053 đề hsg toán 8 ân thi 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ÂN THI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau Bài 2 (2,0 điểm) a) Cho là ba cạnh của một tam giác Chứng minh[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ÂN THI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 _ NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau :

)

b

x  x x  x x  x 

Bài 2 (2,0 điểm)

a) Cho a b c, , là ba cạnh của một tam giác

A

b c a a c b a b c

x y z

a b c  và 0

a b c

xyz  Chứng minh rằng

2 2 2

2 2 2 1

B

Bài 3 (1,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó ?

Bài 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A, AC AB, đường cao AH H BC   Trên tia HClấy điểm Dsao cho HD HA .Đường vuông góc với BCtại D cắt AC tại E

1) Chứng minh rằng hai tam giác BECvà ADC đồng dạng , Tính độ dài đoạn BE theo

2) Gọi M là trung điểm của đoạn BE.Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BECđồng dạng Tính số đo của góc AHM

3) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh

BC AH HC

Bài 5 (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

2010 2680

1

x A

x







Bài 6 (1,0 điểm)

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

ĐÁP ÁN Bài 1 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau :

 

214 132 54

214 86 132 2.84 54 3.82

0

300

a

x x

 

Vậy phương trình có tập nghiệm S 300

             

2

)

4; 5; 6; 7

2

13

b

x

x

x

  





 Vậy phương trình có tập nghiệm S 2; 13 

Bài 2 (2,0 điểm)

c) Cho a b c, , là ba cạnh của một tam giác

A

b c a a c b a b c

Với a b c, , la ba cạnh của một tam giác

Đặt

2

2

2

y z a

z x

c











        

        



 Thay vào ta có :

A

 

2 2 2 3

                  

Vậy Min A 3 x  y z a b c 

x y z

a b c  và 0

a b c

xyz  Chứng minh rằng

2 2 2

2 2 2 1

B

ayz bxz cxy

 

Do

                     

   

 

Bài 3 (1,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó ?

Gọi tử số của phân số đó là xx,x11thì mẫu số của phân số dó là x 11.Ta có phân số phải tìm là 11

x

x  Vì nếu bớt đi 7 đơn vị ở tử và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo với phân số ban đầu nên ta có phương trình :

11 4

 

Vậy phân số phải tìm là

5 6



Bài 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A, ACAB, đường cao AH H BC Trên tia HClấy điểm Dsao cho HD HA .Đường vuông góc với BCtại D cắt AC tại E

G M

E

D

H B

4) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng , Tính độ dài đoạn BE theo m AB

Xét CDE∽CAB(hai tam giác vuông có góc C chung)

CD CE

CA CB

(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ ) và C chung

  ∽  (c.g.c)

            (vì AHDvuông cân tại H nên

45 )

ADH

            (hai góc kề bù)

ABE

  vuông cân tại A nên BE 2AB m 2

5) Gọi M là trung điểm của đoạn BE.Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM

Ta có

ADC BEC cm cau a

Mà AD 2AH (tam giác AHDvuông cân tại H)

 2

AH BH CHA AHB CAB

AC AB

Từ (1) và (2) suy ra 2

BC  ABBE mà HBM chung  BHM∽ BEC c g c( )

Vậy AHM 45

6) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh

BC AH HC Tam giác ABEvuông cân tại A nên AM vừa là trung tuyến, vừa là phân giác BAC

AG

 là phân giác của

GB AB ABC

GC AC

(tính chất đường phân giác) (3)

AB DE

CAB CDE

AC DC   ∽

Và / /

DE AH

DE AH

DC AC

(hệ quả định lý Talet)  5

DE DH

DC HC

Từ (3), (4) và (5) ta có

GC HC  GB GC HD HC  GC AH HC

Bài 5 (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

2010 2680

1

x A

x







Ta có :

2

2010 2680 335 2010 3015 335 335

335

A

Vì  

2

x   với mọi x suy ra  

2

335 x 3  0với mọi x mà x  2 1 0với mọi x nên

 2

2

335 3

335 335 1

x

A

x



Vậy Min A335 x3

Bài 6 (1,0 điểm)

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

Gọi các cạnh của tam giác vuông lần lượt là x y z x y z, ,  , , ,1  x y z Ta có :

Theo định lý Pytago : x2y2 z2 1

Theo bài ra : số đo diện tích bằng số đo chu vi  xy2x y z    2

z x y  x y  xy x y  x y z 

     

 

          

Thay vào (2) ta có :

 

       

Vì 1 x ynên ta có :

    

    

Với x5;y12 z13; x6,y 8 z10

Vậy các tam giác vuông cần tìm có số đo các cạnh là 5,12,13hoặc 6,8,10