21 hsg9 gia lai 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Gia Lai Câu 1 (5,0 điểm) a) Chứng minh rằng[.]

Tỉnh Gia Lai

Câu 1 (5,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: 12 12 1 2 1 1

1 k (k1)   k k( 1) (với k 0)

Từ đó hãy tính giá trị biểu thức:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 1 3 4 1 2022 2023 2023

b) Tìm tất cả các cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn: x2xy x y  5 0

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Cho hàm số y(m2m2)x2m có đồ thị là đường thẳng 8 d Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện

tích tam giác OAB bằng 2 ( với O là gốc tọa độ )

b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ rồi dừng lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước đã chảy vào bằng 8

9 bồn Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy bồn đó ?

Câu 3 (2,0 điểm) Cho x  1 3339 Chứng tỏ x33x26x21 là số chia hết cho 5

Câu 4 (5,0 điểm) Cho đường tròn ( )O đường kính BC2R và điểm A thay đổi trên ( ) O (điểm A

không trùng với ,B C ) Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn ( )O

tại K Hạ AH vuông góc với BC

a) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng 2 2

AH KH luôn không đổi Tính góc B của tam

giác ABC biết 3

2

AH  R

b) Đặt AHx Tìm x sao cho diện tích tam giác OAH đạt giá trị lớn nhất

Câu 5 (2,0 điểm) Cho ABC vuông tại A biết AB3,AC  và AH là đường cao Gọi I4 AB

sao cho AI 2BI, CI cắt AH tại E Tính CE

Câu 6 (2,0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng:

3 2

a bc b c b ca c a c ab a b

a b c b c a c a b

-Hết -

9

Học sinh giỏi

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 (5,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: 12 12 1 2 1 1

1 k (k1)  k k( 1) (với k 0)

Từ đó hãy tính giá trị biểu thức:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 1 3 4 1 2022 2023 2023

b) Tìm tất cả các cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn: x2xy x y  5 0

Lời giải

a) Ta có 12 12 1 2

1 k (k1)

( 1)

k k k k

k k



( 1)

k k k k k k

k k



( 1)

k k k k k

k k



( 1)

k k

k k

 





2 1 ( 1)

k k

k k

 





1

k k

k k k k

* Ta có:

1 k (k1)  k k( 1) k k1

Khi đó:

S           

1

2021 2021, 5

2

x xy x y  y x x  x Với x 1 không thỏa mãn đẳng thức (*)

Khi đó

2

x x

 

Vì , x y nguyên nên suy ra: ( x 1) là ước nguyên của 7

Suy ra: (x    1)  1; 7

* x  1 1 x2 y11

* x   1 1 x0 y  5

* x 1 7x 8 y11

* x   1 7 x  6 y  5

Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa đề: (2;11), (0; 5), (8;11), ( 6; 5)  

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Cho hàm số y(m2m2)x2m có đồ thị là đường thẳng 8 d Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện

tích tam giác OAB bằng 2 ( với O là gốc tọa độ )

b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ rồi dừng lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước đã chảy vào bằng 8

9 bồn Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy bồn đó ?

Lời giải a) Vì , ,O A B tạo thành tam giác nên

4

m

m m

m m

 









Đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B nên 22 8 ; 0

2

m A

m m

(0; 2 8)

B m 

Ta có:

2

1 1 2 8 2( 4) 2 8

OAB



   

Do giả thiết SOAB nên 2

m m m m



2

m

b) Gọi x (giờ), y (giờ) lần lượt là thời gian để mỗi vòi chảy riêng đổ đầy bồn nước,

x y

Khi đó, trong 1 giờ : vòi thứ nhất chảy được 1

x bồn, vòi thứ hai chảy được

1

y bồn

Theo giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :

3 8

1

1 1 1 8 4

9



 







 

    

  



Đặt a 1,b 1

x y

  hệ trở thành

1

9 8

1

9

12

a b a

a b

b





Suy ra : x9,y12

Vậy vòi thứ nhất cần 9 (giờ), vòi thứ hai cần 12 (giờ) để chảy riêng một mình thì đầy bồn

Câu 3 (2,0 điểm) Cho x  1 3339 Chứng tỏ x33x26x21 là số chia hết cho 5

Lời giải

Ta có:

3 3

x   

33 33 39 3

x

33 33 39 1 2

x

33 2

x x

3 3 2

3x x 6x 12x 8

3 3 2 6 4

x x x

Từ đó suy ra : x33x26x2142125 là số chia hết cho 5

Câu 4 (5,0 điểm) Cho đường tròn ( )O đường kính BC2R và điểm A thay đổi trên ( ) O (điểm A

không trùng với ,B C ) Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn ( )O

tại K Hạ AH vuông góc với BC

a) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH2KH2 luôn không đổi Tính góc B của tam

giác ABC biết 3

2

AH  R

b) Đặt AHx Tìm x sao cho diện tích tam giác OAH đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

a) BAC vuông tại A , AK là đường phân giác trong của góc A nên K là điểm chính giữa

cung BC suy ra OHK vuông tại O

Ta có: OK2OH2HK2 HK2 R2OH2

Mặt khác: AH2OH2 R2  AH2 R2OH2

AH HK R OH R OH R

OAH

2

R

AH  nên OAH là nửa tam giác đều cạnh bằng R

Suy ra: AOH 600

+ Nếu H thuộc đoạn OB thì OAB cân tại O (OA OB R) có AOB 600 nên là tam giác đều Khi đó, ABC 600

+ Nếu H thuộc đoạn OC thì OAC cân tại O (OA OC R) có AOC 600 nên là tam

ACB ABC   Vậy ABC 600 hoặc ABC 300

b) OAH vuông tại H nên 2 2 2

AH OH OA

x OH R OH R x

2 2

  

OAH

S  AH OH  x R x Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:

2 2 2 2

2 2

OAH

x R x R

2

4

R

không đổi

2

R x x R x x R

Vậy S đạt giá trị lớn nhất là

2

4

R

2

x R

Câu 5 (2,0 điểm) Cho ABC vuông tại A biết AB3,AC  và AH là đường cao Gọi I4 AB

sao cho AI 2BI, CI cắt AH tại E Tính CE

Lời giải

Trong ABC có BC AB2AC2 5, 12

5

AH 

5

BH BCAB BH  , 16

5

CH  Dựng IK BC K, ( BC) Khi đó:

BK  BH  CK  IK AH  IC IK CK 

11

CE

Câu 6 (2,0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng:

3 2

a bc b c b ca c a c ab a b

a b c b c a c a b

Lời giải

Ta có: (a2bc b c)(  )a b2 a c b c bc2  2  2 b a( 2c2)c a( 2b2)

Tương tự: (b2ca c)( a)c b( 2a2)a b( 2c2)

(c2ab a b)(  )a c( 2b2)b c( 2a2)

xa b c yb c a zc b a Khi đó:

a bc b c b ca c a c ab a b y z z x x y

Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số không âm , ,x y z :

xy2 xy

y z 2 yz

z x 2 zx

(xy y)( z z)( x)8xyz

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm: y z; z x; x y

, ta có:

3 ( )( )( ) 3

y z z x x y y z z x x y



3 2

a bc b c b ca c a c ab a b

a b c b c a c a b

-Hết -