Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân

Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân có nội dung trình bày về phương pháp Euler, phương pháp Euler cải tiến, công thức Runge-Kuta bậc 4, giải hệ phương trình vi phân cấp 1, giải phương trình vi phân cấp cao... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng.

Chương 5 :Giải gần đúng phương trình vi phân

Cho phương trình vi phân cấp1

)) (

, ( )

( ' x f x y x

với điều kiện ban đầu y(x0) = y0

Tính gần đúng giá trị y (b) với b bất kỳ cho trước

1) Phương pha ùp Euler :

a)Nộ i dung : Chia đoạn [a ,b] thành n phần đều

nhau , bởi các điểm chia

<

+

=

<

+

=

<

y i+1 = y i + k k = h f (x i , y i )

(2)

(

2

L

−

( , )

f

y

∂

=

∂

) (

1 )

(

y = + −

với điều kiện ban đầu y(2) = 1

Tính gần đúng nghiệm y(2.6) với bước h = 0 2

2) Phư ơng pháp Eul er cải ti ến

2) Phư ơng pháp Eul er cải ti ến

a) Nội dung :

2

2

1 1

k

k y

y i = i + +

Ví dụ : Giải phương trình y '(x) =1+ (x − y)2 với

điều kiện ban đầu y ( 2 ) = 1 trong ví dụ trước theo

phương pháp Euler cải tiến , kết quả như sau :

3) Công thức Runge – Kutta bậ c 4 :

a) Công thức

( 1 2 3 4)

6

1 )

( )

) ,

(

1 hf xi yi

) ,

( x h y k1 hf

2

, 2

2

k y

h x

hf

) 2

, 2

3

k y

h x

hf

V í dụ : Giải phương trình 2

) (

1 )

(

y = + − với điều kiện ban đầu y ( 2 ) = 1 trong ví dụ trước theo

phương pháp Runge-Kutta , kết quả như sau :

4) Giả i hệ phươ ng tr ình vi phân cấp 1 :

Giả sử ta cần giải hệ :







=

=

) , , ( '

) , , ( '

z y x G z

z y x F y

trong đó

)

(x y

y = , z = z (x) là những hàm phải tìm và thỏa

điều kiện ban đầu y(x0) = y0 ,z ( x0) = z0

Ph ương pháp Euler

Ph ương pháp Euler

) ,

, (

Ví du ï : Cho hệ







+

−

=

=

x x

y x

z x

z

x z x

y

) ( )

( 2 )

( '

) ( )

(

'

với điều kiện y(0) = 1 , z(0) = 0

Tìm y ( 1 ) và z ( 1 ) nếu số bước chia là n = 4

5) Gia ûi phương trì nh vi phân cấp cao :

Giải phương trình vi phân cấp 2

) ( )

( ) ( )

( ' ) ( )

(

'

' x p x y x q x y x f x

với điều kie än đa àu y(x0) = y0 , /

0

0) (

' x y

Đ ưa về hệ phươn g trìn h vi phân cấp 1 bằng phép

đổi biến y '(x) = z(x) , y ''(x) = z '(x)

Hệ







+

−

−

=

=

) ( )

( )

( '

'

x f y

x q z

x p z

z y

với điều kiện