Chuyên đề 22 góc khoảng cách trong hhkg tuần tuý hướng dẫn giải

GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P là góc giữa d và hình chiếu của nó trên mặt phẳng P Gọi là góc giữa d và mặt phẳng P thì Đầu tiên tìm giao điểm c

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

DẠNG 1 GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG

Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian ta có thể thực hiệntheo hai cách

Cách 1 Tìm góc giữa hai đường thẳng bằng cách chọn một điểm

thích hợp ( thường nằm trên một trong hai đường thẳng)

d1

d2 d'2

d'1 O

Từ dựng các đường thẳng lần lượt song song ( có thể tròng nếu

nằm trên một trong hai đường thẳng) với và Góc giữa hai đường

thẳng chính là góc giữa hai đường thẳng

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

Cách 2 Tìm hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng

Khi đó góc giữa hai đường thẳng xác định bởi

Lưu ý 2: Để tính ta chọn ba vec tơ không đồng phẳng mà

có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ

qua các vec tơ rồi thực hiện các tính toán

DẠNG 2 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và

hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P)

Gọi là góc giữa d và mặt phẳng (P) thì

Đầu tiên tìm giao điểm của d và (P) gọi là điểm A.

Trên d chọn điểm B khác A, dựng BH vuông góc với (P) tại H Suy ra AH làhình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P)

Vậy góc giữa d và (P) là góc

CHUYÊN ĐỀ 22: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN THUẦN TUÝ

Trang 2

Nếu khi xác định góc giữa d và (P) khó quá ( không chọn được điểm B đểdựng BH vuông góc với (P)), thì ta sử dụng công thức sau đây Gọi là gócgiữa d và (P) suy ra:

vuông góc với giao tuyến tại một điểm

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng vừa tìm

Những trường hợp đặc biệt đề hay ra:

Trường hợp 1: Hai tam giác cân ACD và BCD có chung cạnh đáy CD.

A C

H

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc

Trang 3

Trường hợp 3: Khi xác định góc giữa hai mặt phẳng quá khó,

ta nên sử dụng công thức sau:

Với là góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) A là một điểm thuộcmặt phẳng (P) và a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

Trường hợp 4: Có thể tìm góc giữa hai mặt phẳng bằng công thức

Trường hợp 5: Tìm hai đường thẳng d và d' lần lượt vuông góc với mặt

phẳng (P) và mặt phẳng (Q) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa d và d'

Trường hợp 6: CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA MẶT PHẲNG BÊN VÀ MẶT PHẲNG ĐÁY

Bước 1: xác dịnh giao tuyến d của mặt bên và mặt đáy.

Bước 2: từ hình chiếu vuông góc của đỉnh, dựng

Bước 3: góc cần tìm là góc

Với S là đỉnh, A là hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy

Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC).Hãy

xác định góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC).

Ta có BC là giao tuyến của mp (SBC) và (ABC).

Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A, dựng

Kết luận góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc

DẠNG 3: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ĐỈNH ĐẾN

MỘT MẶT

Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặtphẳng bên

Bước 1: Xác định giao tuyến d

Bước 2: Từ hình chiếu vuông góc của đỉnh, DỰNG ( )

Bước 3: Dựng Khoảng cách cần tìm là AI

Với S là đỉnh, A là hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy

Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC) Hãy

xác khoảng cách từ điểm A đến mặt bên (SBC).

B

S

H I

Ta có BC là giao tuyến của mp (SBC) và (ABC)

B

S

H

Trang 4

Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A, dựng tại H Dựng tại I

M

O K

b B

Dạng 2 Khoảng cách của đường thẳng với

đường thẳng

Ta có các trường hợp sau đây:

a) Giả sử và là hai đường thẳng chéo nhau và

- Ta dựng mặt phẳng chứa và vuông góc với tại

- Trong dựng tại , ta được độ dài đoạn AB là

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và

b) Giả sử và là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc vớinhau

Cách 1:

Trang 5

M' b' b

A

M

s

- Ta dựng mặt phẳng chứ và song song với

- Lấy một điểm tùy ý trên dựng tại

- Từ dựng cắt tại

- Từ dựng cắt tại , độ dài đoạn là

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và

Cách 2:

a

b'

b B A

O I H

- Ta dựng mặt phẳng tại , cắt tại

- Dựng hình chiếu vuông góc của là trên

- Trong mặt phẳng , vẽ ,

- Từ dựng đường thẳng song song với cắt tại

- Độ dài đoạn thẳng là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và

DẠNG 5 KHOẢNG CÁCH CỦA ĐƯỜNG VỚI MẶT, MẶT VỚI MẶT

Ở dạng toán này chúng ta đều quy về dạng toán 1

Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến mặt phẳng được gọi là khoảng cáchgiữa đường thẳng và mặt phẳng

