089 đề hsg toán 8 tiền hải 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4 điểm) 1) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A và chứng minh 2) Tìm và sao cho hai đa thức và cùng[.]

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8

NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1.(4 điểm)

1) Cho biểu thức

   2 

1

A

Rút gọn biểu thức A và chứng minh

4 3

A 

2) Tìm avà bsao cho hai đa thức f x  4x3 3x22x2a3bvà

  5 4 4 3 3 2 2 3 2

cùng chia hết cho đa thức x  3

Bài 2 (4 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :x x 4 x6 x10128

2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên xthì giá trị biểu thức sau luôn viết được bằng tổng của hai số chính phương:

 2  2  2

Bài 3 (3,5 điểm)

1) Tìm giá trị của m để phương trình ẩn x:

2 1

mx

m x



 

 có nghiệm duy nhất 2) Giải phương trình 2 2

6

3) Tìm các cặp số nguyên x y; thỏa mãn phương trình x2 xy6x 5y 8

Bài 4 (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD AC, và BD cắt nhau tại O Gọi M là trung điểm của cạnh BC N, là trung điểm của cạnh CD AN. cắt DM tại I Chứng minh rằng :

2)BI BAvà IBC  2 ICD

3) IM là phân giác của góc OIC

Bài 5 (1,0 điểm) Cho 1010số nguyên dương phân biệt, mỗi số không vượt quá 2018 Chứng minh rằng trong các số đó luôn tồn tại hai số có tổng bằng 1009

ĐÁP ÁN Bài 1.(4 điểm)

3) Cho biểu thức

   2 

1

A

Rút gọn biểu thức A và chứng minh

4 3

A 

ĐKXĐ:

1 1;

2

   

   

   

   

   

2

2 2 2

2

2

2

2 1

A

x

 

   

2

2 1 1

        

 

   

Vậy với điều kiện

1 1;

2

thì 2

1 1

A



Ta có

 2

0

3

2 4

A

x

  

Không có dấu bằng xảy ra vì

4) Tìm và sao cho hai đa thức và

g x  x  x  x  x a bcùng chia hết cho đa thức x  3

Vì đa thức f x chia hết cho x  3nên f  3 0

Ta có : 4.33 3.322.3 2 a3b 0 2a3b87 1 

Vì đa thức g x chia hết cho x  3nên g 3 0

Ta có 5.34 4.333.32 2.3 3 a2b 0 3a 2b318 2 

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :



Vậy a60,b69

Bài 2 (4 điểm)

3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :x x 4 x6 x10128

10 12 12 10 12 12 128

10 12 144 128 10 12 16

10 12 4 10 12 4

4) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên xthì giá trị biểu thức sau luôn viết được bằng tổng của hai số chính phương:

 2  2  2 2

2

2 4 2 3 12 12 4 24 36

Bài 3 (3,5 điểm)

4) Tìm giá trị của m để phương trình ẩn x:

2 1

mx

m x



 

 có nghiệm duy nhất

ĐKXĐ: x 1 Với điều kiện trên ta có:

2 1

1

mx

x





             

Tìm được m 2phương trình (1) có nghiệm duy nhất

3 2

m x

m







Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi :

m

m





Vậy

1 2;

2

thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

6

ĐKXĐ:

3 1;

2

Ta thấy x 0không phải là nghiệm của phương trình : Xét x 0ta có :

Đặt

3

x

, ta có phương trình

6

2 3

2 4 9 18 6 24 6 11 10 0

5 2

3

3 ( )

t

t

x

x







           

 







  









    











Tập nghiệm của phương trình là

3

; 2 4

 

3) Tìm các cặp số nguyên x y; thỏa mãn phương trình x2 xy6x 5y 8

 5 2 6 8

Xét x 5 PTVN

Xét

 

Vì y Z  x Z  x 5U(3)   1; 3

2; 4;6;8 0;0;8;8

Vậy các cặp giá trị (x;y) cần tìm là 2;0 ; 4;0 ; 6;8 ; 8;8      

Bài 4 (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD AC, và BD cắt nhau tại O Gọi M là trung điểm của cạnh BC N, là trung điểm của cạnh CD AN. cắt DM tại I Chứng minh rằng :

K

I

M

N

O

C

B A

D

Chứng minh ANDDMC c g c( ) DAN CDM

Chứng minh AN DM , chứng minh DIN∽ DCM g g( ) DI DM. DN DC.  1

2

Từ (1) và (2)  DO2 DI DM.

2)BI BAvà IBC 2 ICD

Gọi K là giao điểm của IM với AB Chứng minh

( )

AIK

  vuông tại I có IBlà trung tuyến nên IBAB dfcm( )

IB AB  BI BC BICcân tại B

3) IM là phân giác của góc OIC

,

2

    ∽ 

45 45

Nên IM là phân giác của OIC

Bài 5 (1,0 điểm) Cho 1010số nguyên dương phân biệt, mỗi số không vượt quá 2018 Chứng minh rằng trong các số đó luôn tồn tại hai số có tổng bằng 1009.

Xét tập Aa a1; ; ;2 a1010

thỏa mãn 1a i 2018 i 1;2; ;1010

và tập

 1; ; ; ;2 3 1010

Tổng số phần tử của hai tập hợp Avà B là 2.1010 2020 mà các số a b i, ithuộc tập số nguyên

từ 1 đến 2018 gồm 2018phần tử

trùng với một số ở tập B

Xét trường hợp a mb m a m2019 a m 2a m2019(vô lý)

Xét trường hợp a m b n(m khác n) a m2019 a n  a ma n 2019

Vậy trong tập hợp A có ít nhất một cặp số có tổng bằng 2019