Bài giảng Phương pháp tính - Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân

Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân” trang bị cho cho người học các kiến thức: Giải gần đúng phương trình vi phân cấp 1, giải gần đúng hệ phương trình vi phân, giải gần đúng phương trình vi phân cấp cao, giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 bằng phương pháp sai phân hữu hạn,… Mời các bạn cùng tham khảo.

Chương 6

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1 Công thức Euler :

Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước h = (b-a)/n

xo= a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b

Nghiệm gần đúng của bài toán là dãy {yk} gồm các giá trị gần đúng của hàm tại xk

Ta có yk ≈ y(xk) , k =0, n

Công thức Euler :

yk+1 = yk + h f(xk, yk) , k = 0, n-1

Ví dụ : Dùng công thức Euler tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy

y’ = y – x2 +1, 0≤x≤1

y(0) = 0.5với n = 5

Tính sai số biết nghiệm chính xác là :

y(x) = (x+1)2 – 0.5ex

giải

ta có h = 0.2

x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = 1

* Nhận xét : công thức Euler đơn gian, nhưng sai số còn lớn nên ít được sử dụng

2 Công thức Euler cải tiến :

yk+1 = yk + (k1+k2)/2 k = 0,1, , n-1

k1 = hf(xk, yk),

k2 = hf(xk+h, yk + k1)

3 Công thức Runge Kutta bậc 4 :

* Chú ý : Lập công thức Runge-Kutta bằng máy tính casio không được vì công thức quá dài, không đủ bộ nhớ, ta phải tính trực tiếp

Ví dụ : Xét bài toán Cauchy

y’ = 2.7xy + cos (x+2.7y), 1.2≤x

y(1.2) = 5.4Dùng công thức Runge-Kutta tính gần đúng y(1.5) với bước h = 0.3

xo = 1.2, yo = 5.4, y1=y(1.5)

y1 = y0 + (K1+ 2K2+ 2K3+ K4) /6

Công thức Runge-Kutta bậc 4

giải

Bấm máy (lập hàm dùng phím calc) ta được

K1 = 4.949578057 K2 = 8.367054617

K3 = 10.33000627 K4 = 19.41193853

y(1.5) = 15.69260639 ≈ 15.6926

II GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PTVP :

Xét hệ phương trình vi phân cấp 1

y’1 = f1(x, y1, y2, , ym)y’2 = f2(x, y1, y2, , ym)

.y’m = fm(x, y1, y2, , ym)với a≤ x ≤ b và thỏa điều kiện ban đầu

y1(a) = α1, y2(a) = α2, , ym(a) = αmNghiệm y = (y1, y2, …, ym)

Để tìm nghiệm gần đúng, ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước h = (b-a)/n và các

Công thức Euler cải tiến :

Ví dụ : Sử dụng công thức Euler giải gần đúng hệ

III GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP CAO:

Xét phương trình vi phân cấp m

y(m) = f(x, y, y’, , y(m-1)), a≤x≤b

với điều kiện ban đầu

y(a) = α1, y’(a) = α2, , y(m-1)(a) = αm

Đặt y1 = y, y2 = y’, y3 = y”, , ym = y(m-1)

Ta chuyển phương trình vi phân bậc m về hệ m phương trình vi phân cấp 1

với điều kiện ban đầu

y1(a) = α1, y2(a) = α2, , ym(a) = αm,

y’1 = y2y’2 = y3

y’m-1 = ymy’m = f(x, y1, y2, , ym)

Ví dụ : Sử dụng công thức Euler giải gần đúng pt

đặt y1 = y, y2 = y’ chuyển pt về hệ

y’1 = y2y’2 = sinx e2x– 2 y1 + 2y2

Ví dụ : Xét bài toán Cauchy

x“(t) = (Mt+5) x2(t) – 2Mx’(t)+1.2t + M, 1≤tđiều kiện ban đầu

điều kiện y1(1) = 1.3M, y2(1) = 1.8M

giải

Công thức Euler cải tiến

K11 = 0.972 K12 =14.504154

K21 = 3.8728308 K22 = 13.02027163

x(1.2) = y1 1 =5.9324154

x’(1.2) = y2 1=18.622212816

IV GIẢI PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2 BẰNG

PP SAI PHÂN HỮU HẠN :

Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với điều kiện biên

p(x)y” + q(x)y’ + r(x)y = f(x), a≤x≤b

y(a) = α, y(b) = β

❖ PP sai phân hữu hạn :

▪ Chia đoạn [a,b] thành n đoạn bằng nhau với

bước h=(b-a)/n và các điểm nút

x0 = a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b

▪ sử dụng các công thức sai phân hướng tâm ta xấp xỉ

y’(xk) ≈ (yk+1 – yk-1) /2h

y”( xk) ≈ (yk+1 – 2yk + yk-1)/h2

với yk là giá trị xấp xỉ của hàm tại điểm xk

▪ thay xk vào phương trình ta được

pk (yk+1–2yk + yk-1)/h2+ qk (yk+1–yk-1)/(2h) +rkyk= fkvới pk = p(xk), qk = q(xk), rk = r(xk), fk = f(xk),

▪ biến đổi phương trình trên ta thu được hệ phương trình sau :

Đây chính là hệ phương trình tuyến tính

Ay = b

Với A là ma trận 3 đường chéo

Ví dụ : Giải gần đúng pt vi phân cấp 2y“ - y’ – (x+1)y = x-1, 0≤x≤1

Vậy nghiệm gần đúng

y(0) =1, y(0.25) = 0.8093, y(0.5) = 0.5827, y(0.75)=0.3182, y(1)=0

giải hệ phương trình tuyến tính: Ay = b

Ví dụ : Giải gần đúng pt vi phân cấp 2

Mx2y”+xy’-8My = -3M2x2, 1.4≤x≤1.8y(1.4) = 0.5M, y(1.8) = 1.5M

giải hệ phương trình tuyến tính : Ay = b

Vậy nghiệm gần đúng

y(1.4) =1.35, y(1.5) = 2.0499, y(1.6) = 2.7247, y(1.7)=3.3882, y(1.8)=4.05