M

Cho hai mặt phẳng và song song với nhau, khoảng cách từ một

điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳn kia được gọi là khoảng cách

Trang 7

Câu 30:_TK2023 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , vuông

góc với đáy và (tham khảo hình vẽ) Góc giữa hai mặt phẳng

và bằng

Lời giải

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng và bằng

Do tam giác vuông cân tại

Vậy góc giữa hai mặt phẳng và bằng

Câu 38:_TK2023 Cho hình chóp đều có chiều cao (tham khảo

hình bên) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Lời giải

Trang 8

H O

Câu 1: ĐTK2022 Cho hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau (tham

khảo hình vẽ) Góc giữa hai đường thẳng và bằng

B A

B' A'

Lời giải Chọn A

B A

B' A'

Trang 9

Ta có nên

Tứ giác là hình bình hành có nên là hình thoi nên

Câu 2: Cho hình lập phương có cạnh bằng Gọi lần lượt là

trung điểm của Góc giữa hai đường thẳng và là

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng Số đo góc

giữa hai đường thẳng , bằng

Lời giải Chọn D

S

B

C O

Vì nên góc giữa và là góc giữa và

Hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng nên đều, suy ra

Câu 4: Cho hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng Gọi và lần lượt là

trung điểm của và Số đo của góc bằng

Lời giải

Trang 10

Chọn B

Ta có (tính chất đường trung bình) và (tứ giác là hình thoi)

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và các cạnh

bên đều bằng Gọi và lần lượt là trung điểm của và Số đo góc

bằng:

Lời giải Chọn C

Vì và lần lượt là trung điểm của và nên là đường trung bìnhcủa tam giác Suy ra song song với nên

Tam giác có và vì là đường chéo của hìnhvuông cạnh Khi đó tam giác vuông cân tại Vậy

Câu 6: (ĐTK2021) Cho hình hộp chữ nhật có và

( tham khảo hình bên) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

Trang 11

A B C D

Lời giải Chọn B

Xét tam giác vuông tại ta có:

Câu 7: (Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện có đôi một vuông

góc với nhau và Gọi là trung điểm của (tham khảohình vẽ bên dưới) Góc giữa hai đường thẳng và bằng

Trang 12

Gọi là trung điểm ta có và

C' B'

Câu 9: Cho tứ diện có Gọi , lần lượt là trung điểm và

Biết , góc giữa hai đường thẳng và bằng

Lời giải

Trang 13

Gọi là trung điểm , ta có và , suy ra

Xét ta có

Câu 10: Cho hình lập phương ; gọi là trung điểm của Góc

giữa hai đường thẳng và bằng

Giả sử cạnh của hình lập phương là

Gọi là trung điểm đoạn thẳng Khi đó, nên

Câu 11: Cho hình lăng trụ tam giác đều có và Góc

giữa hai đường thẳng và bằng

Trang 14

M

C A

Trang 15

Gọi là trung điểm của Suy ra

Do đó:

Gọi là độ dài cạnh của tứ diện đều , suy ra ;

Trong tam giác ta có:

Câu 13: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc

với mặt phẳng đáy và Góc giữa và mặt phẳng bằng

D S

C B

A

Ta có nên ta có

Câu 14:Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng tam

giác vuông cân tại và (minh họa nhứ hình bên) Góc giữa đườngthẳng và mặt phẳng bằng

Trang 16

A B C D

Ta có là hình chiếu của trên mặt phẳng

Do tam giác vuông cân tại

Xét tam giác vuông vuông tại có vuông cân tại

Câu 15: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp có đáy là tam giác

vuông tại , , , vuông góc với mặt phẳng đáy và

(tham khảo hình bên)

C A

B S

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng

Do vuông góc với mặt phẳng đáy nên là hình chiếu vuông góc của

Trang 17

Trong tam giác vuông tại có:

Câu 16: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông

tại B, AB3 ,a BC 3 ,a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA (tham2a

khảo hình vẽ)

B S

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng

Trang 18

Ta thấy: hình chiếu của xuống là do đó

Trang 19

Vì là hình chữ nhật, có , nên

Ta có

Câu 20: (Mã 103 2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại ,

, , vuông góc với mặt phẳng đáy và Góc giữađường thẳng và mặt phẳng đáy bằng

Có nên là hình chiếu của trên mặt phẳng

Trang 20

Câu 21: (Mã 102 - 2019) Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng

, , tam giác vuông tại , và (minh họanhư hình vẽ bên)

