057 đè hsg toán 8 hoài nhơn 22 23

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 8 Bài 1 (4 0 điểm) a) Chứng minh rằng Chữ số tận cùng của hai số tự nhiên n và là như nhau b) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn[.]

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MÔN TOÁN LỚP 8 Bài 1 (4.0 điểm):

a) Chứng minh rằng: Chữ số tận cùng của hai số tự nhiên n và n5là như nhau b) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn x2  x p0; với p là số nguyên số

Bài 2: (3.0 điểm):

a) Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn a b c  0Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

2

2

2 2016

x

 

Bài 3 (3.0 điểm):

P

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị

b) Rút gọn biểu thức P

c) Tìm giá trị của P khi x thỏa mãn x3 x2 2 0

Bài 4 (4.0 điểm):

a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

ab bc ca a   b c  ab bc ca 

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn

10x 50y 42xy14x 6y57 0

Bài 5 (4.0 điểm)

Cho M là một điểm bất kì nằm trong hình vuông ABCD có cạnh bằng 1

a) Chứng minh rằng: MA2MB2MC2 MD2  2

b) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC, kẻ MN ABtại N, gọi O là trung điểm của

AM Chứng minh rằng: CN2 2.OB2

Bài 6 (2.0 điểm)

Cho tam giác ABC có A B Trên cạnh BC lấy điểm Hsao cho HAC ABC Đường phân giác của BAHcắt BH ở E Từ trung điểm M của AB kẻ ME cắt đường thẳng AH tại

F Chứng minh rằng: CF//AE

ĐÁP ÁN Bài 1 (4.0 điểm):

a) Chứng minh rằng: Chữ số tận cùng của hai số tự nhiên n và n5là như nhau b) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn x2  x p0; với p là số nguyên số

Giải

( 2)( 1) ( 1)( 2) 5 ( 1)( 1)

Ta có (n 2)(n1) (n n1)(n2) 2 5 

5 (n n1)(n  1) 2 5

5 10

n n

  

Chữ số tận cùng của hai số tự nhiên n và n2 là như nhau

b) P x 2 x x x( 1)

Vì x x( 1) 2  p2 p2

2

( 2) ( 2) 0

( 1)( 2) 0

1

2

x x x

x x

x

x





  



Bài 2: (3.0 điểm):

a) Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn a b c  0Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

2

2

2 2016

x

 

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

( )

2 2 2

a a b c

a b c

a b c

TT c b a cb

  

  

  

  

0

a b c P

    

2 2

( 2 1) 2( 2 1) 2013

( 1) ( 2) 2013

GTNN của A là 2013 tại x 1

2

2 2016 ( 1) 2015 1) 2015 2015

B

GTNN B khi

2 1) 0 1

x x x





  Vậy GTNN

2015

2015 1

Bài 3 (3.0 điểm):

P

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị

b) Rút gọn biểu thức P

c) Tìm giá trị của P khi x thỏa mãn x3 x2 2 0

Giải:

2 2 2 2 2

P

a) ĐKXĐ

0;1;2;3;4;5

x 

b)

5

P

x x

 



c)

3 2

3 2 2

2

2

2 0

1 0

1

x x

x

x

Thay x 1vào P ta được

5 6

P

Bài 4 (4.0 điểm):

a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

ab bc ca a   b c  ab bc ca 

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn

10x 50y 42xy14x 6y57 0

Giải

a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác

a b c 

2 2 2

2

a b c ab

TT a c b ac c b a cb

2 2

2 2 2

2

(2)

a b

a b ab

TT c b cb a c ac

a b c ab bc ac

Từ (1) và (2) ab bc ac a   2b2 c2 2(ab bc ac  )

b)

(3 7 ) ( 7) ( 3) 1

7 0

7

3 0

3

x

x y

y

x y

 









     







Bài 5 (4.0 điểm)

Cho M là một điểm bất kì nằm trong hình vuông ABCD có

cạnh bằng 1

a) Chứng minh rằng: MA2MB2MC2 MD2 2

b) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC, kẻ MN ABtại N, gọi O là trung điểm của

AM Chứng minh rằng: CN2 2.OB2

Giải.

a) Kẻ HK vuông góc với AB, DC và HK đi qua điểm M

2

1 1

1 2

2 2

2

MA HA HM

MB HB HM

MC KC KM

MD KD KM

MA MB MC MD HA HB KC KD HM KM

HA HB KC KD

HM KM

MA MB MC MD

   

K

H

D

B

C

M

A

O

H N

D

B

C

A

M

Dấu “=” xả ra khi HA = HB; KC = KD; HM = KM

b)

Kẻ

MH BC

tại H

MH NB

AMN



vuông cân có O là trung điểm của AM

2

2

1

2

ON

MN

MHC



vuông cân ở H

Từ (1) và (2) suy ra

(3)

MN MC

ONB NMC c g c

Từ (1) và (4)

2

2

1

2

2

OB

NC

Bài 6 (2.0 điểm)

Cho tam giác ABC có A B Trên cạnh BC lấy điểm Hsao cho HAC ABC Đường phân giác của BAHcắt BH ở E Từ trung điểm M của AB kẻ ME cắt đường thẳng AH tại

F Chứng minh rằng: CF//AE

Giải

Gọi Cx là tia đối của tia CA

Xét

CAH



và

CBA

 có

3

x

F

M E C

H

ACH chung

 

1 ( )

(1)

A B gt

CAH CBA g g

CH AH

CA BA



∽

Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác HBA ta có

(2)

AH HE

AB EB

Áp dụng Menelaus vào tam giác HAB các điểm M, E, F

MB FA EH

EH FH

EB FA

Từ (1) (2) (3)

CA FA

AHC



có

CA FA

theo tính chất phân giác ngoài ta có

CF là phân giác ngoaig

ACH

2

xCF BCF BCx

Áp dụng tính chất góc ngoài cuat tam giác ABC có

BCx A B 

   1 1 1   

2 1

( )

      

Ta được

xCF CAE ( vị trí đồng vị ) Suy ra CF//AE