TÍCH PHÂN MẶT Giảng viên: ThS. Nguyễn Hải Sơn

Để biết được hải ở ử ả ới diệ í h S là b hiê à hời phải mở cửa xả với diện tích S là bao nhiêu và trong thời gian bao lâu, người ta cần phải tính được lưu lượng nước chảy qua cửa xả tron

BÀI 4 TÍCH PHÂN MẶT

Giảng viên: ThS Nguyễn Hải Sơn

TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI

Một hồ chứa nước chống hạn ở một địa phương, có một

cửa xả Khi xả nước người ta cần phải mở cửa xả với một

diện tích S trong khoảng thời gian t nào đó Để biết được

hải ở ử ả ới diệ í h S là b hiê à hời

phải mở cửa xả với diện tích S là bao nhiêu và trong thời

gian bao lâu, người ta cần phải tính được lưu lượng nước

chảy qua cửa xả trong một đơn vị thời gian Tuy nhiên,

dòng nước chảy qua đó có vận tốc và hướng thay đổi, do

vậy lượng nước chảy qua cửa xả đó trong một đơn vị thời

gian tại những thời điểm khác nhau là khác nhau

Theo các anh chị người ta làm thế nào để tính được tương

đố hí h á l ớ đó

đối chính xác lượng nước đó?

MỤC TIÊU BÀI HỌC

Sau khi học xong bài này, sinh viên có thể:

• Trình bày được khái niệm tích phân mặt loại I và

loại II và các ứng dụng của nó

• Ứng dụng được các kĩ thuật tính tích phân mặt.Ứng dụng được các kĩ thuật tính tích phân mặt

• Làm được các bài tập liên quan đến tích phân mặt

CÁC KIẾN THỨC CẦN CÓ

• Sinh viên cần có các kiến thức cơ bản về

giải tích, đặc biệt là phép tính tích phân

hàm một biến số

• Bên cạnh đó, sinh viên cũng cần có các

kiến thức hình học và cơ học

HƯỚNG DẪN HỌC

• Xem bài giảng đầy đủ và tóm tắt những nội

dung chính của từng bài

Tí h ự thả l ậ t ê diễ đà à đặt â hỏi

• Tích cực thảo luận trên diễn đàn và đặt câu hỏi

ngay nếu có thắc mắc

• Làm các bài tập và luyện thi trắc nghiệm theo

yêu cầu từng bài

CẤU TRÚC NỘI DUNG

1 Tích phân mặt loại I

2 Tích phân mặt loại II

cách chia mặt S, và cách lấy điểm Mi thì

1.1 ĐỊNH NGHĨA - TÍNH CHẤT

Tính chất

1 Hàm liên tục trên mặt S, bị chặn, trơn từng mảng thì khả tích trên S

2 Tích phân mặt loại I có các tính chất như tích phân đường loại I

I  f (x, y,z)dS  f (x, y,z(x, y)) 1 (z )   (z ) dxdy

Tương tự cho các trường hợp sau

I   2 2(x  y )dxdy

Đổi biến trong tọa độ cực ta được

xy(x, y) D

1.3 ỨNG DỤNG

Diện tích của mặt là

zDiện tích của mặt paraboloid P là

2 2

2 2 xy

2 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II

2.1 Định nghĩa – Tích

2.1 ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT

• Mặt định hướngặ ị g

 Cho mặt cong S có biên là đường cong kín C

 Di chuyển véctơ pháp tuyến của S từ một điểm A



n

Anào đó theo một đường cong tùy ý không cắt biên

C Nếu khi quay lại vị trí xuất phát, véctơ pháp

 Trong trường hợp ngược lại, véctơ pháp tuyến đổi

chiều thì mặt cong S được gọi là mặt một phía

 Các ví dụ: Mặt hai phía: Mặt tờ giấy, mặt cầu, mặtụ ặ p ặ g y, ặ , ặ

bàn, mặt nón… Mặt một phía: Mặt Mobius hay dải

Mobius (Mobius band/Mobius strip)

2.1 ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT (tiếp theo)

• Định nghĩa mặt định hướngị g ặ ị g

 S là mặt cong hai phía

 Nếu trên mặt S ta qui ước một phía là dương, phía còn lại là âm thì mặt S

được gọi là mặt định hướng

được gọi là mặt định hướng

• Chú ý:

