Chuyên đề hhkg nón trụ cầu

Một hình nón được gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu.. Tìm chiều cao của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính.. Cắt hì

VẤN ĐỀ 1 MẶT NÓN

Câu 1. Cho hình nón có đường sinh bằng diện tích xung quanh bằng Tính chiều cao của

hình nón đó theo

Câu 2. Cho tam giác vuông tại , góc Tính thể tích của khối tròn xoay tạo

thành khi quay quanh trục , biết

Câu 3. Một hình tứ diện đều cạnh có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên

đường tròn đáy của hình nón Khi đó diện tích xung quanh của hinh nón là

Câu 4. Cho khối nón có bán kính đáy và chiều cao Tính thể tích của khối nón đã

cho

Câu 5. Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là tam giác đều cạnh Tính

diện tích toàn phần của hình nón đó

Câu 7. Người thợ gia công của một cơ sở chất

lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn

với bán kính thành ba miếng hình

quạt bằng nhau Sau đó người thợ ấy quấn

và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái

phễu hình nón Hỏi thể tích của mỗi cái

phễu đó bằng bao nhiêu?

Câu 8. Bạn Hoàn có một tấm bìa hình

tròn như hình vẽ, Hoàn muốn

lớn nhất?

Câu 9. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều Gọi lần lượt là thể tích của khối cầu

ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đã cho Tính tỉ số

Câu 10. Một hình nón được gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên

mặt cầu Tìm chiều cao của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính

Câu 11. Cắt hình nón đỉnh bới một mặt phẳng đi qua trục của hình nón ta được một tam giác vuông

cân có cạnh huyền bằng , là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặtphẳng tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc Tính theo diện tích củatam giác

Câu 12. Cho hình nón đỉnh , đáy là đường tròn tâm , bán kính Một thiết diện qua đỉnh là

tam giác đều cạnh bằng , khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Câu 13. Tại trung tâm một thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón có kích thước

như sau: chiều dài đường sinh , bán kính đáy Biết rằng tam giác là thiếtdiện qua trục của hình nón và là trung điểm Trang trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ đến trên mặt nón Xác định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử

Câu 14. Một bình đựng đầy nước hình nón (không có nắp đáy) có chiều cao gấp 3 lần bán kính đáy của

nó Người ta thả vào bình một khối trụ và đo được lượng nước trào ra là Biết rằngmột mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy nón và chiều cao khối trụ bằng đường kính của đáy hìnhnón Tính thể tích khối nón

tạo ra một hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là bằng thủy tinh trong suốt Sau đó đặthai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc vớinhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của hình nón (xem hìnhvẽ) Biết rằng chiều cao của hình nón là Bỏ qua bề dày của các lớp vỏ thủy tinh, tổng thểtích của hai khối cầu bằng

Câu 17. Cho nửa hình cầu bán kính không đổi Một hình nón có

chiều cao bán kính đáy là tiếp xúc với nửa hình cầu

như hình vẽ (hai đường tròn đáy là đồng tâm và cùng thuộc

một mặt phẳng) Khi diện tích xung quanh của hình nón là

nhỏ nhất, khẳng định nào sau đây đúng ?

VẤN ĐỀ 2 MẶT TRỤ

Câu 18. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm Tính diện tích xung

quanh của hình trụ này

Câu 22. Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích

người ta đào một cái ao nuôi cá hìnhtrụ (như hình vẽ) sao cho tâm của hình tròn

đáy trùng với tâm của mảnh đất Ở giữa

B

C

D

Câu 23. Người ta thả một quả bóng hình cầu vào một cái thùng hình trụ sao cho quả bóng chạm đến đáy

thùng thì mực nước dâng lên tại vị trí cao nhất của quả bóng Biết rằng bán kính đáy thùng bằng

và chiều cao mực nước ban đầu là Bán kính quả bóng xấp xỉ là

Câu 24. Cho hình lập phương có cạnh bằng và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp

hai mặt đối diện của hình lập phương Gọi , lần lượt là diện tích toàn phần của hình lậpphương và diện tích toàn phần của hình trụ Tính

Câu 25. Cho hình thang vuông tại và với Quay hình thang và miền

trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành

Câu 26. Ông A dự định sử dụng hết tôn để làm một bồn đựng thóc hình trụ có đáy và nắp đậy Giả

sử các mép gò có kích thước không đáng kể Hỏi thể tích lớn nhất của bồn có thể làm được làbao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?

