(SKKN CHẤT 2020) chuyên đề góc, khoảng cách, quan hệ vuông góc, quan hệ song song

d M , P MH 2 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU a Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng a, b và cùng vuông góc với mỗi đường ấy gọ

CHUYÊN ĐỀ 15: GÓC, KHOẢNG CÁCH,QUAN HỆ VUÔNG GÓC, QUAN HỆ SONG SONG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

+ Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°

+ Nếu a và b cắt nhau thì góc giữa chúng là góc nhỏ nhất trong các góc được tạo

bởi hai đường thẳng.

+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là góc giữa hai đường thẳng a ' và b

' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.

* Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể lấy một điểm

(thuộc một trong hai đường thẳng đó) từ đó kẻ đường thẳng

song song với đường còn lại.

* Nếu u1 ,u2 lần lượt là hai vecto chỉ phương của hai đường

2) GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng P thì góc giữa đường thẳng a và mặt

phẳng P bằng 90°.

Tức là:a P a , P 90

+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng P thì góc giữa đường thẳng a và

hình chiếu a ' của nó trên P gọi là góc giữa đường thẳng

* Để tìm hình chiếu a ' của a trên P ta có thể làm như sau: Tìm giao điểm M a P

Lấy một điểm A tùy ý trên a và xác định hình chiếu H của A trên P Khi đó, a ' là đường

thẳng đi qua hai điểm A và M.

Cách 2: Khi xác định được P Q c thì ta làm như sau:

Phương pháp giải chung: Muốn tìm khoảng cách từ một điểm đến

một mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vuông góc của

điểm đó trên mặt phẳng Việc xác định hình chiếu của điểm trên

mặt phẳng ta thường dùng một trong các cách sau:

Cách 1:

+ Bước 1: Tìm một mặt phẳng Q chứa M và vuông góc với P

+ Bước 2: Xác định giao tuyến:PQ

Nếu đã biết trước một đường thẳng d P thì ta sẽ dựng Mx / /d , khi

đó: H Mx P là hình chiếu vuông góc của M trên P

d M , P MH

2) KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU a) Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng a, b và cùng vuông góc với mỗi

đường ấy gọi là đường vuông góc chung của a và b Đoạn thẳng MN

gọi là đoạn vuông góc chung của a và b.

b) Một số hướng tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau TH1: Khi a,

b chéo nhau và a b

+ Bước 1: Dựng mặt phẳng P chứa b và vuông góc với a tại M.

+ Bước 2: Trong P dựng MN b tại N.

+ Bước 3: Đoạn MN là đoạn vuông góc chung của a và b

d a , b MN

Mục tiêu: Chuyển về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

 Hướng 1: Chuyển thông qua khoảng cách từ một đường đến một mặt phẳng.

* Bước 1: Dựng mặt phẳng P chứa b và song song với a.

 Hướng 2: Chuyển thông qua khoảng cách giữa mặt phẳng song song:

* Bước 1: Dựng hai mặt phẳng P , Q sao cho a P / / Q b

* Bước 2: Khi đó d a , b d P , Q d M , Q

III QUAN HỆ SONG SONG

1 Phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng : ♦Phương pháp1:

Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng.

Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng

a và mặt phẳng (P) không có điểm chung cùng vuông góc với một đường thẳng b.

download by : skknchat@gmail.com

♦Phương pháp 4:

Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng

a và mặt phẳng (P) không có điểm chung cùng vuông góc với một mặt phẳng (Q).

♦Phương pháp 5:

Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng

a song song với đường thẳng b mà đường thẳng b song song với mặt phẳng (P)(a và (P) không có điểm chung)

2 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song: ♦Phương pháp 1:

Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó(hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt mặt phẳng (P) thì cắt theo giao tuyến b song song với đường thẳng a.

3 Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: ♦Phương pháp 1:

Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

Q

R

1 Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng: ♦Phương pháp 1:

Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P),ta chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P)

download by : skknchat@gmail.com

Sử dụng tính chất:Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Sử dụng tính chất:Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b,mà đường thẳng

a vuông góc mặt phẳng (P) thì đường thẳng b cũng vuông góc với mặt phẳng (P).

a // b

b (P)

a (P)

2 Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: ♦Phương pháp 1:

Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia.

3 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc: ♦Phương pháp 1:

Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

d (P)

♦Phương pháp 2:

Sử dụng định lý:Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P),

mà đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (P), thì d vuông góc với đường thẳng a.

B CÁC DẠNG BÀI TẬP TRỌNG TÂM

Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng –giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 1.1 BÀI TOÁN GIAO TUYẾN

K J

B. là trung điểm của

Vậy Chọn B.

T O

C. qua và song song với D. qua và song song với

1.2 CÁC BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM

Ví dụ 1 Cho tứ diện Gọi và lần lượt là trung điểm của và ; là trọng tâm

A điểm

Vì là trọng tâm tam giác là trung điểm của

Ta có là trung điểm của

R C

DẠNG 2 :QUAN HỆ SONG SONG CỦA ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG

khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

Lời giải.

J I

M

D

là đường trung bình của tam giác

DẠNG 3 :QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Dùng phương pháp loại trừ, suy ra D là đáp án sai Chọn D.

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

E J

C

Mặt khác: Mà

Ví dụ 2.

