20 hsg9 thainguyen 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Thái Nguyên Câu 1 (6,0 điểm) Cho các biếu th[.]

Tỉnh Thái Nguyên

Câu 1 (6,0 điểm) Cho các biếu thức 2 3 2

2

A

x



2 2

B

x

1 Rút gọn biểu thức A và B

2 Tìm tất cả các giá trị của x để AB

3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 1

B



Câu 2 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( ) : d yax b và parabol

2 ( ) :P yx Tìm tất cả các giá trị của ,a b để đường thẳng ( ) d đi qua điểm M(3;5) và tiếp xúc với parabol ( )P

Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình 2

x  m x m   m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của

một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 7 2

Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD,

BK, CI cắt nhau tại điểm H Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm L,F sao cho HL ∥ DI, HF ∥ DK

Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với đường tròn (O)

a Chứng minh rằng các tứ giác BIKC, BLFC nội tiếp đường tròn

b Đường thẳng BK cắt đường tròn (O) tại điểm J (J  B) Chứng minh rằng ba điểm L, F, J thẳng hàng

c Gọi P là giao điểm của AH và LF Chứng minh rằng AH = AP.AE

Câu 5 (2,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên dương n để n2024n20231 là số nguyên tố

b) Cho phương trình x2ax b  1 0( ,a b;b 1) Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm đều là những số nguyên thì a2b2 là hợp số

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hai số thực dương thay đổi ,a b thỏa mãn điều kiện a b 4 Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức 2 2 1 1

9

-Hết -

9

Học sinh giỏi

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN

Câu 1 (6,0 điểm) Cho các biếu thức 2 3 2

2

A

x



2 2

B

x

1 Rút gọn biểu thức A và B

2 Tìm tất cả các giá trị của x để AB

3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 1

B



Lời giải

1 Điều kiện xác định của biểu thức A là 0

4

x x











Điều kiện xác đinh của biểu thức B là x 0

2

A

x





2

x





2

x



 2 x 1

( 1) 2( 1)

2 2

B

x



2 2

x

2 Với 0

4

x x











ta có AB2 x   1 x 1

   x( x2)0  x vì 0 x 4

Vậy x 0 thì AB

3 Ta có: 1 2

1







Với x 0 thì A 1 0

B



 (1)

4

x x











1

A B

x x







Áp dụng bất đẳng thức AMGM, ta có: 1

2

x x

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x 1 x 1

x

   (thỏa mãn)

Khi đó: A 1 1

B



 (2)

Từ (1) và (2) ta có: Giá trị lớn nhất của biểu thức A 1

B



là 1

Câu 2 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( ) : d yax và parabol b

2 ( ) :P yx Tìm tất cả các giá trị của ,a b để đường thẳng ( ) d đi qua điểm M(3;5) và tiếp xúc với parabol ( )P

Lời giải

Đường thẳng ( )d đi qua điểm M(3;5)3ab (1) 5

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( ) P là: x2axb x2ax b  0

Đường thẳng ( )d tiếp xúc với ( ) P  phương trình x2ax b  có nghiệm kép 0

2

(1) b 5 3a thế vào (2) ta có phương trình: 2 12 20 0 2

10

a

a







Với a 2 thì b  1

Với a 10 thì b  25

Vậy a 2 và b 1;a10 và b  25 thì đường thẳng ( )d tiếp xúc với parabol ( ) P

Câu 3 (2,0 điểm) Cho phương trình 2

x  m x m   m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 7 2

Lời giải

a) Ta có  

2



Vậy với mọi m phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x x là hai nghiệm phân biệt của phương trình 1, 2 x x là độ dài hai cạnh góc vuông của 1, 2

tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là

1 2

0

98

x x

x x







 



Áp dụng định lý Viet đối với phương trình ta có: 1 2

1 2

3





  



2 1 2





1

3

3

m

m m





 



x x   x x  x x  2m23m440

4 11 2

m m

 







 



Kết hợp với điều kiện, ta có m  4 thỏa mãn; 11

2

m  không thỏa mãn

Vậy m  4 thì phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 7 2

Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD,

BK, CI cắt nhau tại điểm H Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm L,F sao cho HL∥ DI, HF∥DK

Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với đường tròn (O)

a Chứng minh rằng các tứ giác BIKC, BLFC nội tiếp đường tròn

b Đường thẳng BK cắt đường tròn (O) tại điểm J (J  B) Chứng minh rằng ba điểm L, F, J thẳng hàng

c Gọi P là giao điểm của AH và LF Chứng minh rằng AH = AP.AE

Lời giải:

a) Theo giả thiết ta có:  0

BKC  90

Suy ra, tứ giác BIKC nội tiếp đường tròn đường kính BC

∥ (1)

Từ (1), (2) suy ra AL AF

LF / / IK.

Vì tứ giác BIKC nội tiếp nên BCK   AIK 

Mặt khác AIK   ALF  (vì LF / / IK.)

Suy ra BCK   ALF 

Xét tứ giác BLFC ta có: BCK   ALF  Do đó tứ giác BLFC nội tiếp đường tròn

P

I

F

L

J

E D

K

H

Q

O A

b) Ta có:    1 

2

Lại có: ACB   AHJ (vì cùng phụ với DAC )

Suy ra AJH   AHJ  → K là trung điểm của HJ

=  FHJ cân tại F  KFJ   HFK  (3)

Vì HF // DK nên HFK   DKC  (4)

Vì tứ giác AKDB nội tiếp đường tròn đường kính AB nên DKC   ABC  (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra KFJ   LBC 

LFJ  LFK  KFJ  LFC  LBC  180 (vì tứ giác BLFC nội tiếp đường tròn)

Do đó ba điểm L, F, J thẳng hàng (đpcm)

c) Gọi Q là giao điểm thứ hai của đường thẳng CH với đường tròn (O) Chứng minh tương tự ý b, ta có ba điểm L, F, Q thẳng hàng và I là trung điểm của HQ

Vậy các điểm Q, L, F, J thẳng hàng

Ta có: AQ  AH  AJ

AQJ

  cân tại A AJQ   AQJ 

2

Ta có:









APJ AJE

  Vì AH  AJ nên AH  AE.AP

(đpcm)

Câu 5 (2,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên dương n để n2024n2023 là số nguyên tố.1

b) Cho phương trình x2ax b  1 0( ,a b;b 1) Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm đều là những số nguyên thì a2b2 là hợp số

Lời giải

a) Với n 1 ta có: n2024n2023  là số nguyên tố 1 3

Vậy n 1 thỏa mãn

Với n 2

Ta có: n2024n2023 1 n2024n2n2023 n n2  n 1

 674    673  672

Do đó: n2024n2023 chia hết cho 1 n2  n 1

Mặt khác, với n 2 thì 2024 2023 2

n n  n    n

Do đó n2024n2023 là hợp số 1

Tóm lại: n 1 thì n2024n2023 là số nguyên tố 1

b)Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên là x x1, 2

Vì b  1 nên x 1 0 và x 2 0

x x a a x x

x x b b x x

       







Vì x x1, 2 là các số nguyên khác 0 nên 2 2

Do đó: a2b2 là hợp số

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hai số thực dương thay đổi ,a b thỏa mãn điều kiện a b 4 Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức 2 2 1 1

9

Lời giải

Ta có P 9 a b a b

ab



9

a b

a b

Áp dụng bất đẳng thức AMGM, ta có:

2

4

a b

ab 

4

16

a b

a b 

Áp dụng bất đắng thức AMGM, ta có:

2

2

18

a b

a b



Do đó

2

18

a b a b P

a b

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a b 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 5

-Hết -