Câu 27. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục

của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng ta được thiết diện là một hình vuông.Tính thể tích khối trụ

Câu 28. Cho hình chữ nhât có Tính thể tích của khối trụ được tạo thành

khi quay hình chữ nhật xung quanh cạnh

Câu 29. Một hình trụ có bán kính đáy , có thiết diện qua trục là một hình vuông Tính diện tích xung

quanh của hình trụ

Câu 30. Trong không gian, cho hình chữ nhật có và Gọi lần lượt là

trung điểm của và Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục , ta được một hìnhtrụ Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó

Câu 31. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy và đường cao

C

Câu 32. Một khối trụ (T) có thể tích bằng và có đường sinh gấp ba lần bán kính đáy Độ dài

đường sinh của (T) là:

Câu 33. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là và ( là độ dài có sẵn) Người ta cuốn

tấm nhôm đó thành một hình trụ Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng thì thểtích của nó bằng:

Câu 34. Ông Bình muốn làm một chiếc thùng

hình trụ không đáy từ nguyên liệu là

mảnh tôn hình tam giác đều có

cạnh bằng Ông muốn cắt mảnh

tôn hình chữ nhật từ mảnh tôn

nguyên liệu (với , thuộc cạnh ;

, tương ứng thuộc cạnh và

) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng

Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà Ông Bình có thể làm được là

Câu 35. Cho lăng trụ đứng có độ dài cạnh bên bằng , đáy là

tam giác vuông cân tại , góc giữa và mặt phẳng bằng

(tham khảo hình vẽ) Diện tích toàn phần của khối trụ ngoại tiếp lăngtrụ bằng:

Câu 36. Người ta cần sản xuất một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ không có

nắp với đáy cốc và thành cốc làm bằng thủy tinh đặc, phần đáy cốc dày

đều và thành xung quanh cốc dày đều (hình vẽ) Biết rằng

chiều cao của chiếc cốc là và khi ta đổ 180 ml nước vào cốc thì đầy

cốc Nếu giá thủy tinh thành phẩm được tính là 500 đ /1 cm3 thì giá tiền

thủy tinh để sản xuất chiếc cốc đó gần nhất với số nào sau đây?

A nghìn đồng B nghìn đồng.

C nghìn đồng D nghìn đồng

Câu 37. Một công ty dự kiến làm một đường ống thoát nước thải hình trụ dài , đường kính trong

của ống (không kể lớp bê tông) bằng , độ dày của lớp bê tông bằng Biết rằng cứ một mét khối bê tông phải dùng 8 bao xi măng Số bao xi măng công ty phải dùng để xây dựng đường ống thoát nước là

A. 2765 bao B 2262 bao C 5278 bao D 3000 bao.

Câu 38. Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn và Trên hai đường tròn và lần lượt lấy

hai điểm , sao cho góc giữa đường thẳng và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng

, khoảng cách giữa đường thẳng và trục bằng Biết bán kính đáy bằng ,tính thể tích của khối trụ theo

VẤN ĐỀ 3 MẶT CẦU

Câu 39 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

B Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

C Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

D Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

Câu 40. Cho mặt cầu bán kính ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật có các kích thước , ,

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 41. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng Cạnh bên vuông góc với mặt

đáy và Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp theo

Câu 42. Cho hình chóp tứ giác đều có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng Biết rằng mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp đó có bán kính Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều nóitrên

Câu 43. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, các cạnh bên của hình chóp bằng

, Khi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầungoại tiếp

Câu 46. Cho hình cầu đường kính Mặt phẳng cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có

bán kính bằng Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng

Câu 47. Người ta xếp bảy viên bi là các khối cầu có cùng bán kính vào một cái lọ hình trụ Biết rằng

các viên bi đều tiếp xúc với hai đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với sáu viên bi xung quanh

tích lượng nước cần dùng để đổ đầy vào lọ sau khi đã xếp bi.

