22 hsg9 ha giang 22 23

Tỉnh Hà Gianga Rút gọn biểu thức.. Đường tròn  I ngoại tiếp tam giác BPL cắt đường thẳng AB tại điểm F khác B.. Đường tròn  J ngoại tiếp tam giác CPK cắt đường thẳng AC tại điểm E

Tỉnh Hà Giang

a) Rút gọn biểu thức

P

x x x x x x Với x  rút gọn và tìm giá trị 0 lớn nhất của biểu thức P

b) Cho x 3 9 4 5 39 4 5 Tính giá trị của biểu thức Qx3 3x172023

a) Cho Parabol  P y x:  2

và đường thẳng :d y2x m Tìm m để đường thẳng d cắt  P

tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 thỏa mãn 3 3

x x 

b) Giải hệ phương trình











Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2y2 x y xy   2 7

Cho , ,x y z là ba số thực dương thỏa mãn x y z  2 3 và xy yz zx   4

Chứng minh rằng:

2

xyz

Cho tam giác ABC vuông tại , A AB AC và M là trung điểm cạnh BC Gọi P là một điểm bất kỳ trên đoạn AM ( P khác A và M ) , K L lần lượt là các điểm thuộc tia , BP CP sao cho

AKB ABC và ALC ACB Đường tròn  I

ngoại tiếp tam giác BPL cắt đường thẳng AB tại điểm F khác B Đường tròn  J

ngoại tiếp tam giác CPK cắt đường thẳng AC tại điểm

E khác C

a) Chứng minh rằng BKA và BAP đồng dạng

b) Chứng minh đường thẳng IJ song song với EF

-Hết -9

Học sinh giỏi

HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Rút gọn biểu thức

P

x x x x x x Với x  rút gọn và tìm giá trị 0 lớn nhất của biểu thức P

b) Cho x 3 9 4 5 39 4 5 Tính giá trị của biểu thức Qx3 3x172023

Lời giải

a) Ta có:

P

x



1



Vậy

1 1

P



+) Vì

2

3

P

x

x   x

Vậy:

4 3

Max P 

khi

1 4

x 

      Khi đó: Qx3 3x172023 18 17 2023 1

a) Cho Parabol  P y x:  2

và đường thẳng :d y2x m Tìm m để đường thẳng d cắt  P

tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 thỏa mãn 3 3

x x 

b) Giải hệ phương trình











Lời giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm x2 2x m  x2 2x m  (*)0

+) Điều kiện để d cắt  P

tại hai điểm phân biệt là phương trình (*) có

+) Với điều kiện trên thì theo Vi-Et ta có: x x1 2 2, x x1 2 m

1

2

x x   x x  x x x x    m  m

(thỏa mãn) Vậy

1 2

m 

là giá trị cần tìm

b) ĐK: x2,y Khi đó 1







1 3

y

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x y ,  3;2

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2y2 x y xy   2 7

Lời giải

+) Từ x2y2 x y xy   2 7 x y 22xyx y xy   27

+) Đặt a x y b xy  ,  a b Z,  

Khi đó ta có phương trình: a2 2b a b  27

   

a ab a b a b a

        

Từ đó ta có bảng giá trị 2

x Loại Loại Loại -1 -4

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là x y  ,    1;4 , 4;1   

Cho , ,x y z là ba số thực dương thỏa mãn x y z  2 3 và xy yz zx   4

Chứng minh rằng:

2

xyz

Lời giải

+) Từ x y z  2 3 x y z  2 12 x2y2z22xy yz zx  12

 x2y2z22.4 12  x2y2z2 4 +) Khi đó:

VT

 

AKB ABC và ALC ACB Đường tròn  I

ngoại tiếp tam giác BPL cắt đường thẳng AB tại điểm F khác B Đường tròn  J

ngoại tiếp tam giác CPK cắt đường thẳng AC tại điểm

E khác C

a) Chứng minh rằng BKA và BAP đồng dạng

b) Chứng minh đường thẳng IJ song song với EF

Lời giải

a) KẻAH BC H BC   

Vì ABC vuông tại A , AM là trung tuyến

 MA MB MC   MAB cân tại M

 MAB MBA   AKB ABC MAB 

 BKABAP g g 

BA BK

+) Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A

đường cao AH ta có: AB2 BH BC

 

 BHPBKC c g c  BPH BCK 

HPKC

 là tứ giác nội tiếp hay HPKC nội tiếp đường tròn  J

+) Tương tự: ALC ACB CAP   CLACAP g g 

CA CP

mà CA2 CH CB  CP CL CH CB   PHBL nội tiếp  I

+) Vì FPHBL nội tiếp  I  PFA PFB PHC  

( góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Vì CEKPH nội tiếp  J  PHC PEA 

(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Suy ra PFA PEA   APEF là tứ giác nội tiếp  FAE FPE 900  PE PF

+) Kéo dài HP cắt EF tại N Vì CEPH và APEF nội tiếp nên:

NPE ACH PAC PFE    NFP NPF  900  PNF 900  HP EF

Mặt khác IJ HP(tính chất đường nối tâm)  EF IJ// (cùng vuông góc với HP ).

N F

L

I

E K

J

A

P