Slide 1 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp HCM Cán bộ giảng dạy Ths Phan Thành Nhân CHƯƠNG 2 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ DẪN NHIỆT VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT VẬT RẮN 1 Trường nhiệt độ 2 Gradient nhiệt độ 3[.]
Trang 1CHƯƠNG 2 KHÁI NI ỆM CƠ BẢN VỀ DẪN NHIỆT VÀ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN D ẪN NHIỆT VẬT RẮN
1 Trường nhiệt độ
2 Gradient nhiệt độ
3 Dòng nhiệt và định luật Fourier
4 Phương trình vi phân dẫn nhiệt
5 Một số điều kiện trong quá trình dẫn nhiệt
Trang 2Trường nhiệt độ là tập hợp các nhiệt độ tại tất cả các điểm trong không gian tại một thời điểm nào đó
Có hai loại trường nhiệt độ:
– Trường nhiệt độ ổn định– Trường nhiệt độ không ổn định
Trang 3 Nếu nhiệt độ tại mỗi điểm là hằng số theo thời gian, thì
trường nhiệt độ là trường ổn định: là trường ba chiều (nhiệt độ là một hàm theo ba trục tọa độ)
( x , y , z ) f
t =
∂
( ) x , y f
t =
– Trường ổn định– Trường không ổn định
Trang 4 Nếu nhiệt độ là một hàm theo một trục tọa độ thì trường nhiệtđộ là trường một chiều:
∂
∂ 0
z
t y
– Trường ổn định– Trường không ổn định
Trang 52 Gradient nhi ệt độ:
Mặt đẳng nhiệt của một vật thể là quỹ tích của của các
điểm có nhiệt độ đồng nhất trong một trường nhiệt độ
– Không thể có bất kỳ điểm nào trên vật thể có thể tồn tạiđồng thời các nhiệt độ khác nhau
Trang 6– Nhiệt độ trong vật thể thay đổi theo phương xuyên quacác bề mặt đẳng nhiệt.
– Độ biến thiên nhiệt độ trên một đơn vị chiều dài theophương pháp tuyến với bề mặt đẳng nhiệt là lớn nhất
– Sự gia tăng nhiệt độ theo phương này được mô tả theogradient nhiệt độ
Gradient nhiệt độ là một vector pháp tuyến tới bề mặtđẳng nhiệt và có chiều dương theo chiều tăng nhiệt độ
n
t n
∂
∂
=
Trang 7Chiếu vector gradient nhiệt độ t lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz:
x
t x
, n
cos n
t gradt x
, n
cos n
t gradt y
, n
cos n
t gradt z
Trang 83 Dòng nhi ệt và định luật Fourier:
Trang 9Quá trình truyền nhiệt bằng dẫn nhiệt: yêu cầu gradientnhiệt độ tại những điểm khác nhau của vật thể phải lớn hơn 0.
n
t n
∂
∂ λ
∂
∂ λ
−
=Độ lớn của mật độ dòng nhiệt q:
Nhiệt lượng qua mặt đẳng nhiệt F trên một đơn vị thờigian:
∫
∫ = − λ ∂∂
=
F F
dF n
t qdF
(W/m 2 )
Trang 10 Lượng nhiệt tổng qua diện tích mặt đẳng nhiệt F trongkhoảng thời gian :τ
∫∫τ
∂
∂ λ
−
=
0 F
d
dF n
t Q
Lượng nhiệt truyền qua diện tích bề mặt dFl với góc nghiêng
ϕ tạo bởi đường thẳng tiếp tuyến với mặt phẳng và bề mặt đẳngnhiệt:
dF l
ϕ dF
l n
l
l
dF
1 d
dQ cos
dF
1 d
dQ cos
q q
τ
=
ϕ τ
= ϕ
(J)
Trang 11( ϕ ) τ = τ
= τ
dFdl
t
giá trị mật độ dòng nhiệt lớn nhất sẽ là mật độ dọc theo đường pháp tuyến với mặt đẳng nhiệt
Trang 12=
Mật độ dòng nhiệt theo ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz:
z y
iq
Vectơ mật độ dòng nhiệt q
(i, j, k: là vectơ đơn vị theo 3 trục tọa độ x, y, z)
Trang 134 Phương trình vi phân dẫn nhiệt:
Khảo sát quá trình dẫn nhiệt theo một phương xác định:
Xét vật thể với chiều dày dx, sự cân bằng năng lượng:
Dòng nhiệt dẫn vào mặt bên trái + nhiệt phát sinh bên trong vật thể = lượng biến đổi nội năng + dòng nhiệt dẫn đi ra mặt bên phải.