 Véctơ pháp tuyến của mặt định hướng luôn được chọn theo qui tắc sau:

 Khi đứng lên phía dương của mặt định hướng thì véctơ pháp tuyến đi từ

chân lên đầu

2.1 ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT (tiếp theo)

4 A  1 0 3 

Ví dụ: Tìm véctơ pháp tuyến của tại biết mặt

cầu được định hướng phía ngoài

 2,0, 2 3 

n  

Phía trong

2.1 ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT (tiếp theo)

• Định nghĩa tích phân mặt loại hai

 P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng S

 Véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt S là: n   (cos , cos , cos )   

 Tích phân mặt loại một  cos cos cos 

 Nếu đổi hướng của véctơ pháp tuyến thì tích phân I đổi dấu

 Tích phân mặt loại II có các tính chất tương tự như tích phân kép

2.2 CÁCH TÍNH

Vì tích phân mặt loại hai là tích phân mặt loại một nên ta có thể sử dụng cáchp ặ ạ p ặ ạ ộ ụ g

tính tích phân mặt loại một Điều quan trọng là phải xác định được vectơ

pháp tuyến đơn vị

Ví d 1 Tí h I  (2 ) d d (2 ) d d (2 ) d d

Ví dụ 1: Tính

Trong đó S là phần mặt phẳng x+y+z = 3 nằm trong hình trụ x2 + y2 = 2x,

phía dưới theo hướng trục 0z

Vì véctơ pháp tuyến của S tạo với Oz một góc tù nên véctơ pháp tuyến đơn

 ( , ) x y  Dxy với Dxy là hình chiếu của S lên Oxy

 với là hình chiếu của S lên OxyDxy(bắt buộc phải chiếu nên Oxy và có biểu diễn z=z(x,y))

nếu vectơ pháp tuyến hợp với Oz một góc tù

Chú ý: Nếu hình chiếu của S xuống một mặt phẳng nào đó (chẳng hạn Oxy)

chỉ là một đường cong (tức là S là một mặt trụ song song với Oz) thì tích phântương ứng với các biến vi phân của mặt phẳng đó bằng 0

tương ứng với các biến vi phân của mặt phẳng đó bằng 0

2.2 CÁCH TÍNH (tiếp theo)

Ví dụ 2: Tính I  z x ( 2  y dxdy2) trong đó S là nửa mặt cầu 2 2

1

Ví dụ 2: Tính trong đó S là nửa mặt cầu

hướng của S là phía ngoài mặt cầu

2.3 CÔNG THỨC OSTROGRADSKY-GAUSS (O-G)

Cho E là một miền kín bị chặn trong R3 có biến là

Định lý Ostrogradsky-Gauss (O-G)

một mặt kín, trơn từng mảng, hướng ra ngoài S

Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục

2.3 CÔNG THỨC OSTROGRADSKY-GAUSS (O-G) (tiếp theo)

5 2

2.3 CÔNG THỨC OSTROGRADSKY-GAUSS (O-G) (tiếp theo)

Ví dụ 2: Tính với S là biên của vật thể V giới

hạn bởi x=0, x=1, z=0, z=4-y2, hướng ra ngoài

32

2.4 CÔNG THỨC STOKES

Định lý Stokes

Cho S là một mặt định hướng trơn từng mảnh,

biên của nó là một đường cong kín L trơn từngộ g g g

khúc Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên

tục cùng các đạo hàm riêng cấp một trên S Khi

Tích phân đường loại 2 Tích phân mặt loại 2

Tích phân đường loại 2 Tích phân mặt loại 2

chiều của C được chọn phù hợp với hướng của S (QUI TẮC VẶN ĐINH ỐC)

2.4 CÔNG THỨC STOKES (tiếp theo)

2.4 CÔNG THỨC STOKES (tiếp theo)

Cách 1: Đưa về phương trình tham số

Ta có phương trình của (C) lúc này là   x 2 y 2  a 2

2.4 CÔNG THỨC STOKES (tiếp theo)

TÓM LƯỢC CUỐI LƯỢC

Trong bài này chúng ta đã xem xét các nội dung

Trong bài này chúng ta đã xem xét các nội dung chính sau:

• Khái niệm tích phân mặt loại I và loại II

• Cách tính tích phân mặt loại I và loại II