Câu 48. Cho khối cầu tâm bán kính không đổi Một khối trụ có chiều cao và bán kính đáy

thay đổi nội tiếp khối cầu Tính chiều cao theo sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất

vuông góc với nhau Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng

Câu 50. Cho tứ diện có , , Tính thê tích khối cầu

ngoại tiếp tứ diện

A ( đvtt) B ( đvtt) C ( đvtt) D ( đvtt)

Câu 51. Cho tứ diện đều  có một đường cao   Gọi  là trung điểm  Mặt phẳng 

chia tứ diện  thành hai tứ diện Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứdiện đó

Câu 52. Cho mặt cầu tâm có các điểm , , nằm trên mặt cầu sao cho ,

, và khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng Thể tích của khối cầu bằng

Câu 55. Cho hình cầu đường kính Mặt phẳng cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có

bán kính bằng Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng

Câu 56. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh cạnh bên vuông góc với

mặt phẳng đáy Mặt phẳng qua và vuông góc với cắt các cạnh , , lầnlượt tại các điểm , , Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện

Câu 57. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , , tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

BẢNG ĐÁP ÁN

51.A 52.C 53.C 54.A 55.A 56.A 57.C

LỜI GIẢI Câu 1. Cho hình nón có đường sinh bằng diện tích xung quanh bằng Tính chiều cao của

Câu 2. Cho tam giác vuông tại , góc Tính thể tích của khối tròn xoay tạo

thành khi quay quanh trục , biết

Lời giải

Tác giả: Vũ Văn Tuấn ; Fb:Vũ Văn Tuấn

Chọn C

.Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục là khối nón có trục là và đường sinh là

Vậy thể tích khối nón là

Câu 3. Một hình tứ diện đều cạnh có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên

đường tròn đáy của hình nón Khi đó diện tích xung quanh của hinh nón là

Chọn C

Câu 5. Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là tam giác đều cạnh Tính

diện tích toàn phần của hình nón đó

Diện tích toàn phần của hình nón là

Câu 6. Cho hình nón tròn xoay có đường cao , bán kính đáy Tính độ dài đường

Câu 7. Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính

thành ba miếng hình quạt bằng nhau Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó

để được ba cái phễu hình nón Hỏi thể tích của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?

Đường sinh của hình nón tạo thành là

Chu vi đường tròn ban đầu là

Gọi là bán kính đường tròn đáy của hình nón tạo thành

Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành là Đường cao của khối nón tạo thành là

Câu 8. Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một hình

cái phễu hình nón Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn rồi dán hai bán kính và lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể) Gọi là góc ở tâm hình quạt tròndùng làm phễu Tìm để thể tích phễu lớn nhất?

Đường cao của hình nón

Thể tích khối nón (phễu)

Dấu bằng xảy ra khi Vậy thể tích phễu lớn nhất khi

Câu 9. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều Gọi lần lượt là thể tích của khối cầu

ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đã cho Tính tỉ số

Lời giải

Tác giả: Trần Tuấn Anh ; Fb:Trần Tuấn Anh

Chọn A

Xét tam giác đều là thiết diện qua trục của hình nón như hình vẽ

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng

Gọi là trọng tâm tam giác đều , khi đó vừa là tâm mặt cầu nội tiếp vừa là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón đã cho

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón:

Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón:

Khi đó

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón:

Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón:

Câu 10. Một hình nón được gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên

mặt cầu Tìm chiều cao của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính

Lời giải

Tác giả: Trần Tuấn Anh ; Fb:Trần Tuấn Anh

Chọn B

Gọi chiều cao của hình nón là

Gọi bán kính đáy của hình nón là

Theo bảng biến thiên ta có

Vậy đạt được khi chiều cao

Câu 11. Cắt hình nón đỉnh bới một mặt phẳng đi qua trục của hình nón ta được một tam giác vuông

cân có cạnh huyền bằng , là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặtphẳng tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc Tính theo diện tích củatam giác

Lời giải

Tác giả: Trần Quốc Đại; Fb: Trần Quốc Đại.