Trang 14Với các giá trị năng lượng :
Dòng nhiệt dẫn vào mặt bên tráiNhiệt phát sinh bên trong vật thểLượng biến đổi nội năng
Dòng nhiệt dẫn đi ra mặt bên phải:
Trong đó:
qv = công suất nguồn nhiệt trong trên một đơn vị thể tích, W/m 3
c = nhiệt dung riêng của vật liệu, J/kg o C
ρ = khối lượng riêng, kg/ m 3
x
T F
∂
∂ λ
T cF
τ
∂
∂ ρ
=
dx x
dx x
x
T F
q
+ + ∂
∂ λ
∂
∂ +
∂
∂ λ
−
x
T x
x T F
Trang 15Khi đó công thức dẫn nhiệt một chiều:
∂
∂+
∂
∂λ
−τ
∂
∂ρ
=
+
∂
∂λ
x
tx
x
tF
dx
tcFFdx
qx
= +
∂
∂
x t
Trang 16Xét đến quá trình dẫn nhiệt một vật thể qua cả ba phương tọa độ:
τ
+ +
+
= +
+
d
dE q
q q
q q
q
Trang 17Với các giá trị năng lượng:
x
t dydz
∂
∂ λ
−
x
t x
∂
∂ +
∂
∂ λ
−
= +
y
t dxdz
qy
∂
∂ λ
−
y
t y
∂
∂ +
∂
∂ λ
−
= +
z
t dxdy
qz
∂
∂ λ
−
z
t z
∂
∂ +
∂
∂ λ
−
= +
dxdydz q
qps = v
τ
∂
∂ ρ
= τ
t cdxdydz d
dE
Trang 18Phương trình dẫn nhiệt tổng quát theo ba chiều:
τ
∂
∂ρ
=+
∂
∂+
∂
∂+
∂
c
qz
tz
y
ty
+
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
a
1 q
z
t y
t x
2
2 2
2 2
= là hệ số khuyếch tán nhiệt của vật liệu, m2/s
Giá trị a càng lớn, nhiệt độ khuyếch tán qua vật liệu càng nhanh, giá trị a lớn là do vật liệu có tính dẫn nhiệt cao, hệ số dẫn nhiệt lớn, và khi đó dòng nhiệt sẽ truyền nhanh hơn
Trang 19Trong tọa độ trụ:
τ
∂
∂
=λ
+
∂
∂+φ
∂
∂+
∂
∂+
∂
a
1q
z
tt
r
1r
tr
1r
2
2 2
2 2 2
sinr
y
cosr
x
Trang 20=
θ
⋅ φ
⋅
=
cos r
z
sin sin
r y
sin cos
r x
+φ
∂
∂θ
∂
∂θ
tsin
r
1
tsin
sinr
1rt
rr
2
2 2
2 2
2 2
Trang 21Nhiều bài toán thực tế có thể giải quyết dựa trên các côngthức tổng quát ở trên, đối với từng trường hợp cụ thể mà ta giảmbớt một số thành phần cho phù hơp:
• Dẫn nhiệt ổn định theo một chiều nhất định, không có nguồnnhiệt trong:
0 dx
t d
2
2
=
• Dẫn nhiệt ổn định một chiều trong tọa độ trụ, không có
nguồn nhiệt trong
0 dr
dt r
1 dr
t d
2
2
= +
Trang 22• Dẫn nhiệt ổn định một chiều có nguồn nhiệt trong:
0
qdx
+
• Dẫn nhiệt ổn định hai chiều không có các nguồn nhiệt trong:
0 y
T x
∂
∂
Trang 235 M ột số điều kiện trong quá trình dẫn nhiệt:
Cần xác định thêm các điều kiện đơn trị:
(a) Các điều kiện đặc tính hình học về hình dáng, kích thước của vật thể mà quá trình dẫn nhiệt diễn ra tại đó.
