Chuyên đề hhkg góc khoảng cách

Chóp .S ABCD có SA a 3 vuông góc với mặt đáyABCD.Tứ giác đáy $ABCD$ là hình vuông.Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳngSAC Câu 6... Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng

CHUYÊN ĐỀ : GÓC-KHOẢNG CÁCH Vấn đề 1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Câu 1. Cho hình chóp S ABC có các cạnh bên SA , SB , SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều

bằng 300 Biết AB  , 5 BC  , 8 AC  , khoảng cách d từ điểm 7 A đến mặt phẳng SBCbằng

A

35 3913

d 

35 3952

d 

35 1352

d 

35 1326

d 

Câu 2. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thoi tâm O, cạnh bằng a 3, BAD   , SA vuông60

góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và ABCD

a

B

17.17

a

C

3 17.17

a

D

5.5

a

Câu 3. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, với AC 2a, BC a

Đỉnh S cách đều các điểm A B C, , Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC bằng 600 Khoảng cách từ trung điểm M của SCđến mặt phẳng  SAB 

bằng

A

3913

a

3 1313

a

3926

a

1326

a

Câu 4. Cho hình chóp S ABCD. có ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA a , M là trung

điểm CD, góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SAC

a

43

a

23

a

Câu 5. Chóp S ABCD có SA a 3 vuông góc với mặt đáyABCD.Tứ giác đáy $ABCD$ là hình

vuông.Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳngSAC

Câu 6. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A ,ABC60 ,0 BC 2a , Gọi H là hình

chiếu vuông góc của A lên BC , biết SH vuông góc với mặt phẳng ABC, và SA tạo với đáymột góc bằng 600, Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC theo a

A 5

a

25

a

32

a

a

Câu 8. Cho lăng trụ ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A lên mặt

phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC Tính khoảng cách từ . A đến mp BCC B  biết gócgiữa hai mặt phẳng ABB A  và A B C   bằng 60

a

d 

34

a

d 

34

a

d 

Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 Tính khoảng cách từ A đến SBC.

A

34

a

3 32

a

3 22

a

33

a

2 33

a

h 

3 1510

a

h 

Câu 12. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S

xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC Góc tạo bởi mặt phẳng SBC với đáybằng 300 Gọi M là điểm thỏa

23

a

h 

310

a

h 

52

Câu 13. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB AD 2a,

DC a Điểm I là trung điểm đoạn AD, mặt phẳng SIB

và SIC

cùng vuông góc với mặtphẳng ABCD

Mặt phẳng SBC

tạo với mặt phẳng ABCD

một góc 60 , gọi d là1khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

và d là khoảng cách từ 2 I đến mặt phẳng SBC

.Tính tổng số d12d bằng.2

Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

60 Gọi N , M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC Khoảng cách từ điểm C đến

a

3 1326

a

1326

a

Vấn đề 2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Câu 15. Cho lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam giác vuông cân, AB AC a  Đường thẳng

AC hợp với mặt phẳng BCC B  một góc bằng 30 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

BC và AC.

A.

34

a

23

a

33

a

32

a

Câu 16. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB3a, BC4a Cạnh bên

SA vuông góc với đáy Góc tạo bởi đường thẳng SC với mặt phẳng ABC bằng 60 Gọi M

là trung điểm của cạnh AC , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM

52

a

10 379

a

Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi M , N lần lượt là trung điểm

của SA và BC Biết góc giữa MN và mặt phẳng ABC bằng 60 Khoảng cách giữa hai

a

15.68

a

15.17

a

Câu 18. Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa đường thẳng SA với mặt

phẳng ABC bằng 60 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , khoảng cách giữa hai đường

thẳng GC và SA bằng

A.

510

a

55

a

25

a

a

Câu 19. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SAABC, góc giữa đường

thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 60 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SBbằng

A

22

a

155

a

77

a

28519

a

2 9519

a

819

a

Câu 21. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a  Cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SB và ABC

bằng 60.Khoảng cách giữa hai đường thẳng

AB và SC bằng?

