24 hsg9 hà nội 22 23

a Chứng minh rằng đường thẳng ME là tiếp tuyến của  O.. c Gọi ,P Q lần lượt là giao điểm của MD với hai đường thẳng BE và BF.. Gọi S là tập hợp gồm các trung điểm của các đoạn thẳngA A

Tỉnh Hà Nội

Câu 1 (5,0 điểm)

1 Giải phương trình sau: x22x 6 x2  2x 2 x 3

2 Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn đồng thời các điều kiện

8 ,

a   b   và

2 2

2 1

c a

c  

Tính giá trị của biểu thức P a b c  

Câu 2 (5,0 điểm)

1 Tìm tất cả số nguyên dương n để 3n 1 và 12n 11 là các số chính phương

2 Cho P x a x0 2022a x1 2021a x2 2020a2022

là đa thức với hệ số thực thỏa măn đồng thời các điều kiện   1

1

P k

k



 , với k 0,1, 2, , 2022 Tính giá trị P2023

Câu 3 (2,0 điểm)

Với , ,a b c là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện a b c  16

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

a b b c a c P

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại ( A AB AC ) nội tiếp đường tròn  O Các tiếp tuyến tại A và

C của đường tròn  O cắt nhau tại S Trên tia đối của tia CA lấy điểm M M C

Qua S

kẻ đường thẳng vuông góc với OM , cắt đường tròn  O tại hai điểm phân biệt E và F ( E

nằm giữa S và )F

a) Chứng minh rằng đường thẳng ME là tiếp tuyến của  O .

b) Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống đường thẳng BC Chứng minh EC là tia

phân giác của góc FED

c) Gọi ,P Q lần lượt là giao điểm của MD với hai đường thẳng BE và BF Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ Chứng minh rằng SDK  90

Câu 5 (2,0 điểm)

1 Tìm tất cả các số nguyên tố , ,m n p thỏa mãn m23n25p2 8mnp 0

9

Học sinh giỏi

2 Cho đa giác đều A A1 2A2023 Gọi S là tập hợp gồm các trung điểm của các đoạn thẳng

A A  i j và M là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm thuộc S Gọi N là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng A A i j(1 i j2023) Chứng minh rằng M 10112N

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 (5,0 điểm)

1 Giải phương trình sau: x22x 6 x2  2x 2 x3

2 Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn đồng thời các điều kiện

8 ,

a   b   và

2 2

2 1

c a

c   Tính giá trị của biểu thức P a b c  

Lời giải

1 Giải phương trình sau: x22x 6 x2  2x 2 x 3

ĐKXĐ: x  Khi đó: 1 x22x 6 x2  2x 2 x3

2 2

2

2( 1)

( 1)( 3)

x

x

x x

x

x

x

x x

 



 

2

1

x x

x

x









Ta thấy ở phương trình (¿), do điều kiện x  nên1 VT  1 VP

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x  1

2 Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn đồng thời các điều kiện

8 ,

a   b   và

2 2

2 1

c a

c  

Tính giá trị của biểu thức P a b c  

Từ giả thiết ta suy ra , ,a b c  0

Nếu trong ba số , ,a b c có một số có giá trị bằng 0, giả sử a  0

Khi đó b  và kéo theo 0 c  Ta có 0 P     0 0 0 0

Tương tự, nếu b  hoặc 0 c  cũng kéo theo 0 a b c , ,  0,0,0, dẫn đến P  0

Giả sử , ,a b c  Khi đó, theo bất đẳng thức Cô si ta có0

2



2

2



2 2

b



Do đó ta có a c 2b a

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi

1

2

a b c

Khi đó

5 2

P 

Vậy P 0 hoặc

5 2

P 

Câu 2 (5,0 điểm)

1 Tìm tất cả số nguyên dương n để 3 n  và 12 111 n  là các số chính phương.

2 Cho P x a x0 2022a x1 2021a x2 2020a2022

là đa thức với hệ số thực thỏa măn đồng thời các điều kiện   1

1

P k

k



 , với k 0,1, 2, , 2022 Tính giá trị P2023

Lời giải

1 Tìm tất cả số nguyên dương n để 3n 1 và 12n 11 là các số chính phương

Ta có 3n 1 là số chính phương nên 12n 4 4 3 n1

là số chính phương

Đặt 12n 4 x2;12n11y2 với x y N

Ta được x2 y2 x y x y     15

nên x y x y U ,    15

và x y x y    0

Từ đó có các TH sau:

TH1:

15 1

x y

x y





 , giải ra y  nên 7 n 5

TH2:

5 3

x y

x y





 , giải ra y  nên 1 n 1

Thử lại ta thấy thỏa mãn

Vậy n 1;5 .

P x a x a x a x a là đa thức với hệ số thực thỏa măn đồng thời

các điều kiện   1

1

P k

k



 , với k 0,1, 2, , 2022 Tính giá trị P2023

Xét đa thức f x   x1  P x 1 Đa thức f x  có bậc là 2023, hệ số cao nhất là a 0

Vì đa thức nhận x 0,1, , 2022 là nghiệm nên đa thức f x  có dạng

Do đó ta có 2024P20231f 2023 2023!a0

Bây giờ ta sẽ đi tìm a 0

Ta có:

0

0

2023!

a

a



Do đó 0

1 2023!

a 

Thế nên 2023 2023! 1 1

2023!