DẠNG 5 :MỐI QUAN HỆ VỀ KHOẢNG CÁCH ĐƯỜNG THẲNG –MẶT PHẲNG

1 Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau

2 Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau

3 Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung

download by : skknchat@gmail.com

C Chỉ 3 đúng D Cả 1, 2 và 3 đều đúng

Câu 2: Trong không gian cho 4 điểm không đồng phẳng, có thể xác định được nhiều nhất

bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác lồi có các cạnh đối không song song AC cắt

BD tại O, AD cắt BC tại I khi đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là :

Câu 4: Cho tứ diện ABCD Gọi I, K lần lượt là trung điểm AB, AD IK song song với mặt

phẳng nào ?

Câu 5: Cho tứ diện ABCD Điểm M nằm trên đoạn AC Thiết diện của tứ diện cắt bởi (MBD) là :

SA = a Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là :

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) Khi đó:

Câu 8: Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là hình gì ?

II CÂU HỎI THÔNG HIỂU

hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’ Hãy xác định góc giữa cặp vectơ

A B C D

lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC Biết tam giác SBC là tam giác đều Tính

số đo của góc giữa SA và (ABC)

là trung điểm của SC Khẳng định nào sau đây sai ?

C (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD D SA= SB= SC.

là các đường cao của tam giác SAB và SAD, Chọn khẳng định đúng trong các khẳng địnhsau?

A SC (AFB)

B SC (AEC)

C SC (AED)

D SC (AEF)

với mặt phẳng đáy, SA = a Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) là , khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

2

A Cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và b nằm trong mặt phẳng (P)

mọi mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với b thì (P) vuông góc với (Q)

B Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và mặt phẳng (P) chứa a, mặt

phẳng (Q) chứa b thì (P) vuông góc với (Q)

C Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), mọi mặt phẳng (Q) chứa a thì

(P) vuông góc với (Q)

D Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

download by : skknchat@gmail.com

Câu 1: Cho hình lập phương Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh ,

Phương pháp 2: Ta có

Ta có:

download by : skknchat@gmail.com

Thay vào ta được:

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, đường thẳng SO vuông góc với

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp

6 3 4

Hướng dẫn giải

download by : skknchat@gmail.com

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

liên hệ giữa x và y để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau là:

Hướng dẫn giải Đáp án B.

download by : skknchat@gmail.com

Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ.

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên hợp đáy

Hướng dẫn giải Đáp án D

A. a 3 B.

a

download by : skknchat@gmail.com

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a, đáy là hình chữ nhật

khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SK

Hướng dẫn giải Đáp án A.

Do AD / /BC d AD;SK d AD; SBC

download by : skknchat@gmail.com

Đáp án B

thuộc b

3 d D, SAB.S SAB

SAB

ABCD là hình bình hành Khoảng cách giữa SA và CD bằng

download by : skknchat@gmail.com

Hướng dẫn giải Đáp án là A.

BAC 60 , hình chiếu của

download by : skknchat@gmail.com

Hướng dẫn giải Đáp án C

Do SAB ABCD nên SH là đường cao khối chóp

download by : skknchat@gmail.com

Gọi H là hình chiếu của A lên A’B Khi đó

được

Hướng dẫn giải Đáp án D

Gắn hệ trục tọa độ sau đó tính diện tích của hình bình hành và tìm giá trị nhỏ nhất của

hình bình hành đó

E E A 'B' và cắt hình lập phương theo thiết diện là

A ' 0;0;0 ,B 1;0;1 , D' 0;1;0 Gọi E x;0;0 0 x 1

Ta có: EB 1 x; 0;1 , BD1;1; 1EB;BD' 1; x;1 x

Ta có:

MN M AC,N BC là đường vuông góc chung của A’C và BC’ Tỉ số

Xét hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng 2 Chọn

hệ trục tọa độ như hình vẽ có gốc tọa độ là trung điểm

3t1 ; t 2 t1 2; t 2 2t1

MN

download by : skknchat@gmail.com

Gọi M là trung điểm của AB Khi đó, thiết diện cần tìm là tam giác DMC.

là điểm trên AB sao cho AM = b (0 < b < a) (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với

BC Thiết diện của (P) và tứ diện SABC có diện tích bằng?

Hướng dẫn giải

download by : skknchat@gmail.com

Gọi N là trung điểm của BC Chứng minh được

Dựng thiết diện qua M và vuông góc với BC: kẻ MI//AN,

MK//SA.

suy ra tam giác KMI là tam giác đều cạnh

Đáp án C.

Câu 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy bằng a, đường cao SO = 2a Gọi M là điểm

được diện tích của thiết diện của hình chóp theo a và x Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất

Vì S.ABC là hình chóp đều nên

Tương tự ta cũng có BC//

Loại các trường hợp

+ x = 0, thiết diện suy biến thành điểm A

Sử dung địn lý TALET tính được Diện tích

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân có hai đường chéo AC và BD vuông

Khoảng cách từ M là trung điểm của AB đến (SCD) là

Dễ chứng minh SO vuông góc (ABCD)

Kẻ OK vuông góc DC Góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng SKO

Kéo dài OM cắt DC tại E Ta có

Kẻ AI và AJ lần lượt vuông góc với SB và SD Chứng minh được góc giữa (SBC) và (SCD) là

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) là: