liên tục trên    và có bảng biến thiên như sau

Ta có g x  3f x 

Do đó điểm cực tiểu của hàm số g x trùng với điểm cực tiểu của hàm số   yf x  

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là x1

Câu 46.27:Cho hàm số yf x  có đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ

Ta có g x  f x x Cho g x 0  f x x

Nhận thấy đường thẳng yx cắt đồ thị hàm số yf x  lần lượt tại ba điểm x3;x1

Ta có bảng biến thiên của hàm số g x  f x x 

2

20202

y f x Xét hàm số g x  f x 2 2 Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số g x  đạt cực tiểu tại x2 B Hàm số g x  đạt cực đại tại x0

C Hàm số g x  có 5 điểm cực trị D Hàm số g x  nghịch biến trên khoảng 0; 2 

x x x x

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 1

Câu 46.30:Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  thoả mãn f  2 f 2 0 và đồ thị của hàm số

Câu 46.31:Cho hàm số yf x  Đồ thị hàm số yf x  như hình bên dưới và f2 f  2 0.

Hàm số g x   f 3 x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?2

A 2; 1   B 1; 2  C 2;5  D 5;

Lời giải Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số yf x , suy ra bảng biến thiên của hàm số f x như sau 

Từ bảng biến thiên suy ra f x 0,   x

Suy ra hàm số g x nghịch biến trên các khoảng    ;1 , 2;5 

Câu 46.32:Cho hàm số yf x  Đồ thị hàm số yf x  như hình bên dưới

Hàm số g x f 3 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau

A   ; 1  B 1;2  C 2;3  D 4;7 

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số yf x 

Kết hợp điều kiện x  , ta được 13   x 2.

Vậy hàm số g x đồng biến trên khoảng   1;2 

 



 

Vậy hàm số g x đồng biến trên khoảng   3;4 và  7; 

Câu 46.33:Cho hàm số yf x  Đồ thị hàm số yf x  như hình bên dưới

Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số yf x 

 

Vì g x  0 có 5 nghiệm bội lẻ nên hàm số g x  f  x24x3 có 5 điểm cực trị.

Câu 46.34:Cho hàm số yf x  Đồ thị hàm số yf x  như hình bên dưới

Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số yf x 

 



Đặt g x  f 1 3 x1  g x 3.f1 3 x

Cho g x  0  f 1 3x 0  1 3 1

1 3 3

x x

x x

yg x tại nhiều điểm nhất  0m2

Câu 46.36:Cho hàm số yf x  xác định trên \ 0  và có bảng biến thiên như hình vẽ

  3

Số nghiệm của phương trình 3 f 2x 1 10 0 là

Lời giải Chọn C

f t  có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình 3 f 2x 1 10 0

có 4 nghiệm phân biệt

Câu 46.37:Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  trên  Đồ thị của hàm số yf x  như hình vẽ

Đồ thị của hàm số g x  f3 x có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn B

Ta có g x f3 x  g x  3.f x f  2 x

Vì f2 x  , với mọi x   nên 0 g x  0 f x   0 x1

Từ đó suy ra g x f3 x có hai điểm