055 đề hsg toán 8 yên thành 22 23

PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI KSCL HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 2023 Môn thi Toán 8 Thời gian 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4,0 điểm) a) Cho Tính b) Tìm dư trong ph[.]

PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH KỲ THI KSCL HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: Toán 8

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4,0 điểm)

a) Cho a b 1 Tính M 2a3b3 3a2b2

b) Tìm dư trong phép chia đa thức f x( )x20201 cho đa thức g x( )x2 x 1

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: x2 x x  2 x 2 24

b) Tìm các số thực a , b, cbiết : a b c  9 vaa a2b2c2 27

Bài 3: (3,0 điểm)

a) Cho 3 số nguyên tố liên tiếp x , y, z thỏa mãn x y z  và x2y2z2 là một số nguyên

tố Chứng minh (x1)2(y 2)2(z 3)2 cũng là một số nguyên tố

b) Chox, ylà các số thực thỏa mãn:x2y2  4 xy Chứng minh:

2 2 8

8

3x y 

Bài 4: (8,0 điểm) Nội dung

Cho tam giác ABC vuông tạiA (ABAC) Đường phân giác AD D BC(  ) Kẻ DE vuông góc với AB, kẻ DFvuông góc với AC(E AB, F AC)  BF cắt DE tại M,CE cắt DFtại

N.

a) Biết

1

4 cm,

3

BD AB

BC

Tính diện tích tam giác ABC b) Chứng minh

c) Chứng minh MN//BC

d) Kẻ đường cao A, I, H AH của tam giác ABC Gọi I là giao điềm của BF và CE Chứng minh

thẳng hàng

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho chín số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 9 xếp theo thứ tự tùy ý Lấy số thứ nhất trừ 1, lấy số thứ hai trừ 2, lấy số thứ ba trừ 3, …, lấy số thứ chín trừ 9 Chứng minh rằng tích của chín số mới lập được là một số chẵn

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

Họ và tên thí sinh……… SBD ………

Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN KỲ THI KSCL HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: Toán 8 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm)

a) Cho a b 1 Tính M 2a3b3 3a2b2

b) Tìm dư trong phép chia đa thức f x( )x20201 cho đa thức g x( )x2 x 1

Lời giải

a) Ta có (a b )3 a33a b2 3ab2b3

3 3 ( )3 3 ( ) 1 3

và (a b )2 a22ab b 2

2 2 ( )2 2 1 2

Khi đó M  2 6ab 3 6 ab1

b) Ta có: f x( )x20201x x.( )3 6731

x x.( )3 673 x x  1

3 673 ( ) 1 1

    

Do ( )x3 6731x31và x31 ( x1)(x2 x 1)

nên ( )x3 6731x2 x 1

Vậy dư trong phép chia đa thức f x( )x2020 1cho đa thứcg x( )x2 x 1là x 1

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: x2 x x  2 x 2 24

b) Tìm các số thực a , b, cbiết : a b c  9 và a2b2c2 27

Lời giải

a) Giải phương trình: x2 x x  2 x 2 24

Đặt x2 x a

Ta có phương trình : a a ( 2) 24

2

(a 6)(a 4) 0

6

a

  hoặc a 4

Với a  4 x2 x4

2

4 0

2 2

1 15

0 4

x

     

  (Phương trình vô nghiệm) Với a 6 x2 x6

2

6 0

(x 2)(x 3) 0

2

x

  hoặc x 3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   2;3

b) Tìm các số a , b, c biết a b c  9vàa2 b2c2 27

Ta có a b c  9

2

 a2b2c22ab2bc2ca81

 ab bc ca  27

Từ đó suy ra a2b2 c2 ab bc ca 

2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca

(a b ) (b c) (c a) 0

Vì (a b )2 0 với mọi a,b;

(a b )2 0 với mọi b; c

(a b )2 0 với mọi a,c; nên (a b )2 (b c)2(c a )2 0a b c, ,

Dấu " " xảy ra khi a b c 

Mà a b c  9nêna b c  3

Bài 3: (3,0 điểm)

a) Cho 3 số nguyên tố liên tiếp x , y, z thỏa mãn x y z  và x2y2z2 là một số nguyên

tố Chứng minh (x1)2(y 2)2(z 3)2 cũng là một số nguyên tố

b) Cho

x, ylà các số thực thỏa mãn:x2y2  4 xy Chứng minh:

