Chuong 6 giai gan dung pt vi phan

PowerPoint Presentation Chương 6 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP 1 Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm y=y(x) của phương trình vi phân với giá trị ban đầu y0 y’ = f(x, y), ∀x ∈[.]

Chương 6 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

I GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP 1 :

Xét bài toán Cauchy : tìm nghiệm y=y(x) của

phương trình vi phân với giá trị ban đầu y0

y’ = f(x, y), ∀x ∈ [a,b]

1 Công thức Euler :

Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước h = (b-a)/n

xo= a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b

Nghiệm gần đúng của bài toán là dãy {yk} gồm các giá trị gần đúng của hàm tại xk

Ta có yk ≈ y(xk) , k =0, n

Công thức Euler :

yk+1 = yk + h f(xk, yk) , k = 0, n-1

Ví dụ : Dùng công thức Euler tìm nghiệm gần

đúng của bài toán Cauchy

y’ = y – x2 +1, 0≤x≤1

y(0) = 0.5với n = 5

Tính sai số biết nghiệm chính xác là :

y(x) = (x+1)2 – 0.5ex

giải

ta có h = 0.2

x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = 1

* Nhận xét : công thức Euler đơn gian, nhưng sai số

còn lớn nên ít được sử dụng

2 Công thức Euler cải tiến :

yk+1 = yk + (k1+k2)/2 k = 0,1, , n-1

k1 = hf(xk, yk),

k2 = hf(xk+h, yk + k1)

3 Công thức Runge Kutta bậc 4 :

* Chú ý : Lập công thức Runge-Kutta bằng

máy tính casio không được vì công thức quá dài, không đủ bộ nhớ, ta phải tính trực tiếp

Ví dụ : Xét bài toán Cauchy

y’ = 2.7xy + cos (x+2.7y), 1.2≤x

y(1.2) = 5.4Dùng công thức Runge-Kutta tính gần đúng y(1.5) với bước h = 0.3

xo = 1.2, yo = 5.4, y1=y(1.5)

y1 = y0 + (K1+ 2K2+ 2K3+ K4) /6

Công thức Runge-Kutta bậc 4

giải

Bấm máy (lập hàm dùng phím calc) ta được

K1 = 4.949578057 K2 = 8.367054617

K3 = 10.33000627 K4 = 19.41193853

y(1.5) = 15.69260639 ≈ 15.6926

II GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PTVP :

Xét hệ phương trình vi phân cấp 1

y’1 = f1(x, y1, y2, , ym)y’2 = f2(x, y1, y2, , ym)

.y’m = fm(x, y1, y2, , ym)với a≤ x ≤ b và thỏa điều kiện ban đầu

y1(a) = α1, y2(a) = α2, , ym(a) = αmNghiệm y = (y1, y2, …, ym)

Để tìm nghiệm gần đúng, ta chia đoạn [a,b] thành

n đoạn nhỏ bằng nhau với bước h = (b-a)/n và các điểm chia

Công thức Euler cải tiến :

Ví dụ : Sử dụng công thức Euler giải gần đúng

III GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP CAO:

Xét phương trình vi phân cấp m

y(m) = f(x, y, y’, , y(m-1)), a≤x≤b

với điều kiện ban đầu

y(a) = α1, y’(a) = α2, , y(m-1)(a) = αm

Đặt y1 = y, y2 = y’, y3 = y”, , ym = y(m-1)

Ta chuyển phương trình vi phân bậc m về hệ m phương trình vi phân cấp 1

với điều kiện ban đầu

y1(a) = α1, y2(a) = α2, , ym(a) = αm,

y’1 = y2y’2 = y3

y’m-1 = ymy’m = f(x, y1, y2, , ym)

Ví dụ : Sử dụng công thức Euler giải gần đúng pt

đặt y1 = y, y2 = y’ chuyển pt về hệ

y’1 = y2y’2 = sinx e2x– 2 y1 + 2y2điều kiện y1(0) = -0.4, y2(0) = -0.6

Ví dụ : Xét bài toán Cauchy

x“(t) = (Mt+5) x2(t) – 2Mx’(t)+1.2t + M, 1≤tđiều kiện ban đầu

giải

Công thức Euler cải tiến

K11 = 0.972 K12 =14.504154

x(1.2) = y1 1 =5.9324154

x’(1.2) = y2 1=18.622212816

IV GIẢI PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2 BẰNG

PP SAI PHÂN HỮU HẠN :

Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với điều kiện biên

p(x)y” + q(x)y’ + r(x)y = f(x), a≤x≤b

y(a) = α, y(b) = β

 PP sai phân hữu hạn :

bước h=(b-a)/n và các điểm nút

x0 = a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b

 sử dụng các công thức sai phân hướng tâm ta xấp xỉ

y’(xk) ≈ (yk+1 – yk-1) /2h

y”( xk) ≈ (yk+1 – 2yk + yk-1)/h2

với yk là giá trị xấp xỉ của hàm tại điểm xk

 thay xk vào phương trình ta được

pk (yk+1–2yk + yk-1)/h2+ qk (yk+1–yk-1)/(2h) +rkyk= fkvới pk = p(xk), qk = q(xk), rk = r(xk), fk = f(xk),

 biến đổi phương trình trên ta thu được hệ phương trình sau :

Đây chính là hệ phương trình tuyến tính

Ay = b

Với A là ma trận 3 đường chéo

Vậy nghiệm gần đúng

y(0) =1, y(0.25) = 0.8093, y(0.5) = 0.5827, y(0.75)=0.3182, y(1)=0

giải hệ phương trình tuyến tính: Ay = b

Ví dụ : Giải gần đúng pt vi phân cấp 2

Mx2y”+xy’-8My = -3M2x2, 1.4≤x≤1.8y(1.4) = 0.5M, y(1.8) = 1.5M

giải hệ phương trình tuyến tính : Ay = b

Vậy nghiệm gần đúng

y(1.4) =1.35, y(1.5) = 2.0499, y(1.6) = 2.7247, y(1.7)=3.3882, y(1.8)=4.05