Vậy 2023 1 1 2 1

2024 2024 1012

Câu 3 (2,0 điểm)

Với , ,a b c là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện a b c  16

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

a b b c a c P

Lời giải

Ta có:

1 1 1

3 16

P

a b c

Do đó, ta chỉ cần tìm min, max của

1 1 1

B

a b c

Không mất tính tổng quát giả sử a b c  Từ giả thiết suy ra 6 c 14

* Tìm giá trị nhỏ nhất:

Khi đó

16

B

Ta sẽ chứng minh:

16 c c 30 Thật vậy, BĐT đó tương đương với

c



c 6 17  c 80 0

(đúng vì c 6)

Vậy giá trị nhỏ nhất của

16.17 91

3

Dấu bằng xảy ra khi a b 5,c 6

* Tìm giá trị lớn nhất:

Ta sẽ chứng minh:

1

1

a b  a b  Thật vậy, BĐT đó tương đương với

   

1

 

Khi đó,

1

15

B

  

 Ta tiếp tục chứng minh

1 2 14

B  

BĐT này tương đương với

     

c  c        (luôn đúng, vì 6 c 14)

Vậy giá trị lớn nhất

16.29 211

3

Dấu bằng xảy ra khi a b 1,c14

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại (A AB AC ) nội tiếp đường tròn  O Các tiếp tuyến tại A và

C của đường tròn  O

cắt nhau tại S Trên tia đối của tia CA lấy điểm M M C

Qua S

kẻ đường thẳng vuông góc với OM , cắt đường tròn  O tại hai điểm phân biệt E và F ( E

nằm giữa S và )F

a) Chứng minh rằng đường thẳng ME là tiếp tuyến của  O .

b) Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống đường thẳng BC Chứng minh EC là tia phân giác của góc FED.

c) Gọi ,P Q lần lượt là giao điểm của MD với hai đường thẳng BE và BF Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ Chứng minh rằng SDK  90

Lời giải

a) Chứng minh rằng đường thẳng ME là tiếp tuyến của  O .

Gọi T là giao điểm của OS với AC N là giao điểm của , OM với EF

Ta có STM SNM 90 nên ONS #OTM Suy ra

OM OT .

Từ đó: ON OM OS OT OC  2 OE2 OF2

suy ra OEM OFM 90 hay ME và MF là hai tiếp tuyến của  O

b) Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống đường thẳng BC Chứng minh EC là tia phân giác của góc FED.

Với ,P Q là giao điểm của MD với , BE BF

Ta có: MEP 90 OEB 90 OBE EPM 

suy ra MP ME

Tương tự MQ MF Suy ra MP ME MQ MF  

Từ đó QEP 90 CEP

Suy ra , ,E C Q thẳng hàng Tương tự , , F C P thẳng hàng.

Ta thu được tam giác BPQ có BD QE PF là ba đường cao đồng quy tại , , C.

Từ đó: BEF #BQP#DEP, dẫn đến BEF DEP

Cuối cùng ta thu được CEF DEF

c) Gọi ,P Q lần lượt là giao điểm của MD với hai đường thẳng BE và BF Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ Chứng minh rằng SDK  90

Ta có C là trực tâm của tam giác BPQ K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ nên,

2

BC KM Suy ra OC KM

Do DCM OCT OSC  , suy ra CDM #SCO.

Từ đó:

DM CO MK Suy ra SCD #KMD (c.g.c), kéo theo SDC MDK 

Từ đó: SDK CDM  90

Câu 5 (2,0 điểm)

1 Tìm tất cả các số nguyên tố , ,m n p thỏa mãn m23n25p2 8mnp 0

2 Cho đa giác đều A A1 2A2023 Gọi S là tập hợp gồm các trung điểm của các đoạn thẳng

A A   i j và M là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai

điểm thuộc S Gọi N là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng A A i j(1  i j 2023) Chứng minh rằng M 10112N

Lời giải

1 Tìm tất cả các số nguyên tố , ,m n p thỏa mãn m23n25p2 8mnp 0

Ta viết lại giả thiết như sau: m23n25p2 8mnp

Xét tính chia hết cho 2 hai vế của biểu thức, ta thấy tồn tại một trong ba số , ,m n p phải là số

chẵn, nên số đó phải bằng 2

Xét tính chia hết cho 3 hai vế của biểu thức Nếu 3 số đều không chia hết cho 3 thì

2, ,2 2 1 mod3

m n p 

suy ra VT  1

chia hết cho 3,VP  1

không chia hết cho 3 (vô lý)

Do đó tồn tại ít nhất một trong ba số là 3

Nếu m 3 hoặc p  , do 3 VP  1

chia hết cho 3 nên cả ,m p đều phải chia hết cho 3, dẫn đến

3, 2

m p n Thử lại ta thấy không thỏa mãn

Nếu n 3, ta xét 2 TH sau:

TH1: m2,n Thay vào phương trình ta được 3 31 5 p2 48p, phương trình này không có nghiệm nguyên

TH2: n3,p Thay vào phương tình ta được 2 m247 48 m, suy ra m 47

Vậy m n p , ,  47,3, 2

2 Cho đa giác đều A A1 2A2023 Gọi S là tập hợp gồm các trung điểm của các đoạn thẳng

A A   i j và M là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai

điểm thuộc S Gọi N là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng A A i j(1  i j 2023) Chứng minh rằng M 10112N

Gọi E ij

là trung điểm của đoạn A A i j

Ta có:

1 2023 1 2023

     

1 2023

1

2 i j i j

  

Xét tứ giác A A A A i j h k, ta có E E ij hk 12A A i h A A j k

Suy ra:

1 2023 1 2023

2 i j 2 h k ij hk

     

1 2023 1 2023 1 2023

A A

        

1

8     i j h k A A i h

1 2023

2021.2020 1

8 2   i h A A i h