23 hsg9 ha nam 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Hà Nam Câu 1 Cho biểu thức 21 1 1a a a a a a[.]

Tỉnh Hà Nam

Câu 1: Cho biểu thức

2

P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm điều kiện của a để biểu thức 8

Q P

 nhận giá trị nguyên

Câu 2: a) Giải phương trình x23 x33x24x2 0

b) Giải hệ phương trình

2







Câu 3: Cho parabol   1 2

: 2

P y x và hai điểm A2; 2 ,  B4;8 nằm trên  P Gọi M là điểm thay đổi trên  P và có hoành độ là m 2 m4  Tìm m để tam giác ABM có diện tích lớn

nhất

Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình    3

x y x y  y xx

Câu 5: a) Cho đường tròn O R;  đường kính AB Gọi C là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn Các

đường thẳng CA CB, cắt đường tròn   O tại điểm thứ hai tương ứng là D E, Trên cung AB

của   O không chứa D lấy điểm F0FAFB Đường thẳng CF cắt AB tại M, cắt đường tròn ( )O tại N ( N không trùng với F) và cắt đường tròn   O ' ngoại tiếp tam giác

CDE tại P (P không trùng với C )

i) Giả sử ACB 60 , tính DE theo R

ii) Chứng minh CN CF CP CM

iii) Gọi I H, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD AB, Các

đường thẳng IH và CD cắt nhau tại K Tìm vị trí của điểm F để biểu thức AB BD AD

FH FI FK

đạt giá trị nhỏ nhất

b) Cho góc nhọn xOy cố định và A là điểm cố định trên Ox Đường tròn   I thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với Ox Oy, lần lượt tại E D, Gọi AF là tiếp tuyến thứ hai kẻ từ A đến   I (F

là tiếp điểm) Chứng minh DF luôn đi qua một điểm cố định

Câu 6: Cho 2 số dương a b, Chứng minh:  

5

-Hết -

9

Học sinh giỏi

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho biểu thức

2

P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm điều kiện của a để biểu thức 8

Q P

 nhận giá trị nguyên

Lời giải

a) Rút gọn biểu thức P

 

3

1 1 1 1

1 1

a P

    







1 1 1

     

  

2 1

a a

a

 



b) Tìm điểu kiện của a để biểu thức 8

Q P

 nhận giá trị nguyên

1

a

     (loại do a  ) 1

Vậy P  4 a 0,a1

8

P

     

Do đó để QQ 1 P 8  a 26 a 1 0

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy a 17 12 2 là các giá trị cần tìm

Lời giải

a) Điều kiện x33x24x 2 0

x  x  x  x x  x

nên x33x24x 2 0x1 vì 2  2

x  x  x   x

1 2 x1  x 2x2 3 x1 x 2x2  0

x

x x



  ta được phương trình

2

1

2

t

t t

t







 



t

2

3 3 0

t

2

Vậy pt có 2 nghiệm x  3 3

b) Điều kiện

3 2 0

x

y



 





 





 )x2   y 3 x5y0 vô nghiệm

2

x y   x y

)x 2 y 3 y x 1

       thay vào  2 ta được

2x 3 2 x1 2x x26

Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2yx2y4y xx3.

Lời giải

x y x y  y x x  x x   y

y y là số nguyên dương lẻ

1 x x2 1

   là số nguyên dươnglẻ

2

1 x x, 1

   cùng lẻ và 1  x 0

Giả sử  2

1x,1x d d là số lẻ

1x d  1x d Lại có  2

1 x d 1x2  1x2 d2 dd1

(1) 1x x 1 là số chính phương

2

1x,1x là 2 số nguyên tố cùng nhau nên 1x,1x2 đều là số chính phương

Do 2 2

, 1

x x  là hai số nguyên liên tiếp và cùng là số chính phương nên x 0

1

y

y





 Vậy x y ;  0; 0 hoặc x y ;  0;1

Câu 5: a) Cho đường tròn O R đường kính ;  AB Gọi C là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn Các

đường thẳng CA CB, cắt đường tròn   O tại điểm thứ hai tương ứng là D E, Trên cung AB

của   O không chứa D lấy điểm F0FAFB Đường thẳng CF cắt AB tại M, cắt đường tròn ( )O tại N ( N không trùng với F) và cắt đường tròn   O ' ngoại tiếp tam giác

CDE tại P (P không trùng với C )

i) Giả sử ACB 60 , tính DE theo R

ii) Chứng minh CN CF CP CM

iii) Gọi I H, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD AB, Các

đường thẳng IH và CD cắt nhau tại K Tìm vị trí của điểm F để biểu thức AB BD AD

FH FI FK

đạt giá trị nhỏ nhất

 

Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2yx2y4y xx3.