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

Vì vuông góc với mặt phẳng , suy ra góc giữa đường thẳng vàmặt phẳng bằng

Trang 21

Mà do cách dựng nên , hay là hình chiếu của lên

suy ra góc giữa và là góc hay góc Tam giác vuông ở

Tam giác vuông ở

Câu 23: (Mã 102 - 2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ,

vuông góc với mặt phẳng đáy và Góc giữa đường thẳng vàmặt phẳng đáy bằng

D A

Vậy góc giữa đường thẳng và và mặt phẳng đáy bằng bằng

vuông góc với mặt phẳng đáy và Góc giữa đường thẳng vàmặt phẳng đáy bằng

Trang 22

D A

Vậy góc giữa đường thẳng và và mặt phẳng đáy bằng bằng

Câu 25: (Mã 101 - 2019) Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng

, , tam giác vuông tại và (minh họanhư hình vẽ bên) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng:

B S

Ta có  nên là hình chiếu của lên mặt phẳng

Trang 23

A B C D

Ta có

Vì là hình chiếu của SC lên nên góc giữa và là góc giữa và

Xét vuông tại A, ta có: Suy ra

Câu 27: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng ,

tam giác đều cạnh bằng (minh họa như hình dưới) Góc tạo bởi giữamặt phẳng và bằng

C

B A

S

Trang 24

C

B A

S

Gọi là trung điểm

đều cạnh nên và

Ta có Hình chiếu của trên mặt phẳng là

Suy ra (theo định lí ba đường vuông góc)

Vậy góc cần tìm là

Câu 28: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, ,

, Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng và

Lời giải

Trang 25

Câu 29: ĐTK2022 Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông

cân tại và (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ đến mặtphẳng là:

Trang 26

Ta có:

Mặt khác tam giác vuông cân tại

Câu 30: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , cạnh , góc

, cạnh vuông góc với và Khoảng cách từ đếnlà

Trang 27

Trong mặt phẳng kẻ

Ta có

Từ và suy ra

Trong vuông tại có đường cao ta có

Câu 32: Cho hình chóp có , và vuông tại có cạnh ,

Tính theo khoảng cách từ A đến

Gọi là hình chiếu của lên

Trang 28

B A

Câu 34: (ĐTK2021) Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy

bằng và độ dài cạnh bên bằng (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Trang 29

A B C D

Gọi là giao điểm của và

Trang 30

Câu 35: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho lăng trụ đứng có đáy là

tam giác đều cạnh và Gọi là trung điểm của (tham khảohình bên) Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên và

Trang 31

Câu 36: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng có đáy

là tam giác đều cạnh và Gọi là trung điểm của (thamkhảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

Gọi và là trung điểm

Vậy

Câu 37: (Mã 101 2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông đỉnh ,

, vuông góc với mặt phẳng đáy và Khoảng cách từ đếnmặt phẳng bằng

Trang 32

Câu 38: (Mã 102 2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông đỉnh ,

, vuông góc với mặt phẳng đáy và Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

Kẻ trong mặt phẳng

Ta có:

Trang 33

mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặtphẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên) Khoảng cách từ đến mặt phẳng

bằng

A B

D C

S

O

G I

A B

D C

S

O A

C

S

I

K H

* Gọi và là trọng tâm tam giác , là trung điểm của

ta có

* Gọi là trung điểm của , là hình chiếu của lên ta có

* Xét tam giác vuông tại I ta có:

Trang 34

Câu 40: (Mã 101 -2019) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh

mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặtphẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên) Khoảng cách từ đến mặt phẳng

bằng

Gọi là trung điểm của Khi đó,

Gọi là giao điểm của và suy ra Kẻ tại ( làtrung điểm )

Kẻ tại I Khi đó:

Khi đó:

Trang 35

Suy ra:

Câu 41: (Đề Tham Khảo 2019) Cho hình chóp có đáy là hình thoi

cạnh , , và vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách

tứ đến bằng?

Trang 36

Tam giác đều nên suy ra

Gọi là hình chiếu của lên ta chứng minh được

Câu 44: Cho hình chop có đáy là tam giác vuông tại , , ,

vuông góc với mặt phẳng đáy và Khoảng cách từ điểm đến

Tiêu đề	Chuyên đề 22: Góc và khoảng cách trong không gian thuần túy
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Thể loại	Tài liệu ôn thi tốt nghiệp

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	3,23 MB