chuyên đề CỰC TRỊ hàm số

0 Định lý ba được áp dụng trong trường hợp bài toán yêu cầu tìm tham số để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x xác định.. Bài toán liên quan đến biện luận số điểm cực trị của hàm số

CHỦ ĐỀ 2 BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ

1 Tóm tắt lý thuyết

Hàm số f x có tập xác định ( ) D f

Điểm cực đại: Điểm x0 D fđược gọi là điểm cực đại của hàm số f x nếu tồn tại một khoảng ( )  a b; D f

sao cho x0  a b; và với mọi x    a b; \ x0 thì f x( )0  f x( )

Điểm cực tiểu: Điểm x0 D fđược gọi là điểm cực tiểu của hàm số ( )f x nếu tồn tại một khoảng  a b; D f

sao cho x0  a b; và với mọi x    a b; \ x0 thì f x( )0  f x( )

Các dấu hiệu nhận biết hàm số có cưc trị

Định lý 1(Điều kiện cần để hàm số có cực trị) Nếu x là điểm cực trị của hàm số ( )0 f x và ( ) f x có đạo hàm

thì f x  '( )0 0

Định lý 2(Điều kiện đủ để hàm số có cực trị)

- Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua '( ) x thì 0 x là điểm cực đại của hàm số 0

- Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua '( ) x thì 0 x là điểm cực tiểu của hàm số 0

Định lý 3(Dấu hiện nhận biết điểm cực đại, cực tiểu)

- Nếu f x'( )0 0, ''( )f x0  thì 0 x là điểm cực đại của hàm số 0

- Nếu f x'( )0 0, ''( )f x0  thì 0 x là điểm cực tiểu của hàm số 0

Định lý ba được áp dụng trong trường hợp bài toán yêu cầu tìm tham số để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x xác định Tuy nhiên ta cần phải xét điều kiện cần và điều kiện đủ 0

Chú ý Đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Phương pháp giải

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2 Tính đạo hàm và giải phương trình 'y  0

Bước 3 Xác định dấu của đạo hàm khi đi qua các điểm tới hạn(hoặc kẻ bảng biến thiên) và đưa ra kết luận Bài tập minh họa

Dạng 2 Số điểm cực trị của hàm số(có chứa tham số)

Đối với hàm đa thức bậc 3 y ax3 bx2cx  d y'3ax22bx  c

- Nếu  ' b2 3ac  hàm số không có cực trị 0

- Nếu  ' b2 3ac  hàm số có hai cực trị 0 x x là hai nghiệm phân biệt của phương trình 1, 2 y  ' 0

0

(1)2

  hàm số có duy nhất một cực trị

Bài tập minh họa

Bài 1 Tìm các giá trị của m để

+ Nếu m   hàm số chỉ có cực tiểu tại 0 x  0

+ Nếu m  thì hàm số chỉ có cực tiểu tại 0 x  0

+ Nếu m  thì hàm số có 3 cực trị, nên không thỏa mãn 0

Vậy m  là những giá trị cần tìm 0

Bài toán liên quan đến biện luận số điểm cực trị của hàm số áp dụng đối với hàm trùng phương

Bài 2 Tìm các giá trị của m để

Tuy nhiên sau khi tìm được tham số, phải thay ngược lại xem có thỏa mãn hay không?

Bài tập minh họa

Bài 1 Tìm các giá trị của m để

Bình luận : Rất nhiều học sinh cũng như cả các thầy cô không hiểu rõ điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một

điểm ; và tất nhiên như trên khi nói điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x 0thì học sinh lại viết :

Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0khi và chỉ khi '(0) 0

''(0) 0

y y

Dạng 4 Hoành độ, tung độ điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Giả sử hai điểm cực trị lần lượt là x y1; 1 ; x y 2; 2

Bài toán có thể yêu cầu tìm điều kiện của tham số để f x x y y  , trong đó  1, , ,2 1 2 0 f x x y y là một  1, , ,2 1 2

hàm đối với các biến x x y y và thường có dạng đối xứng 1, , ,2 1 2

Để giải quyết loại bài toán này chúng ta sử dụng định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai 1 2

