112 đê hsg toán 8 tiền hải 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử b) Cho (số gồm 2018 chữ số 9), (số gồm 2018 chữ số 9)[.]

111Equation Chapter 1 Section 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN HẢI

ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (4,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2y22xy3x3y2

b) Cho a 999 92(số gồm 2018 chữ số 9), b 0,9999 92(số gồm 2018 chữ số 9) Chứng minh 1 a b  là bình phương của một số hữu tỉ

Bài 2 (4,5 điểm)

a) Cho biểu thức

:

M

Rút gọn biểu thức M và tính giá trị biểu thức M khi x là nghiệm của phương trình

1 2 1

x  x

b) Đa thức f x chia cho x  5dư 2014, chia cho x 2dư -2018 Tìm dư của phép chia đa thức f x cho x2 3x10

Bài 3 (4,5 điểm)

9 20 11 30 13 42 18

b) Tìm giá trị của mđể phương trình ẩn x:

4



c) Tìm các cặp số nguyên x y; thỏa mãn phương trình x2 y4x2y0

Bài 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M Vẽ BH vuông góc với CM tại H Đường thẳng đi qua H và vuông góc với DH cắt cạnh BC tại N

Chứng minh rằng :

a) BC2 CH CM.

b) DHC∽ NHB

c) MN/ /AC

d) Khi M thay đổi trên cạnh AB thì đường thẳng kẻ qua M và vuông góc với DN đi qua một điểm cố định

Bài 5 (1,0 điểm) Cho đa giác lồi có 24 cạnh Chứng minh rằng luôn tồn tại một đường

chéo của đa giác lồi không song song với bất kỳ cạnh nào của đa giác đó

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

c) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2y2 2xy3x3y2

d) Cho a 999 92(số gồm 2018 chữ số 9), b 0,9999 92(số gồm 2018 chữ số 9) Chứng minh 1 a b  là bình phương của một số hữu tỉ

2 2018 2

2018

2018

10 1

10

a b      

  (Đặt x 102018)

2

2

1

Bài 2 (4,5 điểm)

c) Cho biểu thức

:

M

Rút gọn biểu thức M và tính giá trị biểu thức M khi x là nghiệm của phương trình

1 2 1

x  x

ĐKXĐ: x0;x1;x2

2

:

( 2 1)

M

x x



4

3

d) Đa thức f x chia cho x  5dư 2014, chia cho x 2dư -2018 Tìm dư của phép chia đa thức f x cho x2 3x10

x  x  x x

Ta có f x   x 5 x2  q x r x 

Vì bậc của r(x) nhỏ hơn hoặc bằng 1 nên đặt r x ax b

Vì f x chia cho x  5dư 2014,chia cho x 2dư – 2018 nên :

 

866

b

  









Vậy đa thức dư cần tìm là 576x  866

Bài 3 (4,5 điểm)

9 20 11 30 13 42 18

2 2

4; 5; 6; 7

13( )

11 26 0

2( )

11 28 18

x





e) Tìm giá trị của mđể phương trình ẩn x:

4



ĐKXĐ: x1;x2

2 2 8 *



Khi m 2thì phương trình (*) vô nghiệm

Khi m 2thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất

2 8 2

m x m







Theo ĐKXĐ ta có

2 8

1

10 2

2 2

m

m m







 





 



Vậy phương trình có nghiệm thì

10

3

f) Tìm các cặp số nguyên x y; thỏa mãn phương trình x2  y4x2y0

2

Khi x=2 thì phương trình (*) vô nghiệm

Khi x 2thì phương trình (*)

2



Để y nguyên thì

2 (4) 1;1; 2;2; 4; 4 ( ; ) 1;3 , 3; 3 , 0;0 ; 4;0 ; 2; 3 ; 6;3

x y

Bài 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M Vẽ BH vuông góc với CM tại H Đường thẳng đi qua H và vuông góc với DH cắt cạnh BC tại N

K

N

H

D

C B

A M

Chứng minh rằng :

e) BC2 CH CM.

Xét hai tam giác vuông CHBvà CBM có : BCH chung CHB∽ CBM g g( )

2

.

f) DHC∽ NHB

Ta có : DHCNHB(cùng phụ với NHC);DCH NBH (cùng phụ với BCH)

( )

  ∽ 

g) MN/ /AC

 1

Xét hai tam giác vuông CBH&BMH có : BCH MBH(cùng phụ với HBC)

 

( ) CB CH 2

Từ (1) và (2) suy ra NB NM

BMN

 vuông cân tại B nên BNM 45 mà BCA45nên MN/ /AC

h) Khi M thay đổi trên cạnh AB thì đường thẳng kẻ qua M và vuông góc với DN

đi qua một điểm cố định

Gọi K là giao điểm của đường thẳng kẻ qua M và vuông góc với DN với AB

Vì NB MB  NC MA  3

KMA KDN

  (cùng phụ với MKA))mà CNDKDN (vì BC//AD) nên

 4

Từ    3 , 4  MAK NCD g c g( ) AK CD không đổi Suy ra K là điểm cố định

Bài 5 (1,0 điểm) Cho đa giác lồi có 24 cạnh Chứng minh rằng luôn tồn tại một đường chéo của đa giác lồi không song song với bất kỳ cạnh nào của đa giác đó

Giả sử mỗi đường chéo của đa giác lồi 24 cạnh luôn song song với một cạnh nào đó của

đa giác

Số đường chéo của đa giác 24 cạnh :

24.(24 3)

252 2





Vì 252 : 24dư 10 nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 11 đường chéo cùng song song với cạnh A A i i1nào đó của đa giác (1 i 24)

Vì mỗi đường chéo được nối bởi hai đỉnh không kề của đa giác suy ra số đỉnh của đa giác lớn hơn 11.2 2 24  (trái giả thiết)

Suy ra điều giả sử sai Vậy đa giác lồi 24 cạnh luôn tồn tại một đừng chéo của đa giác lồi không song song với bất kỳ cạnh nào của đa giác đó