(b) Các điều kiện vật lý, như là các đặc tính vật lý của môi trường và của vật thể rắn ví dụ như các thông số vật lý λ, c, ρ …
(c) Các điều kiện thời gian ban đầu, miêu tả sự phân bố nhiệt độ trong vật thể tại thời điểm ban đầu.
Nếu nhiệt độ phân bố đều trên vật thể thì điều kiện ban đầu đơn giản hơn và được miêu tả như sau:
(d) Các điều kiện biên xác định sự tương tác của vật thể với môi trường.
0
= τ
0
= τ
(x , y , z)
f
t =
const t
t = o =
Trang 24 Điều kiện biên loại 1:
Nhiệt độ phân bố trên bề mặt vật thể được xác định theothời gian:
Với ts: nhiệt độ bề mặtTrong trường hợp nhiệt độ bề mặt luôn không thay đổi trongsuốt quá trình truyền nhiệt:
Trang 25 Điều kiện biên loại 2:
Mật độ dòng nhiệt được xác định theo vị trí các điểm trên bềmặt vật thể và theo thời gian:
Với qd: mật độ dòng nhiệt trên bề mặt vật thểMật độ dòng nhiệt được giữ không đổi theo thời gian qua toànbộ bề mặt vật thể:
Quá trình truyền nhiệt diễn ra theo cách này khi các vật thểkim loại được gia nhiệt trong môi trường có nhiệt độ cao
= f x,y,z,
qd
constq
qd = o =
Trang 26 Điều kiện biên loại 3:
Cho nhiệt độ môi trường là tf và quy luật truyền nhiệt củaquá trình giữa bề mặt vật thể và môi trường đặt vật thể
– Quá trình truyền nhiệt giữa vật thể và môi trường đượcmô tả theo định luật Newton
– Theo định luật bảo toàn năng lượng: lượng nhiệt lấy đi dotỏa nhiệt từ bề mặt vật thể ra môi trường bên ngoài sẽ cânbằng với lượng nhiệt do dẫn nhiệt bên trong vật thể
w
f s
n
t t
−
=
− α
Trang 27 Điều kiện biên loại 4:
Điều kiện này xác định quá trình dẫn nhiệt giữa một vật đơnhoặc một hệ thống các vật thể và môi trường
Các vật thể được giả định là tiếp xúc hoàn toàn (tại bề mặttiếp xúc có nhiệt độ giống nhau)
Dòng nhiệt đi qua các bề mặt tiếp xúc cân bằng nhau:
w
2 2 w
1 1
n
t n
Trang 284, tỷ số của góc nghiêng so với đường tiếp tuyến của đường congnhiệt độ tại điểm tiếp xúc của hai vật thể hoặc của vật thể vàmôi trường được cho như sau:
const tan
tan
1
2 2
λ
λ
= ϕ
Trang 29Tài li ệu tham khảo:
1 Hoàng Đình Tín, truyền nhiệt và tính toán thiết bị trao đổi
nhiệt, NXB Khoa học và kỹ thuật, 2001
2 Nguyễn Toàn Phong, Bài Giảng môn học truyền nhiệt, Trường
Đại học Bách Khoa TpHCM
3 J.P.Holman, heat transfer, Ninth edition, Mc Grew Hill
Trang 30H ẾT CHƯƠNG 2