1 2

b

a c

Bài tập minh họa

Bài 1 Tìm các giá trị của m để

Khi đó theo Vi-ét ta có 1 2 2

b) Hàm số y x m x  23xm có cực đại và cực tiểu thỏa mãn 1 x x CD CT  1

Ta có y'3x22m 3x 2m Yêu cầu bài toán tương đương với '1 y  có hai nghiệm phân biệt 0

y  x  mx  m  xcó cực đại, cực tiểu sao cho xCÐ,x là độ dài các cạnh góc vuông CT

của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5

2 d) Hàm số y   x3 2m1x2 m2 3m2x  có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung 4e) Hàm số y x33x2 mx  có cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng 2 y  x 1

f) Cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y x33mx24m3đối xứng nhau qua đường thẳng y x

g) Hàm số y x33mx2 3m21xm3 m có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ

h) Hàm số y x3  1 2m x 2 2m x m có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1 2i) Hàm số yx33m 1x2 3m m 2x 2 m có cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đến trục hoành bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục tung

j) Điểm cực đại, cực tiểu của hàm số 1 3   2 4 3

Vậy 4

;111

Bình luận Cái khó của bài toán là biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm

b) Hàm số y 2x3 mx212x13có cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung

Ta có y'2 3 x2 mx 6 Phương trình y  có ' 0  m272 nên hàm số luôn đạt cực trị tại hai 0điểm x x Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số cách đều trục tung khi và chỉ khi 1, 2

y  x  mx  m  xcó cực đại, cực tiểu sao cho xCÐ,x là độ dài các cạnh góc vuông CT

của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5

d) Hàm số y   x3 2m1x2 m2 3m 2x  có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung 4

Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung khi và chỉ khi phương trình y  ' 0

có hai nghiệm trái dấu 3x2 2 2 m1xm23m 2 có hai nghiệm trái dấu 0

Vậy m  1;2 là giá trị cần tìm

e) Hàm số y x33x2 mx  có cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng 2 y  x 1

Hàm số có cực trị khi và chỉ phương trìnhy' 3x2 6x m  có hai nghiệm phân biệt 0 x x , điều này 1, 2tương đương với   ' 9 3m 0 m  3

Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là A x y 1; 1 ;B x y 2; 2

Cách 1 Lấy y chia cho ' y ta được : 1 ' 2 2 2

  hay  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số

Vậy để hai điểm cực trị cách đều đường thẳng y   thì hoặc  song song hoặc trùng với đường thẳng x 1

1

y   hoặc trung điểm của AB thuộc đường thẳng x y   x 1

- Nếu / / :d y   , điều này tương đương với: x 1 2 2 1 3

      , vậy để hàm số có cực trị khi và chỉ khi m  0

Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là A0; 4m3;B m2 ; 0AB 2 ; 4m  m3và trung điểm của AB là

 ;2 3

I m m

Yêu cầu bài toán tương đương với

3 3

Vậy có 4 giá trị cần tìm của m là  2; 1; 0;1

j) Điểm cực đại, cực tiểu của hàm số 1 3   2 4 3

 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi m   1

Khi đó tọa độc hai điểm cực trị là 4 3    

Đường tròn  T có tâm I 2;0 bán kính  1 Hai điểm A B nằm khác phía với đường tròn ,  T khi và

Dạng 5 Đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số

Với dạng bài toán này chỉ xét với hàm số đa thức bậc bay ax3 bx2 cx  d y' 3ax22bx  c

Lấy y chia cho ' y ta được:

Lưu ý : Với các hoành độ cực trị không phụ thuộc tham số thì ta không cần thiết phải làm theo cách này,

nhưng có chứa tham số thì đây là lựa chọn khôn ngoan

Dạng 6 Các điểm cực trị thỏa mãn một điều kiện chẳng hạn lập thành tam giác vuông, tam giác đều,…Lúc

này chúng ta dựa vào tính chất của tam giác

Khi đó hai điểm A B nằm cùng phía với d hoặc ,  C khi và chỉ khi T  hoặc 0 V  0

Hai điểm ,A B nằm khác phía đối với dhoặc  C khi và chỉ khi T  hoặc 0 V  0

Đặc biệt Hai điểm cực trị nằm khác phía với trục tung thì pt y  có hai nghiệm trái dấu ' 0

Hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành thì y CD.y CT  hoặc phương trình 0 y  có ba nghiệm 0phân biệt

Bài tập minh họa

Bài 1 Cho các hàm số sau

a) (TSĐH Khối A 2002) Với mọi giá trị của tham số m chứng minh hàm số luôn có cực trị và viết phương

trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y   x3 3mx2 3 1 m x2 m3m2

b) Tìm m để điểm A 3;5 nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y   x3 3mx2 3 1 m x2 m3m2

b) Tìm các giá trị của tham số m để điểm A 3;5 nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là M x y 1; 1 ;N x y 2; 2

