Chuyên đề Toán 11: Khoảng cách - Bài 2: Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Chuyên đề Toán 11: Khoảng cách - Bài 2: Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau cung cấp đến bạn một số bài tập tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau theo dạng hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau, hai đường thẳng d1 và d2 bất kì. Mời các bạn cùng tham khảo!

TRUNG TÂM LUYỆN THI NHẤT ĐẠO

Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)

 034.316.3612

 Xĩm 1 – Lại Đà – Đơng Hội – Đơng Anh – Hà Nội

BÀI 2 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU

Dạng 1: Hai đường thẳng d1và d2vuơng gĩc với nhau

T1 Cho hình chĩp S ABC cĩ SA vuơng gĩc với đáy; SA=a 3 Tam giác ABC đều cạnh a Tính

khoảng cách

a) SA và BC

b) SB và CI với I là trung điểm của AB

c) Từ B tới mặt phẳng (SAC)

d) Từ J tới mặt phẳng (SAB) với J là trung điểm của SC

Lời giải

⊥



b)Ta cĩ: CI ⊥AB và CI ⊥SACI ⊥(SAB)(*)

Trong (SAB) kẻ IH⊥SB tại H Ta cĩ

⊥

2

a

IHB

a

I

N

M

B S

TRUNG TÂM LUYỆN THI NHẤT ĐẠO

Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)

 034.316.3612

 Xĩm 1 – Lại Đà – Đơng Hội – Đơng Anh – Hà Nội

c)Gọi N là trung điểm của AC Ta cĩ: BN AC BN (SAC)

⊥



;

2

a

;

CS

d C SAB

T2 Cho hình chĩp tứ giác S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật, AB= a; AD=a 3, và SA vuơng

gĩc với (ABCD) Biết gĩc giữa (SCD)và đáy bằng 0

60 Tính khoảng cách:

a)Từ O đến (SCD) với O là tâm đáy

b)Từ G đến (SAB) với G là trọng tâm tam giác SCD

c) SA và BD

d) CD và AI với I là điểm thuộc SD sao cho SI = 1

2ID Giải

a)Gĩc giữa (SCD)và (ABCD)là 0

60

a 3a

60°

a 3 2a 3

O

M

B

D

A

C

S

a

a 3

3a

B A

S

K I

P

TRUNG TÂM LUYỆN THI NHẤT ĐẠO

Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)

 034.316.3612

 Xĩm 1 – Lại Đà – Đơng Hội – Đơng Anh – Hà Nội

.tan 60 3

2 3

Trong (SAD) kẻ AH ⊥SD tại H Ta cĩ: CD AD CD (SAD)

⊥



;

2

2 3

( ; ) 1 ( ;( ) ) 3

;

OC

d A SCD

b)Gọi M là trung điểm của CD Ta cĩ , , S G M thẳng hàng và 2

3

GS

Ta cĩ:

( ; ) 2 ( ;( ) ) 2 3

;

MS

c)Trong (ABCD),kẻ AK⊥BD tại K Ta cĩ AK SA d SA BD( ; ) AK

⊥



a AK

;

2

a

3

Ta cĩ:CD/ /(ABI)d CD AI( ; )=d CD ABI( ;( ) )=d D ABI( ;( ) )

Trong(SAD) Kẻ DP⊥AI tại P Ta cĩ AB⊥(SAD)AB⊥DP

Do đĩ DP⊥(ABI)d D ABI( ;( ) )=DP

Ta cĩ:

2

39

TRUNG TÂM LUYỆN THI NHẤT ĐẠO

Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)

 034.316.3612

 Xĩm 1 – Lại Đà – Đơng Hội – Đơng Anh – Hà Nội

ADI

ADI

;

13

Dạng 2: Hai đường thẳng d1 và d2 bất kì

T3 Cho hình chĩp tứ giác S ABCD , đáy ABCD là hình vuơng cạnh a , SA vuơng gĩc với (ABCD)

và gĩc giữa (SBC) và đáy bằng 60 Tính khoảng cách:

a) giữa hai đường thẳng BC và SD

b) giữa hai đường CD và SB

c) giữa hai đường SA và BD

d) giữa hai đường SI và AB , với I là trung điểm của CD

e) giữa hai đường DJ và SA , với J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ =2JC

f) giữa hai đường DJ và SC , với J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ =2JC

g) giữa hai đường AE và SC , với E là trung điểm của cạnh BC

Lời giải

TRUNG TÂM LUYỆN THI NHẤT ĐẠO

Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)

