18 hsg9 điện biên 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Điện Biên Câu 1 (5,0 điểm) 1 Cho biểu thức 3[.]

Tỉnh Điện Biên Câu 1 (5,0 điểm)

: 1

9

A

x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi 310 6 3 3 1



2 Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là một số chính phương

Câu 2 (3,0 điểm)

1 Giải phương trình: 2x 1 5 2 x 4x212x 7





Câu 3 (4,0 điểm)

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4y4 3y2 1

2 Cho hai phương trình x23mx2n 0 và x25nx4m0 với m n là các số , thực Chứng minh rằng nếu 2m   thì ít nhất một trong hai phương trình đã n 0

cho luôn có nghiệm

Câu 4.(6,0 điểm) Cho đường tròn O R và một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho ; 

3

OA R Từ A kẻ các tiếp tuyến AB AC với đường tròn ,  O ( , B C là hai tiếp

điểm) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt  O tại D , AD cắt  O

tại E Gọi M là giao điểm của BC và AO

1 Chứng minh AE AD AM AO

2 Tia BE cắt AC tại F Chứng minh F là trung điểm của AC

3 Tính diện tích BDC theo R

Câu 5 (2,0 điểm)

1 Cho , , , > 0a b c d và 1

1 81

abcd 

2 Trong một hộp có 2014 viên kẹo Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên kẹo và nhiều nhất là 20 viên kẹo Người nào bốc viên kẹo cuối cùng sẽ thua cuộc Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc

-Hết -

9

Học sinh giỏi

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 (5,0 điểm)

: 1

9

A

x



a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi 310 6 3 3 1

x



Lời giải

a) Rút gọn biểu thức A

: 1

A

: 1

3

A

x

A

x







b) Tính giá trị của biểu thức A khi 310 6 3 3 1

x



Ta có: x23mx 2n  0

Vậy x25nx 4m 0

2 Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là một số chính phương

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp lần lượt là n n; 1;n2;n  3

với n   , ta có :

 1 2 3 1  2 3  2 3 2 1

An n n n   n  n n  n 

A n  n

 1 2 3 1

Câu 2 (3,0 điểm)

1 Giải phương trình: 2x 1 52x 4x212x7

2 Giải hệ phương trình:  2 2





Lời giải

1 Giải phương trình: 2x 1 52x 4x212x 7

2   x 2

2

2





1 2 5 2

x x



 



 

 



 (TMĐK)

1 5

;

2 2

   





2

2

2

2

2023

2023 2023

2023

2

2

2

2

2023

2023 2023

2023

Từ (3) và (4)    x y

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:   x y ; 1; 1 ;  1;1 

Câu 3 (4,0 điểm)

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4y4 3y21

2 Cho hai phương trình x23mx2n  và 0 x25nx 4m với ,0 m n là các số

thực Chứng minh rằng nếu 2m   thì ít nhất một trong hai phương trình đã n 0

cho luôn có nghiệm

Lời giải

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 y4 3y2 1

 1 x4 y4 3y2  (2) 1

Ta thấy: y42y2 1 y43y2  1 y4 4y24

y  y  y   y  (3)

Từ (2) và (3) suy ra  2 2 4  2 2

Mà x   nên 4  2 2

1

x  y  thay vào (2) ta có

   2 2 4 2

1  y 1 y 3y 1 (4) Giải phương trình (4) ta được y  0

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình (1) là   1; 0 ; 1; 0

2 Cho hai phương trình x23mx2n  và 0 x25nx 4m với ,0 m n là các số

thực Chứng minh rằng nếu 2m   thì ít nhất một trong hai phương trình đã n 0

cho luôn có nghiệm

Xét phương trình x23mx2n 0  1 ta có: 2

1 9m 8n

x  nx  m  (2) ta có: 2

2 25n 16m

1 2 9m 25n 8n 16m 9m 25n 8 n 2m

với m n là các số thực và 2, m   n 0      1 2 0

1 2

0 0

 



  đpcm

Câu 4.(6,0 điểm) Cho đường tròn O R và một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho ; 

3

OA R Từ A kẻ các tiếp tuyến AB AC với đường tròn ,  O ( , B C là hai tiếp

điểm) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt  O tại D , AD cắt  O

tại E Gọi M là giao điểm của BC và AO

1 Chứng minh AE AD AM AO

2 Tia BE cắt AC tại F Chứng minh F là trung điểm của AC

3 Tính diện tích BDC theo R

Lời giải

1 Chứng minh AE AD AM AO.

Do AB AC là hai tiếp tuyến với đường tròn ;  O nên chứng minh được AO BC Và

AB AM AO (1)

Chứng minh: AEB∽ABD

Suy ra AB2 AE AD (2)

Từ (1) (2) suy ra AE AD AM AO

2 Tia BE cắt AC tại F Chứng minh F là trung điểm của AC

Chứng minh FCE ∽FBC (g.g)

Chứng minh: ABF CAE

Chứng minh FBA∽FAE FA FE FA2 FE FB

Từ (3) và (4) suy ra FC FA F là trung điểm của AC

3 Tính diện tích BDC theo R

Chứng minh ACB∽CBD (g.g)

2

CBD ACB

 

 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

3

R

MAOA OM 

F

E

D

M

B

C

2

4 2R

2 2 2 9 2 2 8 2

AC OA OC  R R  R

2

Vậy

2

 

 

Câu 5 (2,0 điểm)

1 Cho a b c d, , , > 0 và 1

1 81

abcd 

2 Trong một hộp có 2014 viên kẹo Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên kẹo và nhiều nhất là 20 viên kẹo Người nào bốc viên kẹo cuối cùng sẽ thua cuộc Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc

Lời giải

1 Cho , , , > 0a b c d và 1

1 81

abcd 

Ta có

1

Áp dụng BĐT cauchy ta có:

   

     

3

3

3

1

bcd

Chứng minh tương tự:

     

     

     

3

3

3

1

1

acd

abd

abc







Nhân vế với vế của (1), (2), (3), (4)

       

         

3 3 3 3

1

81

1 81

a b c d

abcd

abcd



Dấu “=” xảy ra khi 1

3

a    b c d

2 Trong một hộp có 2014 viên kẹo Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên kẹo và nhiều nhất là 20 viên kẹo Người nào bốc viên kẹo cuối cùng sẽ thua cuộc Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc

Để đảm bảo thắng cuộc, ở nước đi cuối cùng của mình người bốc kẹo đầu tiên phải để lại trong hộp 11 viên kẹo, ở nước đi trước đó phải để lại trong hộp: 11201142 viên kẹo Suy ra người bốc kẹo đầu tiên phải đảm bảo trong hộp lúc nào cũng còn 1131k viên kẹo

Ta có 2014 11

64 31



 dư 19 Như vậy người bốc kẹo đầu tiên ở lần thứ nhất của mình phải bốc 19 viên

Tiếp theo khi đối phương bốc x viên 11 x 20 thì người bốc kẹo đầu tiên phải bốc

31 viên kẹo Cuối cùng sẽ còn lại 11 viên kẹo cho đối phương.x

-Hết -