Lấy y chia cho ' y , ta được : 1 1 2 1  

Bài 3 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì đồ thị hàm số

Lấy y chia cho ' y , ta được : ' 2 2

Nên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y 2xm2 m

Từ đó suy ra hoành độ, tung độ các điểm cực trị thỏa mãn

2 2

Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là A x y 1; 1 ;B x y 2; 2

Từ đó suy ra hoành độ, tung độ các điểm cực trị thỏa mãn  3  4 1 2 2

2

x y x x  m x  Từ đó ta có đpcm

Bài 5 Với mỗi giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là A x y 1; 1 ;B x y 2; 2

Ta có f t là hàm đơn điệu tăng trên ( ) 0;1

Nhận xét Có thể yêu cầu tìm giá trị của tham số đường thẳng đi qua cực trị cắt, tiếp xúc và không có điểm

chung với đường tròn  T và ta chỉ cần áp dụng mối liên hệ giữa khoảng cách và vị trí tương đối

Bài 7(TSĐH Khối B 2013) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y 2x3 3m1x2 6mx có hai điểm cực trị A B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng , y   x 2

Đáp số m  0;2

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1.1 Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x33x2mx  tạo với hai 2

trục tọa độ một tam giác cân

Định hướng giải:

Điều kiện m   3

1.2 Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x33x2m2m  tạo với điểm 1 C  2;4 một

tam giác có diện tích bằng 7

y x  mx  cắt đường tròn tâm I 1;1 bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho diện tích

tam giác IAB lớn nhất

Lấy y chia cho y ta được '

52

y x  mx  m  xm mcó cực đại, cực tiểu chạy trên một đường thẳng cố định

1.11 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y x  x mx  song song với đường thẳng y 4x  3

Dạng 6 Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác

Các bài toán toán dạng này thuộc lớp hàm trùng phương, đề bài có thể yêu cầu

- Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích cho trước, lớn nhất, nhỏ nhất

- Tam giác vuông, cân, đều hoặc tạo thành một góc cho trước

- Liên quan đến bán kính đường tròn nội tiếp( S

r p

 )và bán kính đường tròn ngoại tiếp(

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A 0;1 ;B m;1m2 ;C m;1m2

Gọi I là tâm và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Do B C đối xứng với nhau qua trục tung nên tam giác ABC cân tại A , do đó tâm I nằm trên Oy , giả sử : ,

Khi đó tọa độ 3 điểm cực trị là A 0;2 ,B m;m22 , C m;m2 2

Gọi I x y là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , khi đó  ;

Do m  nên chỉ có 0 m  thỏa mãn Vậy 1 m  là giá trị cần tìm 1

Bài 5 Tìm m để đồ thị hàm số yx42 1 m x2 2 m có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có 1diện tích lớn nhất

Bài giải

Ta có y'4x3 4 1x m24x x 2 1 m2 Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình 'y 0

có 3 nghiệm phân biệt  1 m2    0 1 m 1( )i

Bài 7 Tìm m để hàm số y x4 3m 1x2 có ba cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành một tam 3

giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 2

3 độ dài cạnh bên

Bài giải

m   là gía trị cần tìm của tham số m

Bài 8.(TSĐH Khối A và A1 2012) Tìm m để đồ thị hàm sốy x4 2m1x2 m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A0,m2,B m   1, 1 2m C , m  1, 1 2m

Tam giác ABC cân tại A nên để tạo thành một tam giác vuông khi và chỉ khi ABC vuông tại A.Ta có

AB   m    mm AC  m    mm

Vậy tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi

Bài 9(TSĐH Khối B 2011) Tìm các giá trị của tham số mđể đồ thị hàm số y x4 2m 1x2 m có

ba điểm cực trị A B C sao cho OA, ,  BC ; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung và

1.3 Tìm m để đồ thị hàm số y x4 2mx2 m2 mcó ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120 0

1.4 Tìm m để đồ thị hàm số y x4 2mx2  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân 1

1.5 Tìm m để đồ thị hàm số y x42mx2 m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính 1đường tròn ngoại tiếp bằng 1

1.6 Tìm m để đồ thị hàm số y x42mx2 2mm4có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

1.7 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2mx2  có ba điểm cực trị tạo thành 2một tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm

1.8 Tìm m để đồ thị hàm số y x4 2m2x2 m25m  có ba điểm cực trị tạo thành một tam 5giác đều

1.9 Cho hàm số y x4 2mx2 2m Xác định giá trị của tham số m để đồ thị hàm số trên có cực đại, cực tiểu tạo thành

a) Một tam giác đều

b) Một tam giác vuông

c) Một tam giác có diện tích bằng 16

1.10 Tìm tất cả các cặp số m n sao cho đồ thị hàm số ,  y x42m x2 2  có ba điểm cực trị là ba đỉnh n

của một tam giác đều ngoại tiếp đường tròn có tâm là gốc tọa độ

1.11 Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x42mx2  có ba cực trị và đường tròn đi qua 1

ba điểm này có bán kính bằng 1

1.12 Tìm m để đồ thị hàm số y x42m1x2 mcó ba điểm cực trị A B C sao cho OA, , BCvới

O là gốc tọa độ, A là điểm trên trục tung

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y  có ba nghiệm phân biệt, điều này tương đương với ' 00

m 

Khi đó tọa độ các điểm cực trị là A 0;m B;  m m; m2 ;C m m; m2

Tam giác ABC cân tại A và gọi H là trung điểm BC thì  2

Dạng 7 Hai điểm cực trị và một điểm khác tạo thành một tam giác

Các bài toán dạng này đề bài thường yêu cầu kết hợp giữa hai điểm cực trị của hàm số với một điểm(hay gặp

là gốc tọa độ) tạo thành một tam giác thỏa mãn điều kiện cho trước như

- Một tam giác vuông, cân, đều, có một góc bao nhiêu độ

- Một tam giác có diện tích cho trước, hoặc diện tích lớn nhất, nhỏ nhất

- Bán kính đường tròn nội tiếp(r) và bán kính đường tròn ngoại tiếp(R)

Bài 1 Tìm m để đồ thị hàm số y  x3 3x23m21x3m2 có cực đại, cực tiểu đồng thời các 1

điểm cực đại, cực tiểu và gốc tọa độ tạo thành vuông tại O

Lấy y chia cho y , ta được: '

     có hai nghiệm phân biệt  ' m  0

Khi đó gọi A x y 1; 1 ;B x y là tọa độ hai điểm cực trị 2; 2

Lấy y chia cho y ta được: '

Bài 4 (TSĐH Khối B 2006) Cho hàm số y  x3 3x23m21x 3m2  Tìm m để đồ thị hàm số 1

có hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ

y x  m x  m x  có hai điểm cực trị Avà B đồng

thời tứ giác OADB là hình bình hành, với O là gốc tọa độ và 7

Khi đó hoành độ hai điểm cực trị x A 1;x B m 2

Vì tứ giác OADB là hình bình hành nên trung điểm của AB cũng là trung điểm của OD , từ đó suy ra

Bài 6 Tìm m để đồ thị hàm số yx33m 1x2 12mx 3m có hai điểm cực trị là ,4 A B sao cho

hai điểm này cùng với điểm 9

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là A2;9m B m; 2 ; 4 m3 12m23m 4

Yêu cầu bài toan tương đương với 3 2

Bài 7(TSĐH Khối B 2012) Tìm m để đồ thị hàm số y x3 3mx2 3m3 có hai điểm cực trị A B sao ,

cho tam giác OAB có diện tích bằng 48 trong đó O là gốc tọa độ

Diện tích tam giác OAB là: 1   4

cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông tại O

1.4 Gọi ,A B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 3 2

3

y  x  x  x Tìm điểm M thuộc trục hoành sao

cho diện tích tam giác MAB bằng 2

1.5 Tìm m để đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y x33x2mx  tạo với hai trục 2tọa độ một tam giác vuông cân

1.6 Cho hàm số y x33m1x2 3m m 2x12m và điểm 8 M 3;2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ,A B sao cho MAMBnhỏ nhất

1.7 Tìm m để đồ thị hàm số y x33x2 3m21x 3m2 có hai điểm cực trị ,1 A B cùng với điểm

 2;1

C tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

1.8 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để điểm M m m cùng với 2 điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị 2 3, 

hàm số y 2x33 2 m1x2 6m m 1x  tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất 1

BÀI TẬP ÔN TẬP VỀ CỰC TRỊ

1.1 Tìm m để hàm số y mx3 3mx2m1x  có cực trị 1