 034.316.3612

 Xĩm 1 – Lại Đà – Đơng Hội – Đơng Anh – Hà Nội

⊥



Khi đĩ:

:









Trong SAB , ta cĩ: SA=AB.tan 60 =a 3













c) Gọi O là trung điểm BDAO⊥BD (vì ABCD là hình vuơng cạnh a)

Ta lại cĩ AO⊥SA vì SA⊥(ABCD)

Vậy AO là đường vuơng gĩc chung của hai đường SA và BD hay ( ) 2

,

2

a

TRUNG TÂM LUYỆN THI NHẤT ĐẠO

Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)

 034.316.3612

 Xĩm 1 – Lại Đà – Đơng Hội – Đơng Anh – Hà Nội







chiếu vuơng gĩc của A lên SD Khi đĩ ta cĩ: 1 2 12 12 12 12 3

a AH

e) Từ J kẻ JP CD P, AD Khi đĩ ta cĩ tam giác PDJ vuơng tại P và ;

3

a

DP= PJ =a

3

a

3

PDJ

Gọi N là hình chiếu vuơng gĩc của A lên DJ Khi đĩ ta cĩ:

⊥



AN

 là đường vuơng gĩc chung của hai đường SA và DJ hay d SA DJ( , )=AN

10

AN

AD

,

10

a

f) giữa hai đường DJ và SC , với J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ =2JC

F V

J

G

F D

A

B

C

S

J V

X

TRUNG TÂM LUYỆN THI NHẤT ĐẠO

Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)

 034.316.3612

 Xĩm 1 – Lại Đà – Đơng Hội – Đơng Anh – Hà Nội

Gọi F =DJAC Kẻ GF SC với G SA







Gọi ,V X lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A lên DJ GV,

Ta chứng minh được DJ (GAV) DJ AX AX (DGJ) d A DGJ( ,( ) ) AX



⊥

a

Trong tam giác vuơng DJC cĩ

2 2

3 cos

10 3

JDC

a

  +   

AD

3

3 3

10 4

a AV

   

 

   

 

a

g) giữa hai đường AE và SC , với E là trung điểm của cạnh BC

TRUNG TÂM LUYỆN THI NHẤT ĐẠO

Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)

 034.316.3612

 Xĩm 1 – Lại Đà – Đơng Hội – Đơng Anh – Hà Nội

Gọi K là trung điểm AD ( )







Gọi M Q, lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A lên KC SM,

Ta chứng minh được KC ⊥(SMA)KC ⊥AQ

⊥



Ta cĩ

2 2

5 2

a a

a

  +   

Trong tam giác vuơng SAM cĩ

( )

5

a AQ

 

 

 

,

4

a

T4 Cho hình chĩp tứ giác S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3, tam giác

SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy Gọi H là trung điểm AB Tính khoảng cách:

a) từ A tới mặt phẳng (SBD).B) giữa hai đường SH và CD

D

A

B

C

S

M

Q

M

TRUNG TÂM LUYỆN THI NHẤT ĐẠO

Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)

 034.316.3612

 Xĩm 1 – Lại Đà – Đơng Hội – Đơng Anh – Hà Nội

c) giữa hai đường SH và AC

d) giữa hai đường SB và CD

Lời giải

a) Theo giả thiết thì SH là đường cao của hình chĩp S ABCD Mà SAB đều 3

2

a SH

 =

Lại cĩ H là trung điểm ABd A SBD( ,( ) )=2d H SBD( ,( ) )

a

a

Gọi I là hình chiếu vuơng gĩc của H lên SN Ta dễ dàng chứng minh được HI ⊥(SBD)

P

O J

E

N H

D

A

B

C

S

M K

I T

TRUNG TÂM LUYỆN THI NHẤT ĐẠO

Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)

 034.316.3612

 Xĩm 1 – Lại Đà – Đơng Hội – Đơng Anh – Hà Nội

10

a HI

   

   

   

5

a

b) Gọi E là trung điểm CDHE⊥CD (vì đáy ABCD là hình chữ nhật)

Lại cĩ SH ⊥(ABCD)SH ⊥HE

Vậy HE là đường vuơng gĩc chung của hai đường SH và CD

Vậy d SH CD( , )=HE=a 3

c) Gọi K là hình chiếu của H lên ACHK⊥AC

Mà SH ⊥(ABCD)SH ⊥HK

Vậy HK là đường vuơng gĩc chung của SH và AC d SA AC( , )=HK

2 2

= = =  = 

2 2 4

AH





