Chuong 5 tinh gan dung dao ham tich phan

Chương 5TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN... Công thức thứ 1 gọi là công thức sai phân tiếnCông thức thứ 2 gọi là công thức sai phân hướng tâm thường viết dưới dạng thay x1 = x0... TÍNH

Chương 5

TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

nội suy Newton)

Ta có

1 TH bảng chỉ có 2 điểm nút :

x x0 x1

y y0 y1

Đặt h = x1- x0

Đa thức nội suy Lagrange

Suy ra công thức đạo hàm cho 2 điểm :

 Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x Tính xấp xỉ f’(1.8) với h = 0.1, 0.01, 0.001

Ta có

giải

h f’(1.8) 0.1 0.540672212 0.01 0.554018037 0.001 0.555401292

f’(1.8) = 0.555555555

Do đó với mọi x ∈ [x0, x2] ta có

Suy ra đạo hàm cấp 1

Công thức thứ 1 gọi là công thức sai phân tiến

Công thức thứ 2 gọi là công thức sai phân hướng tâm thường viết dưới dạng (thay x1 = x0)

Công thức thứ 3 gọi là công thức sai phân lùi thường viết dưới dạng (thay x2 = x0)

đạo hàm cấp 2

Thay x1 = x0 ta được

So với kết quả chính xác

f”(1.25) = -0.526640385697715

-0.526643001

Bài tập : Cho hàm f và bảng số cách đều

x 1.2 1.4 1.6 1.8

y 2.32 2.53 2.77 2.89

Xấp xỉ f bằng đa thức Newton tiến, tính gần đúng f’(1.25)

xk f(xk) Δyk Δ 2 yk Δ 3 yk1.2

1.4

1.6

1.8

2.32 2.53 2.77 2.89

0.21 0.24 0.12

0.03

-0.12 -0.15

Giải : Ta lập bảng các sai phân hữu hạn

Newton lùi Newton tiến

II TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN :

Cho hàm f(x) xác định và khả tích trên [a,b] Ta cần tính gần đúng tích phân :

Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng

nhau với bước h = (b-a)/n

xo= a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b

1 Công thức hình thang mở rộng :

 Công thức sai số :

2 Công thức Simpson mở rộng:

 Công thức sai số :

Chú ý : với công thức simpson n phải là số chẵn

 Ví dụ : Tính gần đúng tích phân

a Dùng công thức hình thang mở rộng với n = 5

b Dùng công thức Simpson mở rộng với n = 8

 Ví dụ : Dùng phương pháp simpson tính gần đúng tích phân

f(x) 0.68 0.95 1.16 2.25 3.46 5.57 6.14

với f cho bới bảng số

 Ví dụ : Xét tích phân

xác định số đoạn chia tối thiểu n để sai số ≤10-5

giải

a.Dùng công thức hình thang mở rộng

b.Dùng công thức Simpson mở rộng Với n vừa tìm được, hãy xấp xỉ tích phân trên

a Công thức sai số hình thang mở rộng

Vậy n = 45

b Công thức sai số Simpson mở rộng

Vậy n = 4

phân hoạch đoạn [0,1] thành n=4 đoạn bằng nhau

x0 = 0 < x1 = 0.25 < x2 = 0.5 < x3 = 0.75 < x4 = 1

Công thức Simpson

= 1.932377388