2 2 8

8

3x y 

Lời giải

a) Với x 2 suy ray 3, z 5 Khi đó x2y2 z2 38là hợp số

Với x 3 suy ra y 5, z 7 Khi đó x2 y2z2 83là số nguyên tố

Với x 3 suy ra y3,z3 Khi đó x,y,z đều không chia hết cho 3

Do đó x y z2; ;2 2 chia cho 3dư 1 x2y2z2 chia hết cho 3

mà x2y2z2 3 nên x2y2z2 la hợp số

Vậyx3,y5,z7

Suy ra (x 1) 2(y 2)2(z 3)2 29 là số nguyên tố

b) Ta có: x2y2  4 xy

 2x22y2  8 2xy  x2y2 x22xy y 28  x2y2 (x y )28

Vì(x y )2  0 x y, nên (x y )2 8 8 (1)

Dấu " " xảy ra khi x y 2

Lại có: 2x22y2  8 2xy

3x 3y 8 x 2xy y

3 x y (x y) 8 8

Vì(x y )2  0 x y, nên (x y )2 8 8

2 2 8

3

(2) Dấu " " xảy ra khi

2 3

Từ (1)và(2)suy ra:

2 2 8

8

3x y 

Bài 4: (8,0 điểm) Nội dung

Cho tam giác ABC vuông tạiA (AB AC ) Đường phân giác AD D BC(  ) Kẻ DE vuông góc với AB, kẻ DFvuông góc với AC(E AB, F AC)  BF cắt DE tại M,CE cắt DFtại

N .

a) Biết

1

4 cm,

3

BD AB

BC

Tính diện tích tam giác ABC b) Chứng minh

c) Chứng minh MN//BC

d) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC Gọi I là giao điểm của BF và CE Chứng minh

A, I, H thẳng hàng

Lời giải

a) Ta có:

Xét tam giácABCcó ADlà phân giác nên

hay

4 1

8

2 AC cm

Vậy

.4.8 16

ABC

b) Ta có:

Tứ giác AEDFcó:   A E F90o nên tứ giácAEDFlà hình chữ nhật suy ra

DF//AB, DF=AE

Vì DF//AB nên DF//BE

(Hệ quả của định lí Talet)

Mà DF AEnên

c) Ta cóFD//AB

(Định lí Talet) Lại có

FC DC (DE//AB, định lí Talet)

DC AE (DE//AC, định lí Talet)

Suy ra

 MN//BC (Định lí Talet đảo)

d) Xét hình chữ nhậtAEDFcó ADlà phân giác nên là hình vuông

suy ra:AE AF DF EF    1

Ta có

AE AC AB (FD//AB, hệ quả của định lí Talet)  2

Từ  1

và  2 suy ra

Xét AFBvà FNA có: FABAFN 90 

FN FA (chứng minh trên)

Do đó AFB∽ FNA(c.g.c)

 AFBANF

Mà ANF NAF 90 nên AFB NAF90o

BF AN

Chứng minh tương tự ta có:CEAM

Từ đó suy ra I là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ M vàN của tam giác AMN nên

AIMN mà MN//BC (câu c) nên AI BC

Mặt khác AHBC (AHlà đường cao của tam giácABC)

Suy ra A, I, H thẳng hàng

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho chín số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 9 xếp theo thứ tự tùy ý Lấy số thứ nhất trừ 1, lấy số thứ hai trừ 2, lấy số thứ ba trừ 3, …, lấy số thứ chín trừ 9 Chứng minh rằng tích của chín số mới lập được là một số chẵn

Lời giải

Gọi chín số ban đầu là: a a a1, , ,2 1 a a8, 9

thì chín số mới là: a11;a2 2; ; a8 8;a9 9

Để chứng minh tích của chín số mới là số chẵn, ta chứng tỏ rằng tồn tại một số mới là số chẵn Thật vậy, giả sử chín số mới đều là số lẻ thì tổng của chúng là số lẻ

Do đó: (a11) ( a2 2)(a8 8) ( a9 9)là số lẻ

nên (a1a2 a8a9) (1 2 8 9)     là số lẻ

Mặt khác(a1a2 a8a9) (1 2 8 9) 0      nên suy ra 0 là số lẻ, vô lí

Vậy tích của chín số mới lập được là số chẵn

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =