052 đề hsg toán 8 bà rịa 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHÓ BÀ RỊA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI OLYMPIC NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Bài 1 (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kỳ thì đều chia hết[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHÓ BÀ RỊA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI OLYMPIC NĂM HỌC 2022-2023_MÔN TOÁN 8 Bài 1 (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kỳ thì đều chia hết cho 8 b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử M x x 4 x6 x10128

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Cho biểu thức

2 2

2

A

    với x1;x3 Rút gọn A và tìm tất cả các giá trị nguyên của xđể biểu thức Anhận giá trị nguyên b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

D

     

    biết a b 1và a0,b0

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Tìm giá trị của xbiết

10

b) Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn

  Tính giá trị biểu thức A2020x y 2021z2021

Bài 4 (5,0 điểm) Vẽ hình thoi ABCDcó O là giao điểm của hai đường chéo Vẽ hình chữ nhật AOBE Đường thẳng OEcắt AB CD, lần lượt ở G và F Đường thẳng DEcắt AB OA, lần lượt ở H và I Gọi M N, lần lượt là trung điểm của ADvà OF Chứng minh

a) Tứ giác ADOElà hình bình hành

b) Ba điểm G I M, , thẳng hàng

c) Ba đường thẳng AC CD MN, , đồng quy

Bài 5.(3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB O, là trung điểm của AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng bở AB vẽ các tia Axvà Byvuông góc với AB.Gọi C là một điểm thuộc tia Ax. Đường thẳng vuông góc với OCtại O cắt tia Byở D Chứng minh

a) AC BD CD 

b) COlà tia phân giác của ACD

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

c) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kỳ thì đều chia hết cho 8

Gọi hai số nguyên lẻ bất kỳ là 2x 1và 2y1 ,x y  Ta có :

2x 12 2y 12  4x2  4x 4y2  4y 4x x  1 4y y  1chia hết cho 8

d) Phân tích đa thức sau thành nhân tử M x x 4 x6 x10128

           

2

2

10 12 12 10 12 12 128 10 12 144 128

Bài 2 (4,0 điểm)

c) Cho biểu thức

2 2

2

A

    với x1;x3

Rút gọn A và tìm tất cả các giá trị nguyên của xđể biểu thức Anhận giá trị nguyên

   

   

   

2

2

2

A

Ta có Anhận giá trị nguyên

x



d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

D

     

    biết a b 1và

Ta có

D

     

2 2

                  

Áp dụng BĐT Cô si  D 8 4.2 2 18 

Vậy

1 18

2

Bài 3 (4,0 điểm)

c) Tìm giá trị của xbiết

10

214 265 216 167

10

123 123 123 123

0

1 1 1 1

91 71 31 11

         

           

Vậy x 123

d) Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn

 

Tính giá trị biểu thức A2020x y 2021z2021

2

2

2

2

x y z

x y z

x y z

 

             

 

Ta có :

y z

x

 

z x

y

 

         

x y

z

 

2021 2021

A x y z       

   

Bài 4 (5,0 điểm) Vẽ hình thoi ABCDcó O là giao điểm của hai đường chéo Vẽ hình chữ nhật AOBE Đường thẳng OEcắt AB CD, lần lượt ở G và F Đường thẳng DE

minh

M I

H

F G

E

O

D A

B

C

e) Tứ giác ADOElà hình bình hành

Ta có AE OB/ / và AE OB (vì AOBElà hình chữ nhật)

Nên AE OD/ / và AE OD (vì OB OD )

Do đó tứ giác ADOElà hình bình hành

f) Ba điểm G I M, , thẳng hàng

Ta có Glà trung điểm của AB(vì AOBElà hình chữ nhật)

I là trung điểm của AO(vì ADOElà hình bình hành)

M là trung điểm của AD

/ /

IG OB

g) Ba đường thẳng AC CD MN, , đồng quy

Ta có O M F, , lần lượt là trung điểm của AC AD CD, , nên OM MF, lần lượt là đường trung bình của tam giác ACD  OM / /CDvà MF/ /AChay OM / /CFvà MF OC/ /

Do đó tứ giác OCFMlà hình bình hành mà N là trung điểm của OF nên N là trung điểm của MC

Vậy ba đường thẳng AC CD MN, , đồng quy

AOE

 

2

Bài 5.(3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB O, là trung điểm của AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng bở AB vẽ các tia Axvà Byvuông góc với AB.Gọi C là một điểm thuộc tia

AxĐường thẳng vuông góc với OCtại O cắt tia Byở D Chứng minh

I

D

O

C

c) AC BD CD 

Gọi I là trung điểm của CD Tứ giác ACDBlà hình thang (do AC/ /BD)

OI

 là đường trung bình của hình thang ACDB

 

2

AC BD

Ta lại có OCDvuông tại O có OIlà đường trung tuyến nên 2 2  2

CD

Từ (1) và (2) suy ra AC BD CD 

d) COlà tia phân giác của ACD

Ta có OCDvuông tại O có OI là đường trung tuyến nên OI IC

IOC

  cân tại I nên IOCICO

Mà IOCACO(so le trong) nên ACOICO Vậy COlà tia phân giác của ACD