034 đề hsg toán 8 hưng hà 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên dương của để có giá trị nguyên Bài 2[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG HÀ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN_LỚP 8_NĂM HỌC 2022-2023

Bài 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức

:

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị nguyên dương của xđể Acó giá trị nguyên

Bài 2 (3,0 điểm) Giải các phương trình sau :

a x  x  x 

Bài 3 (3,0 điểm)

a) Cho a b c  1004 Chứng minh

3

1004

a b c abc

a b c ab bc ca

  



    

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

5

2 1

x x Q

x x

 



 

Bài 4 (3,0 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử : x y z2  y z x2  z x y2  

b) Đa thức f x chia cho x 1dư 5, chia cho x 2 1dư 2x 3.Tìm phần dư khi chia

 

f x cho x 1 x2  1

Bài 5 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD,trên cạnh ABlấy điểm E và trên cạnh ADlấy điểm F sao cho AEAF.Vẽ AHvuông góc với BF H BF,AH cắt DCvà BC lần lượt tại hai điểm M N,

a) Chứng minh tứ giác AEMDlà hình chữ nhật

b) Chứng minh CBH∽ EAH

c) Biết diện tích CBHgấp bốn lần diện tích EAH Chứng minh AC2EF

d) Chứng minh 2 2 2

Bài 6 (1,0 điểm) Cho a b c, , là ba cạnh của tam giác Chứng minh :

ab bc ac

a b c

a b c b c a a c b          

ĐÁP ÁN

Bài 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức

:

A

c) Rút gọn biểu thức A

ĐKXĐ: x2,x0,x3

Rút gọn biểu thức :

   

 

 

   

 

 

   

2

2

4 2

A





Vậy

2 3

x

A

x



 với x2,x0,x3

d) Tìm giá trị nguyên dương của xđể Acó giá trị nguyên

Ta có

3

 

Với xnguyên dương thì x  3

Để A có giá trị nguyên khi xnguyên dương thì  

9

Ta có bảng sau :

x

x

Ktra tm ktm tm ktm tm ktm

Vậy x 4;6;12 là giá trị cần tìm

Bài 2 (3,0 điểm) Giải các phương trình sau :

a x  x  x 

x2 4x2 2x2 4x 8 43 x2 4x2 2x2 4x 35 0 1 

Đặt tx2 4x Khi đó phương trình (1) thành :

 

2 2

2

2 35 0 7 5 35 0

1

5

x

x

       

        



     







2020 2019 2018 2017 2

2021 2021 2021 2021 2021

0

2020 2019 2018 2017 2

2021

2020 2019 2

b

x

           

0

018 2017 2

2020 2019 2018 2017 2

Vậy x 2021

Bài 3 (3,0 điểm)

c) Cho a b c  1004 Chứng minh

3

1004

a b c abc

a b c ab bc ca

  



    

Ta có : a3b3c3 3abc

a b ab a b c ab a b abc  a b c  ab a b c

a b c a  2 b2 c2 ab bc ca

Vậy

3

1004( )

a b c a b c ab bc ca

a b c abc

a b c dfcm

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

      

  

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

5

2 1

x x Q

x x

 



 

Ta có :  

2 2

5 1

x x

Q

x

 



 Đặt

1

2

              

2

             

19 20

Q 

Vậy

Bài 4 (3,0 điểm)

c) Phân tích đa thức thành nhân tử : x y z2  y z x2  z x y2  

x y z y z x z x y x y x x z y z x z x y

x y x x z x y z x z x y x y z x z y

d) Đa thức f x chia cho x 1dư 5, chia cho x 2 1dư 2x 3.Tìm phần dư khi chia f x cho x 1 x2  1

Ta có : Giả sử f x chia cho x21 x1

được phần dư là đa thức bậc hai ax2bx c vì

đa thức chia là bậc 3

       

       

         

f x x x Q x ax bx c

f x x x Q x ax a a bx c

Do f x chia cho đa thức x 2 1được dư là  

2

3

b x

c a





  

 



Lại có f x chia cho đa thức x 1được dư là 5 Nên theo định lý Nơ ru

f    a b c  

Từ

   

      

     

Vậy phần dư của đa thức cần tìm là 5x22x2

Bài 5 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD,trên cạnh ABlấy điểm E và trên cạnh AD

lấy điểm F sao cho AEAF.Vẽ AHvuông góc với BF H BF,AH cắt DCvà BC lần lượt tại hai điểm M N,

2

H

M

N

F

C D

e) Chứng minh tứ giác AEMDlà hình chữ nhật

Xét tứ giác AEDM có AE DM/ / (do AB CD/ / ) (1)

Xét AFBvuông tại A có đường cao AHcó :

90 90

     

  



     

Xét ABFvà DAM ta có : 1 2

( )

AB DA gt





∽

 2

AF DM

AE DM

AE AF









Từ (1) và (2) suy ra AEMDlà hình bình hành Lại có DAE90 gt

Nên tứ giác AEMDlà hình chữ nhật

f) Chứng minh CBH∽ EAH

Xét AFHvà BAHcó :

1 2

( )

AFH BAH g g



90

90

     

  



     

Xét CBHvà EAH có :

 

EAH CBH c g c

AE AH

BC BH

  





g) Biết diện tích CBH gấp bốn lần diện tích EAH Chứng minh AC2EF

Vì ABH 4 EAH 4 2

AB

AE

(Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

1

2

là trung điểm của AB.

Flà trung điểm của AD

Mà AEFvuông cân tại A nên EF2 AE2AF2

AB AB AB

Mà ABCvuông cân tại B nên AC2 AB2BC2

h) Chứng minh 2 2 2

Ta có AB CD/ / Theo Talet :  

CN MN  AM MN  AM MN

AN AB AN MN  AN MN  AN MN

Từ (3), (4)



2

AD AD

Bài 6 (1,0 điểm) Cho a b c, , là ba cạnh của tam giác Chứng minh :

a b c

a b c b c a a c b          

Đặt

x a b c

z a c b

  







   

           

1

4

1

4

x z x y y x y z z x z y

VT

             

Lại có xy yz xz x y2 2 y z2 2 x z2 2 1  2 2 2 2 2 2

x y y z x z

z  x  y  xyz  xyz  xyz xyz  

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

2 2 2 2 2 2

x y y z y xz y z z x z yz z x x y x yz

x y y z z x xyz x y z

VT x y z xyz x y z VT x y z a b c VT a b c

x

                  

Điều phải chứng minh, dấu bằng xảy ra  x  y z a b c 