Lời giải

x y x y  y x x  x x   y

y y là số nguyên dương lẻ

1 x x2 1

   là số nguyên dươnglẻ

2

1 x x, 1

   cùng lẻ và 1  x 0

Giả sử  2

1x,1x d d là số lẻ

1x d  1x d Lại có  2

1 x d 1x2  1x2 d2 dd1

(1) 1x x 1 là số chính phương

2

1x,1x là 2 số nguyên tố cùng nhau nên 1x,1x2 đều là số chính phương

Do 2 2

, 1

x x  là hai số nguyên liên tiếp và cùng là số chính phương nên x 0

1

y

y





 Vậy x y ;  0; 0 hoặc x y ;  0;1

Câu 5: a) Cho đường tròn O R đường kính ;  AB Gọi C là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn Các

đường thẳng CA CB, cắt đường tròn   O tại điểm thứ hai tương ứng là D E, Trên cung AB

của   O không chứa D lấy điểm F0FAFB Đường thẳng CF cắt AB tại M, cắt đường tròn ( )O tại N ( N không trùng với F) và cắt đường tròn   O ' ngoại tiếp tam giác

CDE tại P (P không trùng với C )

i) Giả sử ACB 60 , tính DE theo R

ii) Chứng minh CN CF CP CM

iii) Gọi I H, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD AB, Các

đường thẳng IH và CD cắt nhau tại K Tìm vị trí của điểm F để biểu thức AB BD AD

FH FI FK

đạt giá trị nhỏ nhất

b) Cho góc nhọn xOy cố định và A là điểm cố định trên Ox Đường tròn   I thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với Ox Oy, lần lượt tại E D, Gọi AF là tiếp tuyến thứ hai kẻ từ A đến   I (F

là tiếp điểm) Chứng minh DF luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

a)

i) Xét đường tròn  O

2

s BFA s DNE

(Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)

2

s DNE BCA  s DNE 





 EOD 60

OED

 có ODOE OED cân tại O

Mà EOD 60 ODElà tam giác đều

OD DE

ii) Chứng minh CN CF CP CM

CPECDE (2 góc nội tiếp chắn cung CE của đường tròn  O )

Mà CBM CDE (Vì tứ giác ABED nội tiếp đường tròn  O )

 CBM CPE nên tam giác CPE đồng dạng với tam giác CBM

 CE CM CE CB CM CP

Tương tự chứng minh tam giác CNE đồng dạng với tam giác CBF

CE CF

CE CB CN CF

Xét DFK và BFHcó FKDFHB90

và FBH FDA (Hai góc nội tiếp cùng chắn AF của đường tròn  O )

~

DFK BFH

FK  FH (1)

Tương tự tam giác IDF đồng dạng với tam giác HAF ID HA

IF HF

Tương tự tam giác AFK đồng dạng tam giác BFI nên: AK BI

FK  FI(2)

FK FK FH FI

FK  FH FI

DA BD BH BD BI BH ID

FK FI FH FI FI FH FI

FI  FH suy ra:

FK FI  FH FH  FH

FH  FI  FK  FH

FH  FI  FK nhỏ nhất khi FH lớn nhất khi F là trung điểm cung AB

b)

Kéo dài DF cắt OI tại J

Chứng minh được 4 điểm A E I F, , , cùng thuộc một đường tròn

Chứng minh được JFEJIE suy ra 4 điểmJ F I E, , , cùng thuộc một đường tròn.

Do đó 5 điểm A E I F J, , , , cùng thuộc một đường tròn

Góc AJI 90 do đó J là điểm cố định

Câu 6: Cho 2 số dương a b, Chứng minh:  

5

Lời giải

(1) 5

2

5

1

a b

Đặt

1

a x

a b



b y

a b



  ;

1 1

z

a b



 

a b

Vì a b ; 0 x y z; ; 0

Ta lại có x  y z 1  0 x y z; ; 1

Thay vào (*) ta được  

5

2z 2z 1 2y 2y 1 2x 2x 1 5

2t 2t 1 5 25 t 3

    với mọi t thuộc khoảng (0; 1)

2

18 3 1

t

t t



 

2

18 3 1 9 1

0

t

t t



 

2 2

18 3 1 18 18 4

0

t t  t

3 1 9 23 2 0

t t

t t



3t 1 18t 3t 1 0

     vì 2t22t   1 0 t

3t 1 2 6t 1 0

    luôn đúng với mọi t thỏa mãn 0  t 1

Dấu bằng xảy ra khi 1

3

t 

Sử dụng (*) 3 lần cho x y z ; ; rồi cộng từng vế 3 bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh

3

x  y  z  hay a   b 1