Tích phân mặt

[CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ [CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ Group facebook com/groups/chungtacungtien hcmut/ Trang 1 TÀI LIỆU ÔN TẬP[.]

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 1

TÍCH PHÂN MẶT

Nội dung gồm 3 chủ điểm :

1 Diện tích mặt

2 Tích phân mặt loại 1

3 Tích phân mặt loại 2

 Tài liệu được biên soạn bởi Ban Chuyên môn – CLB [CTCT] Chúng Ta Cùng Tiến

 Đây là tâm huyết của các anh/chị/bạn trong CLB [CTCT], gửi tặng đến các em, các

bạn sinh viên K17 – Đại học Bách Khoa Tp.HCM (BKU)

 Bản quyền thuộc về cộng đồng Chúng Ta Cùng Tiến

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 2

PHẦN 1

DIỆN TÍCH MẶT

Cho mặt f (x,y,z) = 0

Biến đổi 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Diện tích :

𝑆 = ∬ √1 + (𝑓𝑥′)2 + (𝑓𝑦′)2𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦

Với 𝐷𝑥𝑦 là hình chiếu của z xuống Oxy Đây là tích phân kép nên việc tính toán không qúa khó khăn

Ví dụ : Tính diện tích x2 + y2 + z2 =4 nằm trong mặt trụ x2 + y2 = 2y

Lời giải :

Vì mặt cầu nằm trong mặt trụ có thể chia thành 2 phần có diện tích bằng nhau

z = f(x,y) = ±√4 − 𝑥2− 𝑦2

Ta chỉ cần xét z = √4 − 𝑥2 − 𝑦2 với Dxy: x2+y2 ≤ 2y

𝑆 = 2 ∬ √1 + (𝑓′𝑥)2+ (𝑓′𝑦)2 𝐷𝑥𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑦

√4 − 𝑥2− 𝑦2)

2

√4 − 𝑥2− 𝑦2)

2

𝐷𝑥𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑦

√4 − 𝑟2𝑟𝑑𝑟

2 sin 𝜑

0

] 𝜋

0

𝑑𝜑 = 8𝜋 − 16

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 3

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

 Phân biệt tích phân mặt loại 1 và 2

- Tích phân mặt loại 1: biểu thức xuất hiện dS

- Tích phân mặt loại 2: biểu thức xuất hiện dxdy, dzdx, dydz

 Cách tính tích phân mặt loại 1

1 Biến đổi :𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

2 Tính :

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 = ∬𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)√1 +(𝑓

𝑥

′)2+(𝑓𝑦′)2

𝐷𝑥𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑦

Ví dụ : Cho S là phần mặt phẳng x + y + z = 1 trong góc x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 Tính :

𝐼 = ∬𝑥𝑦𝑧𝑑𝑆

𝑆

Lời giải :

𝐼 = ∬ 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑆

𝑆

= ∬ 𝑥𝑦(1 − 𝑥 − 𝑦)√1 + 1 + 1𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦

= √3 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑦(1 − 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦

1−𝑥

0

1

0

= √3 120

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 4

PHẦN 3

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

 Lưu ý: Xác định hướng của mặt cho chính xác

 Các cách tính:

+ Chuyển về mặt loại 1

+ Tách thành 3 tích phân mạch loại 2: I 1 , I 2 , I 3 rồi cộng lại

+ Áp dụng Gauss Ostragreitxki

→ Tác giả khuyên dùng cách 1 và cách 3 (nên bỏ qua cách 2)

 Cách 1: Chuyển về mặt loại 1

Vector gradient ∇𝐹= (F’x , F’y , F’z) Vector pháp tuyến của mặt S: 𝑛⃗ s = + ∇𝐹

|∇𝐹| = (cos𝛼, cos𝛽, cos𝛾) với |∇𝐹| là độ dài vector = √(𝐹′𝑥)2+ (𝐹′𝑦)2+ (𝐹′𝑧)2 và dấu của vector pháp tuyến phụ thuộc vào hướng của S

 Hướng của mặt S thường đề thi cho theo 2 cách:

o Hướng theo chiều dương Ox, hướng theo chiều âm Ox

+ Nếu hướng theo chiều dương Ox ta phải có dấu của 𝑛⃗ s sao cho thành phần đầu tiên của 𝑛⃗ s dương

+ Nếu hướng theo chiều âm Ox ta phải có dấu của 𝑛⃗ s sao cho thành phần đầu tiên của 𝑛⃗ s phải âm

o Cho S là mặt trong hay mặt ngoài của một vật S kín (hoặc nửa mặt kín)

+ Nếu xét mặt cầu, S hướng vào thì đối với nửa mặt trên thì 𝑛⃗ s hướng xuống→thành phần thứ 3 âm

+ Đối với nửa mặt trên thì 𝑛⃗ s hướng lên theo trục Oz →thành phần thứ 3 của 𝑛⃗ s dương

 Cách tính:

I = ∬ 𝑃 𝑑𝑥 𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑅 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑆 = ∬ (𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑄𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝛾)𝑑𝑆𝑆

trong đó cos𝛼, cos𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾 là 3 thành phần của 𝑛⃗ s vừa tìm ở trên

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 5

𝑧 = 9, 𝑧 ≥ 0

Lời giải :

Xác định F(x, y, z) = 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 9

∇F = (2x, 2y, 2z)

→ 𝑛⃗ 𝑠 = + ∇𝐹

|∇𝐹|= +

(x, y, z)

√𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 Bây giờ ta sẽ xác định dấu của 𝑛⃗⃗⃗ s

Ta có: S là mặt cầu với z ≥ 0 → mặt ở trên S là mặt ngoài của nửa mặt trên

→ 𝑛⃗ s hướng lên → thành phần thứ nhất của 𝑛⃗ s dương

→ Lấy đấu dương :

𝑛⃗ 𝑠 = (x, y, z)

√𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2

2 𝑦

√𝑥2 + 𝑦2+ 𝑧2+ 𝑧

2 𝑧

√𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2+ 𝑧

2 𝑧

√𝑥2+ 𝑦2 + 𝑧2) 𝑑𝑆

𝑑𝑆

 Cách 3 : CT Gauss-Ostrogratxki

 Mục đích: chuyên tích phân mặt loại 2 về tích phân bội 3

 Lưu ý :

- S phải là mặt kín, nếu chưa kín ta phải bổ sung cho kín rồi trừ tích phân mặt của các mặt ta bổ sung

- Các hàm P, Q, R trong tích phân ban đầu rất phức tạp và sau khi đạo hàm nó trở nên đơn giản ( hoặc triệt tiêu với nhau)

- Một công thức về tích phân bội 3 thường dùng: ∭ 1𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝛺 = VΩ

- Dấu âm công thức

 CT Gauss:

∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 𝑆

+ 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = ± ∭ 𝑃𝑥′+𝑄𝑦′+𝑅𝑧′

𝑉

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

Trong đó dấu “+” nếu 𝑛⃗⃗⃗⃗ hướng ra phía ngoài Ω 𝑆

“-” nếu 𝑛⃗⃗⃗⃗ hướng vào phía trong Ω 𝑆

Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 6

Ví dụ: Tính I= ∬ 𝑥𝑑𝑦𝑥𝑧 + 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 với S là mặt ngoài của nửa mặt cầu x2 + y2 + z2

= 9 z> 0

Lời giải :

Đầu tiên ta nhận thấy S chưa kín

 Chọn S1 là mặt z = 0 hướng xuống dưới (Để cùng hướng ra ngoài khi hợp với S)

SS1 là mặt bên ngoài của {𝑥2+ 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 9

𝑧 ≥ 0

I = ∭ 3𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

 = 3VΩ = 3.𝑉2𝛺 (nửa quả cầu bán kính 3) =3.1

2.4

3π.33 = 54π

Từ đó ta tính tích phân mặt loại 1 như đã nói ở phần trước