22

a

32

a

33

a

h 

43

a

34

a

652

a

Câu 23. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 Hai mặt phẳng SAB

và

SAC

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60 Gọi M

, N là các điểm lần lượt thuộc cạnh đáy BC và CD sao cho BM 2MC và CN 2ND Tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DM và SN

Câu 24. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB a , BC a 3 Tam

giác ASO cân tại S, mặt phẳng SAD

vuông góc với mặt phẳng ABCD

, góc giữa SD và

ABCD bằng 60 Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng

A.

32

a

32

a

Câu 25. Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB a  Cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC

và SBC

bằng 60 Khoảng cách giữahai đường thẳng AB và SC bằng

A.

32

a

22

a

33

a

Câu 26. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều, góc giữa SCD

và ABCD

bằng 60o Gọi M là trung điểm của cạnh AB Biết rằng hình chiếu vuông góc

của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD

nằm trong hình vuông ABCD Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC là

A.

510

Câu 27. Cho hình chóp S ABCD đáy là hình thoi cạnh a, góc BAC   , tam giác SAB cân tại S60

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 30 Tính khoảng

cách d giữa hai đường thẳng SB và AD.

A

2114

d  a

35

d  a

2 35

d  a

217

a

2 133

a

2 5113

a

3 3417

a

Câu 29. Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh bên bằng a 5 Gọi M là trung điểm của AB Biết góc

giữa hai mặt phẳng SAB

a

217

a

147

a

77

a

Câu 30. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác vuông tại A ,    AB a AC a ,  3 Gọi

M là trung điểm của CC Biết góc giữa mặt phẳng  A B M   và mặt phẳng đáy bằng 300

Khoảng cách giữa AB và  B M bằng

32

a

22

a

Câu 31. Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vuông góc với mặt đáy Tam giác ABC vuông cân tại B,

BA=BC=a, góc giữa mp SBC( ) với mp ABC( ) bằng 600 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác SAC Khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC là

A

34

a

B

32

a

23

a

D

62

a

Câu 32. Cho hình lăng trụ đứngABC A B C.    có mặt đáy là tam giác đều, cạnh A A 3a Biết góc giữa

mặt phẳng (A BC ) và mặt phẳng đáy bằng 450 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau A B

giữa SC và mặt đáy ABCD

bằng 450 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

a

Câu 34. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đường thẳng SA vuông góc với mặt

phẳng ABCD , góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABCD bằng 60 Khoảng cáchgiữa hai đường thẳng SC và AD bằng:

A.

22

a

23

a

22

a

32

a

Câu 36. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB2a, BC a , mặt bên SAB là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi E là trung điểm của CD Tính

theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BE và SC

A.

3010

a

32

a

155

a

Câu 37. Cho hình chóp S ABCD. có SA ABCD

và ABCD là hình vuông có cạnh bằng a Góc

giữa SC và mặt đáy ABCD

bằng 45 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau0

BD và SC

Câu 39. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AB = Tam giác SAB a.

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính góc giữa đường thẳng SC và

BB a Gọi I là trung điểm của ' CC Tính cosin của góc giữa hai mặt (ABC) và (AB I' ).

Biết khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau AA và BC là 2'

Câu 42. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , SA SC SB SD ,  , SO a 

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD là a Tính góc giữa đường SC và mặt phẳng

(ABCD )

A 300 B. 900 C. 600 D. 450

Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. , có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, tâm O; cạnh

bên bằng a 2. Gọi M là trung điểm của CD, H là điểm đối xứng của O qua SM Góc giữa.

hai mặt phẳng SCH và SCD bằng

A

2arcsin

3arcsin

2arcsin

3arcsin

7

Câu 44. Cho hình chóp S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD, SA a  , đáy ABCD là

hình thang vuông tại A và B với AB BC a  , AD2a Góc giữa hai mặt phẳng SBC

và

SCD

bằng

Câu 45. Cho hình chóp .S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AB3, BC4, tam giác SAC

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, d C SA ;  4 Tính côsin của góc tạo bởi hai mặtphẳng SAB và SAC

Câu 46. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật với AD2a , AB a  , cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng đáy ABCD

Gọi M là trung điểm của BC Biết khoảng cách từ điểm C

đến mặt phẳng (SDM)bằng 2a , tính tan của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Vấn đề 4 Min , max về góc , khoảng cách.

Câu 47. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh bằng a Trong các mặt phẳng chứa đường thẳng

CD, gọi   là mặt phẳng tạo với BDD B  một góc nhỏ nhất Tính  d A  ,  

A

66

a

62

a

63

a

Câu 48. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có tất cả các cạnh bằng 1 Gọi    M là điểm nằm

trên cạnh AA sao cho mặt phẳng (C MB ) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc nhỏ nhất Tínhdiện tích tam giác C MB

a

C.

2

369400

a

2

89

a

Câu 50. Cho hình thoi ABCD có BAD60 ,0 AB2a Gọi H là trung điểm AB , trên đường thẳng d

vuông góc với mặt phẳng ABCD

tại H lấy điểm S thay đổi khác H Biết rằng góc giữa SC

và SAD

có số đo lớn nhất khi

4 m

Lời giải CHUYÊN ĐỀ : GÓC-KHOẢNG CÁCH Vấn đề 1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Câu 1. Cho hình chóp S ABC có các cạnh bên SA , SB , SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều

bằng 300 Biết AB  , 5 BC  , 8 AC  , khoảng cách d từ điểm 7 A đến mặt phẳng SBCbằng

A

35 3913

d 

35 3952

d 

35 1352

d 

35 1326

S ABC SBC

Câu 2. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thoi tâm O, cạnh bằng a 3, BAD   , SA vuông60

góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và ABCD

a

B

17.17

a

C

3 17.17

a

D

5.5

a AH

 

Vậy khoảng cách khoảng cách từ A đến SMN

bằng

3 17.17

a

Câu 3. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, với AC 2a, BC a

Đỉnh S cách đều các điểm A B C, , Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC bằng 600 Khoảng cách từ trung điểm M của SCđến mặt phẳng  SAB  bằng

A

3913

a

3 1313

a

3926

a

1326

a

Lời giải Chọn A

B Q

Đỉnh S cách đều các điểm A B C, , và ABC là tam giác vuông tại đỉnh B nên hình chiếu của

S lên mặt phẳng  ABC 

là trung điểm H của AC SH   ABC  Suy ra góc giữa đườngthẳng SB và mặt phẳng  ABC  là SBH   600.

1 2

BH  AC a AH    AHB cân tại H ; AB a  3

Có MH / /SA nên d M SAB ;   d H SAB ;  

 

21313

Câu 4. Cho hình chóp S ABCD. có ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA a , M là trung

điểm CD, góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SAC

a

43

a

23

a

Lời giải Chọn A

22

x OD

x



.Lại có: SA2AO2 SO2

x x a

Câu 5. Chóp S ABCD có SA a 3 vuông góc với mặt đáyABCD

.Tứ giác đáy $ABCD$ là hình

vuông.Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳngSAC

S

B A

a AB

Câu 6. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A ,ABC60 ,0 BC 2a , Gọi H là hình

chiếu vuông góc của A lên BC , biết SH vuông góc với mặt phẳng ABC, và SA tạo với đáymột góc bằng 600, Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC theo a

A 5

a

25

Ta có: SH ABC  SA ABC,  SAH 600

Trong tam giác vuông SAH , có:

a

32

Xét tam giác SOI vuông tại O ta có:

3.tan 60

a OH

Câu 8. Cho lăng trụ ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A lên mặt

phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC Tính khoảng cách từ . A đến mp BCC B  biết gócgiữa hai mặt phẳng ABB A  và A B C   bằng 60

a

d 

34

a

d 

34

Gọi H là trung điểm BC , theo giả thiết A H ABC

Vì ABC là tam giác đều nên AH BC Vậy BCA AH   BCAA

Gọi M là trung điểm AB , N là trung điểm MB Ta có CM AB , NH là đường trung bình BCM

 nên HN CM HN AB//   Mà góc giữa hai mặt phẳng ABB A  và A B C   bằng góc giữa hai mặt phẳng ABB A  và ABC là góc .

Trong mặt phẳng A AH , kẻ HKAA tại K Ta thấy HKAA mà AA BB// 

a

AH 

;

34

 

Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 Tính khoảng cách từ A đến SBC

A

34

a

3 32

Gọi M là trung điểm của BC Do tam giác ABC đều nên AM BC.

Do S ABC là hình chóp đều nên S GABC S GB C

BC ABC SBC AM SM SMA S

a

3 22

a

33

a

2 33

,

tính theo a khoảng cách h từ I đến SBC.

A

155

a

h 

3 1510

a

h 

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Bích; Fb: Bich Nguyen

Chọn C

I A

D

B S

C

M H

Ta có:

2

32

55

Câu 12. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S

xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC Góc tạo bởi mặt phẳng SBC

với đáybằng 300 Gọi M là điểm thỏa

23

a

h 

310

a

h 

52

Chọn B

H I

S

A

C

B K

M

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC , suy ra SH ABC

, do

23

HI

(2)Dựng HK SI K( SI) khi đó d H SBC ,   HK

Câu 13. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB AD 2a,

DC a Điểm I là trung điểm đoạn AD, mặt phẳng SIB

và SIC

cùng vuông góc với mặtphẳng ABCD Mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng ABCD một góc 60 , gọi d là1

khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC và d là khoảng cách từ 2 I đến mặt phẳng SBC.Tính tổng số d12d bằng.2

Lời giải

Tác giả: Phó Văn Giang; Fb: Giang Phó

Chọn D

a S

.Gọi E là trung điểm cạnh AB

Lại có

1.2

IBC

S  IH BC 2S IBC

IH BC



IBC S IH

AD AE

35

a IH

.Trong mặt phẳng (SIH) kẻ IKSH tại K

 và DC , gọi N là giao điểm của  và IH Khi đó ta có:

Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

60 Gọi N , M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC Khoảng cách từ điểm C đến

a

3 1326

a

1326

N

M A

Vấn đề 2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Câu 15. Cho lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam giác vuông cân, AB AC a  Đường thẳng

AC hợp với mặt phẳng BCC B  một góc bằng 30 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

BC và AC.

A.

34

a

23

a

33

a

32

N

M

C' B'

A'

C

B A

Gọi M , N lần lượt là là trung điểm của cạnh BC và B C   Ta có AM BC và A N B C .Mặt khácABC A B C.    là lăng trụ đứng nên BB AM

a MH

Câu 16. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB3a, BC4a Cạnh bên

SA vuông góc với đáy Góc tạo bởi đường thẳng SC với mặt phẳng ABC bằng 60 Gọi M

là trung điểm của cạnh AC , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM

52

a

10 379

a

Lời giải

Tác giả: Lê Thị Hiền; Fb: Lê Hiền

Chọn D

K H

N M

S

C

B A

Cạnh bên SA vuông góc với đáy nên góc tạo bởi đường thẳng SC với mặt phẳng ABC

làgóc SCA Theo bài ra ta có  SCA  60  SA AC tanSCA 5 tan 60a  5a 3

Gọi N là là trung điểm của cạnh BC , ta có MN AB//  AB//SMN

Do đó d AB SM ,  d AB SMN ,   d A SMN ,  

.Trong mặt phẳng ABC, kẻ AH MN  tứ giác ABNH là hình chữ nhật.

Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi M , N lần lượt là trung điểm

của SA và BC Biết góc giữa MN và mặt phẳng ABC bằng 60 Khoảng cách giữa hai

đường thẳng BC và DM là

15.68

a

15.17

O

I

N

E M

Gọi I là trung điểm OA Vì IM SO//  IM ABCD

nên hình chiếu của MN lên ABCD

3162

a

55

a

25

a

a

Gọi I là trung điểm AB Trong ABCD

: Kẻ AJ sao cho ACIJ là hình bình hành.

a

AG 

nên SG AG .tan 60

3.tan 603

Do đó 2 2 2

GK SG GH

2 2

55

a

155

a

77

H

Vì SAABC

nên SB ABC;  SB AB;  SBA  SBA 60

.tan

a AH

 

Vậy d AC SB ;  d A SBD ;  

155

a AH

a

28519

a

2 9519

a

819

a AH

   d MN SB , 

2 28519

a



Câu 21. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a  Cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SB và ABC

bằng 60 (tham khảo hình vẽ

bên).Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng?

22

a

32

a

33

Xác định được 60 SB ABC,   SBA

Khi đó ta tính được SA AB tan 60 a 3

Trong mặt phẳng ABC

lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật.

Vì ABSCD nên d AB SC ,  d AB SCD ,   d A SCD ,  

.Trong SAD

A

352

a

h 

43

a

34

a

652

A H P

Q

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ABC

.Xác định được A C ABC ,   A CH 60