Chọn C

Gọi là trung điểm cạnh ,

Trong tam giác có

Câu 12. Cho hình nón đỉnh , đáy là đường tròn tâm , bán kính Một thiết diện qua đỉnh là

tam giác đều cạnh bằng , khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

S

A'

B K

Gọi là trung điểm

Tam giác đều cạnh bằng , có là đường cao

Tam giác cân tại , có ,

.Tam giác vuông tại , có là đường cao

.

Vậy

Câu 13. Tại trung tâm một thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón có kích thước

như sau: chiều dài đường sinh , bán kính đáy Biết rằng tam giác là thiếtdiện qua trục của hình nón và là trung điểm Trang trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ đến trên mặt nón Xác định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử

Khi cắt mặt xung quanh hình nón bởi mặt phẳng , rồi trải phẳng phần mặt xung quanh

có chứa hệ thống đèn trang trí ta được một hình quạt như trên

Ta có độ dài cung quạt chính là nửa chu vi của đường tròn đáy hình nón:

Khi đó Nên khi trải phẳng ta được tam giác vuông tại

Chiều dài ngắn nhất của dây đèn trang trí chính là độ dài đoạn thẳng

Do đó giá trị ngắn nhất của dây đèn là

Câu 14. Một bình đựng đầy nước hình nón (không có nắp đáy) có chiều cao gấp 3 lần bán kính đáy của

nó Người ta thả vào bình một khối trụ và đo được lượng nước trào ra là Biết rằngmột mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy nón và chiều cao khối trụ bằng đường kính của đáy hìnhnón Tính thể tích khối nón

Gọi bán kính đáy nón là thì chiều cao của nón là , chiều cao của hình trụ là

Theo Định lý Ta-lét Suy ra

Khi đó thể tích khối nón đỉnh đáy là đường tròn là:

.BBT:

Vậy đạt GTLN tại Khi đó thể tích khối nón đỉnh là:

Mà thể tích khối nón đỉnh là:

Câu 16. Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế

tạo ra một hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là bằng thủy tinh trong suốt Sau đó đặthai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc vớinhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của hình nón (xem hìnhvẽ) Biết rằng chiều cao của hình nón là Bỏ qua bề dày của các lớp vỏ thủy tinh, tổng thểtích của hai khối cầu bằng

C. D.

Lời giải

Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng

Chọn D

Xét phần thiết diện qua trục và kí hiệu như hình vẽ trên

Ta có đều có chiều cao nên bán kính đường tròn nội tiếp

Tương tự đều có chiều cao nên có bán kính đường tròn nội tiếp

Tổng thể tích hai khối cầu bằng:

Câu 17. Cho nửa hình cầu bán kính không đổi Một hình nón có chiều cao bán kính đáy là tiếp

xúc với nửa hình cầu như hình vẽ (hai đường tròn đáy là đồng tâm và cùng thuộc một mặtphẳng) Khi diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất, khẳng định nào sau đây đúng ?

Ta có

Bảng biến thiên

Từ BBT tìm được đạt GTNN trên khoảng tại

Câu 18. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm Tính diện tích xung

quanh của hình trụ này

Lời giải

Tác giả: Chu Minh; Fb: Minhchu

Chọn A

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh, ta có: S xq 2 2 3.4 24 cmR l    2

Câu 19. Cho khối trụ có bán kính đáy và chiều cao Tính thể tích của khối trụ đã cho

Câu 22. Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ (như

hình vẽ) sao cho tâm của hình tròn đáy trùng với tâm của mảnh đất Ở giữa mép ao và mépmảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao

và mép mảnh đất là Giả sử chiều sâu của ao cũng là Tính thể tích lớn nhất của ao

thùng thì mực nước dâng lên tại vị trí cao nhất của quả bóng Biết rằng bán kính đáy thùng bằng

và chiều cao mực nước ban đầu là Bán kính quả bóng xấp xỉ là

Ta có phương trình sau:

So với điều kiện ta được

Câu 24. Cho hình lập phương có cạnh bằng và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp

hai mặt đối diện của hình lập phương Gọi , lần lượt là diện tích toàn phần của hình lậpphương và diện tích toàn phần của hình trụ Tính

Lời giải

Tác giả: Chu Minh; Fb: Minhchu

Chọn B